高三数学正态分布

1.5正态分布正态分布在上一小节中，我们作出了100个产品尺寸的频率分布直方图，并指出了当样本容量无限增大时，这个频率分布直方图无限接近于如图1－3所示的一条总体密度曲线．产品尺寸是一类典型的总体，对于成批生产的产品，如果生产条件正常并稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等条件都相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因素，那么，产品尺寸的总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图象：f(x)=，x∈(－∞,+∞)①式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，这个总体是有无限容量的抽象总体，其分布叫做正态分布．正态分布由参数，唯一确定．因此，正态分布常记作N(μ，σ2)．①的图象被称为正态曲线．图1－4中画出了三条正态曲线：（1）μ=－1，σ=0.5；（2）μ=0，σ=1；（3）μ=1，σ=2．正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征．μ=－1，σ=0.5μ=0，σ=1μ=1，σ=2在实际中遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布．例如：生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标（如电子管的使用寿命、电容器的电容量、零件的尺寸、铁水的含碳量、纤维的纤度、……）一般都服从正态分布．在测量中，测量结果一般可以表示为ξ=a+η.其中a表示被测量的量的真值（未知常数），η表示测量的随机误差，ξ和η一般都服从正态分布．在生物学中，同一群体的某种特征（如某一地区同年龄组儿童的发育特征，如身高、体重、肺活量），在一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等，一般也服从正态分布．在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位，也都服从或近似服从正态分布．

总之，正态分布广泛存在于自然现象、生产及科学技术的许多领域之中．正态分布在概率和统计中占有重要地位．在函数①中，当μ=0，σ=1时，正态总体称为标准正态总体，这时相应的函数表示式是

f(x)=，x∈(－∞,+∞)②相应的曲线称为标准正态曲线，如图1－4（2）所示．从图1－4看到，正态曲线具有以下性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交；（2）曲线关于直线x=μ对称；（3）曲线在x=μ时位于最高点．（4）当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中（图1－5）．由于标准正态总体N(0，1)在正态总体的研究中有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”（见附表2）．在这个表中，相应于x0的值中Ф(x0)是指总体取值小于x0的概率，即Ф(x0)=P(x<x0).如图1－6（1）中左边阴影部分所示．由于标准正态曲线关于y轴对称，表中仅给出了对应于非负值x0的值Ф(x0)．如果x0<0，那么由图1－6（2）中两个阴影部分面积相等知Ф(x0)=1－Ф(－x0)利用这个表，可求出标准正态总体在任一区间(x1，x2)内取值的概率．例如它在(－1，2)内取值的概率是P=Ф(2)－Ф(－1)=Ф(2)－{1－Ф[－(－1)]}=Ф(2)+Ф(1)－1=0.9772+0.8413－1=0.8185．一般的正态总体N(μ,σ2)均可以化成标准正态总体N(0，1)来进行研究．事实上，可以证明，对任一正态总体N(μ,σ2)来说，取值小于x的概率F(x)=Ф()．例如，对于正态总体N(1，4)来说，取值小于3的概率,μ=1,σ=2，F(3)=Ф()=Ф(1)=0.8413．例1．分别求正态总体N(μ,σ2)在区间(μ－σ,μ+σ)，(μ－2σ,μ+2σ)，(μ－3σ,μ+3σ)内取值的概率．解：F(μ+σ)=Ф()=Ф(1),F(μ－σ)=Ф()=Ф(－1),所以正态总体N(μ,σ2)在(μ－σ，μ+σ)内取值的概率是F(μ+σ)－F(μ－σ)=Ф(1)－Ф(－1)=Ф(1)－[1－Ф(1)]=2Ф(1)－1=2×0.8413－1≈0.683；同理，正态总体N(μ，σ

2)在的(μ－2σ，μ+2σ)内取值的概率是F(μ+2σ)－F(μ－2σ)=Ф(2)－Ф(－2)≈0.954；正态总体N(μ，σ2)在的(μ－3σ，μ+3σ)内取值的概率是F(μ+3σ)－F(μ－3σ)=Ф(3)－Ф(－3)≈0.997；上述计算结果可用下表和图1－7来表示．下面以正态总体为例，说明统计中常用的假设检验方法的基本思想．我们从上表看到，正态总体在(μ－2σ,μ+2σ)以外取值的概率只有4.6％，在(μ－3σ,μ+3σ)以外取值的概率只有0.3％，由于这些概率值很小，通常称这些情况发生为小概率事件．也就是说，通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的．我们来看一个例子．假设工人制造的零件尺寸在正常情况下服从某种分布．为便于说明，不妨假设它服从正态分布N(μ,σ

2)，那么从上面知道，零件尺寸在(μ－3σ,μ+3σ)内取值的概率为99.7％，即零件尺寸落在(μ－3σ,μ+3σ)以外的概率只有0.3％．这是一个小概率事件．它表明在大量重复试验中，平均每抽取1000个零件，属于这个范围以外的零件尺寸只有3个．因此在一次试验中，零件尺寸在(μ－3σ,μ+3σ)以外是几乎不可能发生的，而如果这种事件一旦发生，即产品尺寸a满足|a－μ|≥3σ，我们就有理由认为这时制造的产品尺寸服从正态分布N(μ,σ2)的假设是不成立的，它说明生产中可能出现了异常情况，比如可能原料、刀具、机器出了问题，或可能工艺规程不完善，或可能工人操作时精力不集中、未遵守操作规程等，需要停机检查，找出原因，以将生产过程重新控制在一种正常状态，从而及时避免继续生产废、次品，保证产品的质量．上面控制生产过程的方法，运用了统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原理和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设．目前在生产中广泛运用的控制图，就是根据上述假设检验的基本思想制作的．我们把图1－8（1）按顺时针方向旋转90°就得到一张控制图（图1－8（2）．图1－8（1）中的直线x=μ，x=μ－3σ，x=μ+3σ分别成为图1－8（2）中的中心线、控制下界和控制上界．在生产过程中，从某一时刻起（例如从上午9时起），每隔一定时间（例如1小时）任取1个零件进行检查，并把其尺寸用圆点在图上表示出来，为了便于看出圆点变动的趋势，常用折线将它们连接起来．

从图1－8（2）中看到，前3个圆点都在控制界限之内，可认为生产情况正常；但第4个点超出了控制上界，可认为有异常情况发生，应该立即停机检查．例2．服从标准正态分布N(0,1)的随机变量的概率密度函数是f(x)=，x∈(－∞,+∞)，试确定f(x)的奇偶性、增减区间和最值．解：f(－x)===f(x),∴f(x)是偶函数，x∈R时,f(x)>0，而|x|无限增大时，f(x)无限接近0，故f(x)无最小值．f(x)≤f(0)=，f(x)由最大值f(0)=.∵函数y=e－t关于t是单调减少的，即关于x2单调减少，所以x∈(－∞，0)时，f(x)单调增加，x∈(0，+∞)时，f(x)单调减少．例3．设ξ~N(1，22)，试求：（1）P(0<ξ≤2)，P(5<ξ<7)，P(ξ≥2.3)；（2）求常数c，使P(ξ≥c)=2P(ξ≤c)．（1）P(0<ξ≤2)，P(5<ξ<7)，P(ξ≥2.3)；解（l）P(0<ξ≤2)=Ф()－Ф()=Ф(0.5)－[1－Ф(0.5)]=2×0.6915－1=0.3830P(ξ≥2.3)=l－P(ξ<2.3)=1－Ф()=1－Ф(0.65)=1－0.7422=0.2578.P(5<ξ<7)=Ф()－Ф()=Ф(3)－Ф（2）=0.9987－0.9773=0.0214．（2）求常数c，使P(ξ≥c)=2P(ξ≤c)．（2）P(ξ≥c)=2P(ξ≤c)，

1－Ф()=2Ф(),Ф()=,查表得=－0.43，故c=0.14为所求．

例4．某厂生产的零件直径ξ～N(8，0.152)（mm），现从生产流水线上随机取出一个零件，测得其外直径为7.5mm，问流水线生产正常吗？解：P（ξ≤7.5）=Ф()=Ф(－3.33)=1－Ф(3.33)=0.0005，这是一个小概率事件，在一次试验中小概率事件几乎不可能发生，故认为流水线生产不正常．练习题1．如果随机变量ξ～N(μ,σ2)，且Eξ=3，Dξ=1，则P(－1<ξ≤1)等于（

）（A）2Ф(1)－1（B）Ф(4)－Ф(2)（C）Ф(2)－Ф(4)（D）Ф(－4)－Ф(－2)B对正态分布，μ=Eξ=3，σ2=Dξ=1，故P(－l<ξ≤1)=Ф(1－3)－Ф(－l－3)=Ф(－2)－Ф(－4)=Ф(4)－Ф(2)2．如果随机变量ξ～N(0，1)，则η=（）~N(μ,σ2)．（

）（A）（B）σξ－μ

（C）σξ+μ

（D）σ(ξ+μ)C若η～N(μ，σ2)，则ξ=~N(0，1)，故η=σξ+μ

3．设某地区某一年龄段的儿童的身高服从均值为135cm，方差为100的正态分布，令ξ表示从中随机抽取的一名儿童的身高，则下列概率中最大的是（

）（A）P（120<ξ<125）（B）P（125<ξ<l35）（C）P（130<ξ<140）（D）P（135<ξ<145）C由正态分布的密度函数的图形可以看出，正态变量落在相同区间长度内的概率是不同的，区间中心越靠近期望值，概率越大，故应选C

4．某次考试成绩：ξ～N（a，52），随机抽查了10位同学的成绩，其平均值为72.5，标准差为5.3，则a的估计值为

.72.5

a即为正态分布的数学期望，应该用样本均值72.5估计它

5．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则正态曲线的形状与σ有关，σ越

，曲线越“矮胖”；正态曲线的位置与μ有关，μ越

，曲线越向左移·大小

6．设在某次英语考试中，考生的分数ξ～N（90，122），则得分在72分以下、72分到108分、108分以上的概率分别为

.0.0668