新教材高中数第6章平面向量及其应用643第课时余弦定理训练含解析新人教A版必修第二册

6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理课后·训练提升基础巩固1.在△ABC中,已知a=2,则bcosC+ccosB等于()A.1 B.2 C.2 D.4解析bcosC+ccosB=b·a2+b2-c答案C2.在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角A等于()A.30° B.60° C.120° D.150°解析∵(b+c)2-a2=b2+c2+2bc-a2=3bc,∴b2+c2-a2=bc,∴cosA=b2又0°<A<180°,∴A=60°.答案B3.在△ABC中,若a=8,b=7,cosC=1314,则最大角的余弦值是(A.-15 B.-16 C.-17 D解析由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=82+72-2×8×7×1314=9,所以c=3,故a最大所以最大角的余弦值为cosA=b2+c答案C4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2-a2-b22A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形解析由c2-a2-b2所以cosC<0,从而C为钝角,因此△ABC一定是钝角三角形.答案C5.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为()A.43 B.8-43 C.1 D.解析由(a+b)2-c2=4,得a2+b2-c2+2ab=4,由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC=2abcos60°=ab,则ab+2ab=4,故ab=43答案A6.在锐角△ABC中,若b=1,c=2,则a的取值范围是()A.1<a<3 B.1<a<5C.3<a<5 D.不确定解析若a为最大边,则b2+c2-a2>0,即a2<5,∴2<a<5;若c为最大边,则a2+b2>c2,即a2>3,∴3<a≤2.故3<a<5.答案C7.已知a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2=.

解析∵b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos120°=a2+c2+ac,∴a2+c2+ac-b2=0.答案08.在△ABC中,若b=1,c=3,C=2π3,则a=解析∵c2=a2+b2-2abcosC,∴(3)2=a2+12-2a×1×cos2π∴a2+a-2=0,即(a+2)(a-1)=0,∴a=1或a=-2(舍去).∴a=1.答案19.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-14,则b=,c=.解析因为b+c=7,所以c=7-b.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,即b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×-14,解得b=4,c=答案4310.在△ABC中,A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b.解在△ABC中,∵A+C=2B,A+B+C=180°,∴B=60°.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB=82-2×15-2×15×12=19∴b=19.11.在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大角为120°,求△ABC的三边长.解由a∴a>b>c,∴A=120°,∴a2=b2+c2-2bccos120°,即(b+4)2=b2+(b-4)2-2b(b-4)×-1即b2-10b=0,解得b=0(舍去)或b=10.∴当b=10时,a=14,c=6.能力提升1.在△ABC中,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的值为()A.π6 B.π3 C.π6解析∵(a2+c2-b2)tanB=3ac,∴a2+c2-即cosB·tanB=sinB=32∵0<B<π,∴角B的值为π3答案D2.在△ABC中,sin2A2=c-b2c,A.正三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形解析∵sin2A2=1-cosA2=c-b2c,∴cos答案B3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=120°,c=2a,则a,b的大小关系为()A.a>b B.a<b C.a=b D.不能确定解析在△ABC中,c2=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab.∵c=2a,∴2a2=a2+b2+ab,∴a2-b2=ab>0,∴a2>b2,∴a>b.答案A4.在△ABC中,AB=5,BC=7,AC=8,则AB·BC的值为(A.79 B.69 C.5 D.-5解析由余弦定理,得cos∠ABC=AB因为向量AB与BC的夹角为180°-∠所以AB·BC=|AB||BC|cos(180°-∠ABC)=5×7×-1答案D5.在△ABC中,已知CB=7,AC=8,AB=9,则AC边上的中线长为.

解析由条件知cosA=AB设中线长为x,由余弦定理知x2=AC22+AB2-2·AC2·ABcosA=42+92-2×4×9×23=49,所以AC边上的中线长为7.答案76.设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边,则a的取值范围是.

解析由题意可知,2a-1>0,答案(2,8)7.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,4sin2B+C2-cos2(1)求角A的度数;(2)若a=3,b+c=3,求b和c的值.解(1)由4sin2B+C2-cos2A=72及A+B+C=180°,得2[1-cos(B+C)]-2cos2A+整理得4(1+cosA)-4cos2A=5,即4cos2A-4cosA+1=0,故(2cosA-1)2=0,解得cosA=12∵0°<A<180°,∴A=60°.(2)由余弦定理,得cosA=b2∵cosA=12,∴b2+c2-a22bc=12,化简并整理,得(b+c)2-a2=3bc,∴32由b+c8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2=a2+c2-ac.(1)求角B的大小;(2)求sinA+sinC的取值范围.解(1)∵b2=a2+c2-ac,∴a2+c2-b2=ac,∴cosB=a2∵0<B<π,∴B=π