【线性常微分方程解的分析11000字（论文）】

线性常微分方程解的分析1 绪论 12 一阶线性常微分方程 12.1 概念以及通解 12.2 解的存在性、唯一性 33 高阶线性常微分方程 53.1 二阶线性常微分方程 53.2 n阶线性微分方程 84 线性常微分方程组 135 二阶线性偏微分方程 186 结语 22参考文献 23绪论自然界中的物质运动和演变都有其自身的规律，有共性的一面，也有着各自的特点。为了能定性和定量地研究，提出合适的模型来描述运动规律，找出不同变量之间相互影响或制约的关系式。方程对于我们来说并不陌生，代数方程、函数方程等都是以前学过的方程类型，都是把问题的已知量和未知量之间的联系找出来，得到含有一个或多个未知量的一个或多个方程式，然后对方程进行求解。在实际问题中，常常出现一些和上述方程完全不同的情形。比如，在应用数学方法分析物体运动的规律时，各因素的关系不能直接反映，易建立这些变量和它们的导数之间的关系。微分方程考虑了与未知量的变化率相关的情况。常微分方程是指未知量为一元函数时；偏微分方程是指未知量为多元函数时17世纪末以来，对天体问题，钟摆的运动和弹性理论问题，引出一系列线性常微分方程。雅各布·伯努利用简单的微分方程解决了与钟摆运动有关的等时问题和悬链线问题，随后还解决了与弹性相关的很多问题。微分方程还涉及物理，工程，经济学，医学等领域。一阶线性常微分方程概念以及通解设P dydx=P为一阶线性微分方程。Qx=0， dydx=2−2为齐次的。Qx≠0，则由分离变量2−2有通解 y=cec是常数，可以任意取。例如求dydx=−xy，将接下研究2−1由常数变易有 y=c求解2−4有dc可得c2−1Q y=e例如：将x+1dy先求dy可得y令c=cy微分，可得dy即c所以原方程的通解为y考虑伯努利方程 dydx=n≠0，1利用变量变换，对y≠0，用y−ny令z可得dz因此dz当n>0时，y例如：dydx=6yz因此，1另外y=0解的存在性、唯一性设矩形域E:x，y dydx=定理2[1]设fx，y∈CE，关于 φx0且φx是唯一的，其中h=mina证明思路：可分五个命题来证明，具体证明过程在参考文献[1]，用逐步逼近法证明此定理。首先，将2−7转化为y令y=φφ如果φ1x=φ如果φ2x= φnx可得序列φ若limn→∞φlimn→∞所以φx=y0+x0xfx，φx高阶线性常微分方程二阶线性常微分方程设px，qx， y''+称为二阶线性微分方程。对应的齐次方程为 y''+引进算子L其中D=ddx，D2= LDy LDyLDL其中，C1，C2是两个任意常数；y1定理3.1.1[2]设y1x，y2Y仍是方程3−2的解（其中C1，C证由条件可知∀xL于是LDYx此式表明Yx是方程3−2定理3.1.2[2]方程3−2的任一解Yx与方程3−1的任一解yx的和Yx证由条件可知∀xL于是L即Yx+y定理3.1.3[2]设y1x，y2x为3−1的解，则y1证由条件可知∀xL于是LD则12y1定义3.1.1[3]设函数y1x，y2 d1y则称y1x，函数y1x，y其中k为常数。例1判断以下函数组的线性相关性；sin2x，cos21，x，x2ex，e2x，e解（1）取k1=1，k2=2，k所以sin2x，cos2（2）反证法。若1，x，x2在a，b线性相关，那么存在 k1∙1+上式表明∀x∈a，b都是3−4的解。所以函数1，x，（3）令k将方程两边求导数，并与原方程联立得 exk由于e方程只有零解，即k1=k2=k3=0，因此函数根据文献[1]，可得为了求出3−2的通解，先求出它所对应的3−2的两个通解，求3−1本身的一个特解。然后应用这两个结构定理便可写出它们的通解。定义3.1.2[2]（余函数）方程y''y称为方程y''例5若方程y''y请写出方程的通解，并验证。解因为y是齐次方程的两个特解，又因为y所以ex−x与e2xn阶线性微分方程一般概念形如 yn+称为高阶线性微分方程，当fx≡0 yn+称为n阶齐次的，3−7为n阶非齐次的，它们的差别在fx是否等于定理1[1]如果方程3−7的系数aixi=1，2，⋯，n，fx∈C φx0即方程3−7的解得存在唯一性定理。解法齐次方程首先一阶方程 y'+a是常数，通解x= y=e3−11中的λ是待定常数，则λ其中eλx Pλ=称3−12为3−9的特征方程，根称为特征根。情形一：λi是单根定理1如果λ1，λ2，⋯，λ例1求方程x'''−3解特征方程为λ3λ特征根为λ基本解组为etx情形二：λi定理2如果λ1，λ2 eλ1其中3−13是3−9基本解组。例2求y4解特征方程是λ4λ可知λ1,2=−1+所以通解为y非齐次方程方法一：常数变易法若设yi线性无关，i=1，⋯，n，yi是Ly=yn+p∀C1x，C3−14系数行列式≢0，则Ci'x例如：方程x''x代入原方程，可得cos解得c综上所述，c1t=lncos所以x方法二：比较系数法设ft=Pmteλtt当λ不是特征根时，就取k=0，否则k等于λ的重数，Qmt与例如：方程y''λ特征根为λ1=0，λ2=1，因为A通解为y方法三：拉普拉斯变换法若ft∈0，0则称F是ft的拉普拉斯变换，ft为原函数，Fs为像函数，记ρft=Fs，这里设给定微分方程d及初值条件xa1，a2，⋯，an是常数，而FX根据原函数性质ρρ例如：方程x''+2x'+x作拉普拉斯变换s则X查表得x所以x线性常微分方程组讨论形如的一阶线性微分方程组，其中aij设n× At= ft=At满足矩阵相加、相乘等性质。4−1 x'=若aijAf函数矩阵有以下等式成立：AtftAtAt同样地，若abAtaa当At，ft满足连续，由文献[1]可知，方程例如向量u是caucℎy问题x在−∞，例如可将x4+x=tet，x且x1x其中x=x设t0 xn+a1t，a2t，⋯，ant，ftx令x可知xx则4−6可化为方程组4−7， x'=其中x若ψt是4−5的任一解。则ψt，ψφ若φ1tφ't=因此是4−6的解。另外，若ut是4−6u若ωt=u1t，则ωωnt由此知ω同时，可得ω即，ωt是4−5综上所述，4−5与4−6等价的；问题4−5可以化为4−6x不能转化为二阶微分方程。例1设Φt为x'=Ax，其中A为证明：方法一：Φ∴代入t=E=Φ∴方法二：ΦΦtΦ−1例2设y=φx为二阶常系数线性微分方程caucℎy问题y''+ay'证明：y=0xφ∴y''+ay二阶线性偏微分方程数学物理方程建立过程中，研究了波动方程，热传导方程，稳定场方程。这三种类型的偏微分方程描写了不同的物理现象及过程。在解析几何中知道对于二次实曲线 ax2+bxy其中a，b，c，d，e，f∈二阶线性偏微分方程的普遍形式为Ax作坐标变换ξ=ξ则∂u∂∂∂代入5−2得到AA定理5.1如果ϕ Ady2的一般积分，则ξ=ϕx A∂ϕ∂x的一个特解。例1求uxx解Δ=1dy可得两簇积分曲线y+x=作变换ξ=y+x，u则通解为u=f例2求u解Δ=−1为椭圆方程，其特征方程为d可分解为两个方程：dy可得两簇特征线：y−2x±ix=作变换ξ=y−2x，u则通解为u=f例3求x2解Δ=xyx可解得一簇积分曲线y作变换ξ=yu此方程的通解为u=f综上，原方程通解为u=f

结语线性微分方程具有一种特殊结构，其解的存在性、唯一性受到重视。本文介绍了线性微分方程的解的存在性、唯一性，同时看是否有规律可寻，在此基础上熟练掌握同时会做一些简单的应用。本文讨论了一阶到n阶n≥2线性常微分方程的应用，但是对于偏微分方程以及高阶线性偏微分方程的结论相对较少，我们好需要继续在这方面坐做一点努力。参考文献王高雄等编.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.陈仲.微分方程与线性代数[M].南京:东南大学出版社,2014.1.何希勤,屠良平,武力兵等编著.常微分方程.[M].沈阳:东北大学出版社,2017.8.方道元,薛儒英.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2017.7.宣立新.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1999.罗兆富,王林.微分方程[M].北京:科学出版社,2018.1.华罗庚.高等数学引论第一卷第一分册[M].科学出版社,1963.杨萌;唐刚.n阶线性微分方程初值解的存在性与唯一性[J].黄石理工学院学报,2007,56-58.张莹;赵伟.高阶线性微分方程解法探讨[J].郑州铁路职业技术学院学报,2020,32(04):32-36.汪斌.n阶线性微分方程解的存在