二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程复习回顾2.已知抛物线与x轴交于A(-1,0)和B(1,0),并经过点M(0,1),则此抛物线的解析式为__________.y=-x2+11.抛物线y=x2+2x-4的对称轴是______,开口方向_____,顶点坐标是________.X=-1向上(-1,-5)3.抛物线y=2(x-2)(x-3)与x轴的交点为___________,与y轴的交点为______.(2,0),(3,0)(0,12)做一做议一议完成下列题目并回答问题：一.作函数y=x2+2x图象，并计算y=0时x的取值.求方程x2+2x=0的根.y=x2+2x与x轴交点（-2，0）和（0，0）解：由x(x+2)=0则该方程的根为：x1=-2，x2=0二.作函数y=x2-2x+1图象，并计算y=0时x的取值.求方程x2-2x+1=0的根.做一做议一议y=x2-2x+1与x轴交点（1，0）解：由(x-1)2=0则该方程的根为：x1=x2=1三.作函数y=x2-2x+2图象，并计算y=0时x的取值.求方程x2-2x+2=0的根.做一做议一议y=x2-2x+2与x轴无交点解：因为△=b2-4ac=4-8=-4<0所以，该方程无根.做一做议一议问题：1.二次函数图象与x轴交点的个数有哪些？分析：二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:1.有两个交点、

2.有一个交点、

3.没有交点.2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有什么关系？当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac>0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0结合前面的问题填表：归纳整理、理清关系

二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?一般地，当y取定值时，二次函数即为一元二次方程，且使y取到定值的x的值为就是一元二次方程的根.思考：方程-x2+2x+1=0的根与二次函数y=-x2+2x+1的图象之间有什么关系？【例】竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么：应用举例上抛物体运动问题(1)h和t的关系式是什么？(2)图象上的每一个点的横、纵坐标分别代表什么含义？解：图象上每一个点的横坐标表示小球运动时间t（s），纵坐标表示小球离开地面的高度h（m）。(1)h和t的关系式是什么？解:是二次函数h=－5t2＋40t．应用举例(3)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?解:小球落地时离地面的高度h=0，即－5t2＋40t=0，解得t=0s(舍）t=8s.可以利用图象.应用举例(4)何时小球离地面的高度是60m?你是如何知道的?解:在h=-5t2+v0t+h0中,依题意

h=-5t2+40t,令h=60

即-5t2+40t=60解得t1=2,t2=6应用举例1.观察判断下列图象哪个有可能是抛物线y=-x2+2x-3的图象？yxOyxOyxOyxOA.B.C.D.√2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是

.xy05x1=0，x2=5一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式h=-4.9t2+19.6t来表示．其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间．(1)t=1时，足球的高度是多少？随堂练习强化应用解：t=1时，h=14.7(2)t为何值时，h最大？随堂练习强化应用

解∵h=－4.9(t-2)2+19.6∴当t=2时，h最大为19.6m.(3)足球经过多长时间球落地？解：对于h=-4.9t2+19.6t球落地意味着h=0即-4.9t2+19.6t

=0，解得t1=0(舍),t2=4．即足球被踢出后经过4s后球落地.h=-4.9t2+19.6t(4)方程-4.9t2+19.6t=0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?随堂练习强化应用解:方程－4.9t2＋19.6t=0的根的实际意义是球离地和落地的时间，图上表示为抛物线与x轴交点的横坐标.随堂练习强化应用(5)方程14.7=-4.9t2+19.6t的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?解：解方程14.7=－4.9t2＋19.6t得t=1,t=3表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高度都是14.7米图上表示为抛物线与直线h=14.7的交点的横坐标.

已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有交点，求k的取值范围.

点拨：①因为是二次函数，因而k≠0；②有交点，所以应为△≥0．练习错解：由△=（－7）2－4×k×（－7）=49＋28k＞0，得k＞－．正确解法：此函数为二次函数，∴k≠0，又与x轴有交点，∴△=（－7）2－4×k×（－7）=49＋28k≥0，得k≥－，即k≥－且k≠0101xyMN232y=x2-4x+4

一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。课堂练习你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？活动探究如图是函数y=x2+2x－10的图象

(1).观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.分别约为-4.3和2.3(2).确定方程x2+2x-10=0的解;用一元二次方程的求根公式验证一下，看是否有相同的结果(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.(2).作直线y=3；做一做(3).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(4).确定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.(1).原方程可变形为x2+2x-13=0；(3).观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(4).确定方程x2+2x-10=3的解;方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.(2).作二次函数y=x2+2x-13的图象；解法2

利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤是怎样的？①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解。课堂小结在求一元二次方程的解的时候，你愿意采用今天学习的这种方法吗？

利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，虽然对于我们现在解一元二次方程没有应用价值，但它体现了“数形结合”这一重要的数学思想方法。也启示我们只要善于观察和思考，就能发现事物之间的各种联系，去探索科学的奥秘。课堂寄语如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛