实际问题与二次函数 市赛获奖

上杭五中林清华22.3实际问题与二次函数（2）如何获得最大利润问题

学习目标掌握利润问题中变量之间的二次函数关系，会运用二次函数的顶点坐标求出利润的最大值（或最小值）．

学习重点

探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法．

在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。

如果你去买商品，你会选买哪一家的？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？问题一：某商店销售服装，现在的售价是为每件60元，每星期可卖出300件。已知商品的进价为每件40元，那么一周的利润是多少？(2)这一周所得利润为：

(1)卖一件可得利润为：(3)你认为：利润、售价、进价、销量有什么关系？利润=（售价-

进价）×销量60–40=20（元）20×300=6000（元）分析：问题二：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出

300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件。已知商品的进价为每件40元，当售价涨多少时，每周可获利润6090元。（1）你能说出这个题中售价、进价、销量吗？（2）你能列出方程吗？（不解答）分析：问题三：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出

300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件。已知商品的进价为每件40元，当商品的售价为多少元时，能使每周利润最大？（1）这个题能用方程解吗？为什么？那你还有什么方法吗？你是怎么理解的？（2）函数中，什么是自变量，什么是因变量呢？（3）你能列出它们之间的函数关系吗？（4）这里，自变量x的取值范围是多少？为什么？（5）如何求函数最大值呢？分析：设每件涨价x元,每星期所获利润为y元.解:设每件涨价x元,每星期所获利润为y元.

根据题意，得:答：当x=5时,y

最大,也就是说,在涨价的情况下,涨价5元,

即定价65元时,利润最大,最大利润是6250元.

可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标5时，这个函数有最大值6250.305625060000xy解:设每件降价x元,所获利润为y元.根据题意得答:降价2.5元.即定价57.5元时,利润最大,最大利润是6125元.为什么？问题四：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出

300件，市场调查反映：如果商品每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，当售价为多少时，能使每周利润最大？

已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件

60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格

，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？P50页探究21.当不改变价格时,每星期可获利润6000元。3.问题四：若降价,每件服装降价2.5元时,即定价为57.5元时,所获利润最大,这时最大利润为6125元。2.问题三：若涨价,每件服装涨5元时.即定价为65元时,

获得利润最大,这时最大利润为6250元。综上所述,当每件服装涨价5元时,获利润最大。1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则

y=(x+30-20)(400-20x)

=-20x2+200x+4000=-20(x–5)2+4500

∴当x=5时，y最大

=4500

答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元。课堂练习2.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.若每个橙子市场售价约2元，问增种多少棵橙子树，果园的总产值最高，果园的总产值最高约为多少？设果园增种x棵橙子树,总产值为y元，那么果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600－5x)个橙子y=2(100+x)(600－5x)解：=－10x²+200x+120000则答：增种10棵橙子树，果园的总产值最高，总产值最高约为121000元。

3.某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价定为x元(x≥50)，一周的销售量为y件．(1)写出y与x的函数关系式(标明x的取值范围)(2)设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，要使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？(2)设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？不符合要求，舍去．符合要求．∴销售单价应定为80元，才能使得一周销售利润达到8000元的同时，投入不超过10000元． 当x=60时，成本=当x=80时，成本=(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，要使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？课堂小结：解决最大利润问题的一般步骤是什么？老师提醒：

确定二次函数关系式后，应该写出相应的自变量取值范围，这对于最后定最值有指导意义。（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通