指数函数及其性质指数函数的应用（问题导学式）（共23张）

第二章基本初等函数(Ⅰ)§2.1.2指数函数及其性质第二课时指数函数的应用学习目标1.进一步熟练掌握指数函数的概念、图象、性质；4.能够解决指数函数有关的应用问题.3.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小，解不等式．2.会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及能判断与证

明单调性、奇偶性；旧知复习指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质

y＝axa>10<a<1图象定义域值域R(0，＋∞)旧知复习

y＝axa>10<a<1性质过定点过点(0,1)，即x=0时，y=1函数值的变化当x>0时，

；当x<0时，

当x>0时，

；当x<0时，

单调性是R上的

是R上的

y>1

0<y<1

0<y<1

y>1

增函数

减函数

典例精讲：题型一：利用指数函数图象与性质比较大小【例1】比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2;(2)0.6－1.2和0.6－1.5;(3)1.70.2和0.92.1;(4)0.60.4和0.70.4.[解析](1)考察函数y=1.5x,

因为2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2.由于底数1.5>1,所以函数y=1.5x在R上是增函数,(2)考察函数y=0.6x,∵0<0.6<1,∴函数y=0.6x在R上是减函数,典例精讲：题型一：利用指数函数图象与性质比较大小【例1】比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2;(2)0.6-1.2和0.6-1.5;(3)1.70.2和0.92.1;(4)0.60.4和0.70.4.(3)由指数函数性质,1.70.2>1.70=1,(4)

∵在y轴右侧函数y=0.6x的图象在函数y=0.7x的图象的下方,∴0.60.4<0.70.4.0.92.1<0.90=1,∴1.70.2>0.92.1.

题后反思利用指数函数比较大小的方法(2)底数不同,指数相同的两个幂的大小的比较,可利用指数函数的

图象的变化规律来判断.方法总结：底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较,可以利用指数函

数的单调性来判断.(3)底数不同且指数不同的幂的大小的比较,则应通过中间值来判断).典例精讲：题型二：指数函数有关的不等式问题【例2】解下列不等式根据指数函数的单调性把指数不等式转化为代数不等式.(1)2x≥4x+1(2)a3x－1≤a2x－4(a>0且a≠1)(1)∵2x≥4x+1得2x≥22x+2，∴x≥2x+2，解得x≤－2，∴不等式解集为{x|x≤－2}.[思路分析][解析]典例精讲：题型二：指数函数有关的不等式问题(2)当0<a<1时，由a3x－1≤a2x－4得3x－1≥2x－4，∴

x≥－3.当a>1时，由a3x－1≤a2x－4得3x－1≤2x－4，∴

x≤－3.综上，当0<a<1时，不等式解集为{x|x≥－3};当a>1时，不等式解集为{x|x≤－3}.题后反思解指数不等式的基本方法是根据指数函数的单调性转化为代数不等式，在底数含有字母参数时要注意分类讨论.方法总结：典例精讲：题型三：指数函数值域问题【例3】求下列函数的值域

[思路分析]对于(2)，看成关于2x的一个二次函数，故可令t＝2x，从而求出值域.利用换元法求值域.典例精讲：题型三：指数函数值域问题

典例精讲：题型三：指数函数值域问题(2)定义域为R.令t＝2x,则t>0，

∵t>0，所以值域为[0，+∞).∴(t－1)2≥0，即y≥0，题后反思方法总结：2.若用换元法求值域，则换元后应立刻写出新元的范围.1.定义域优先原则，即应首先求出函数的定义域然后再求值域.求解函数值域时要注意两点：典例精讲：题型四：指数函数在实际问题中的应用【例4】截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)？可以从经过1年后、2年后、3年后等具体的人口数入手，归纳经过x年后的人口数的函数关系式，再把经过20年后的人口数表示出来，进行具体计算.[思路分析]

典例精讲：题型四：指数函数在实际问题中的应用设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿.

……[解析]1999年底，我国人口约为13亿.典例精讲：题型四：指数函数在实际问题中的应用

所以，经过20年后，我国人口数最多为16亿.题后反思

方法总结：课堂练习

答案：C课堂练习

[解析]

∴2u≥2－2.∵u＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2≥－2，又函数y＝2u在R上单调递增,

(1)设u＝x2－6x＋7，由于函数y＝2u及u＝x2－6x＋7的定义域都是R，故函数y＝2x2－6x＋7的定义域为R.课堂练习

(2)∵u＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，∴u(x)在(－∞，3]上单调递减，在(3,+∞)上单调递减，又函数y＝2u在R上单调递增,归纳小结1.根据指数函数性质进行数值的大小比较时，要注意采用中间值0、1

进行比较.2.解指数不等式或者指数方程时，要注意根据指数函数的单调性

进行转化，转化为代数不等式或者代数方程求解，在底数不确

定时要注意分类讨论，这里体现了化归转化思想和分类讨论思想