2023届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学（文）试题

2023届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学(文)试题

一、单选题

1.已知集合A=H(X+3)(X-2)40},B={X|X<1},则AB=()

|x|-3<x<2}B.{x|-3<x<l}

x-3<x<1x|l<x<2}

【答案】C

【分析】根据二次不等式解法求出集合A,再根据集合交集运算即可得到答案.

【详解】A={A-|(X+3)(X-2)<0}={x|-3<x<2),

故AB={x|-3<x<l}.

故选：c.

2.—=()

21

A1・1."31.

A.——iB.1—iC.—+iD.------1

22244

【答案】A

【分析】根据复数的四则运算法则即可计算.

=-------=--------=——1.

故选：A.

3.某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某

农作物.为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度(单

位：cm)均在区间[10,20]内，按照[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]分成5组,制成如

图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”.则所选取的农作物样本苗中，“优质

苗”株数为()

【答案】c

【分析】根据频率分布直方图计算出“优质苗”的占比，再乘以100可得结果

【详解】由频率分布直方图可知，“优质苗”的占比为(0.2+0.1)X2=0.6,

因此，所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为l(X)x().6=60.

故选：C.

4.已知aelo,]),cos2a+2sin2a=1,则tana=()

A.3B.2C.gD.-

23

【答案】B

【分析】由二倍角的正弦、余弦公式代入化简即可得出答案.

【详解】由cos2(7+2sin2a=l可得：l-2sin2a+4sinacosa=l,

则2sinc(-sina+2cosa)=0,因为所以sinewO,

所以-sina+2cosa=0,贝ijtana=2.

故选：B.

5.过直线/：x+y-5=0上的点作圆C：(x-iy+(y+2)2=6的切线，则切线段长的最小值为()

A.屈B.20C.715D.3公

【答案】B

【分析】根据几何关系表示出切线段长度，根据几何关系即可求出其最小值.

【详解】设直线上任意一点为P,过P作圆的切线，切点为圆C圆心C为(1,-2),半径『=卡,

则|网="IPC|2_1=JiPC『-6,

要使|MP|最小，则|尸。最小，易知|尸。最小值为圆心c到直线/的距离.

B|JIPCI>'+尸)二耳二3&,

11VPTF

•••\MP\>7(372)2-6=2G.

故选：B.

6.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成

的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为()

B.y=sinx--sin2x--sin3x

23

D.y=cosx+gcos2x+gcos3x

C.y=sinx+—cos2x+-cos3x

23

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性，再利用特殊值的函数值，逐一判断即可.

【详解】对于A,函数y=f(x)=sinx+gsin2x+；sin3x,

因为f(-x)=-sinx-gsin2x-gsin3x=-/(x),所以函数为奇函数，

又也+，+变=工+逑＞0,故A符合图象；

22623

对于B,函数y=/(x)=sinx-/sin2x-5sin3x,

因为/(r)=—sinx+gsin2x+；sin3x=—/(x),所以函数为奇函数,

p式、母\6丘、1.51八WchS日否*

又/—=----------=------<------=0,故B不符题意；

\4)2263232

对于C,函数y=/(x)=sinA:+—COS2A:+-COS3X,

因为"0)=3,故C不符题意；

6

对于D,当x=0时，y=cosx+—cos2X+-COS3A:=—,故D不符题意.

236

故选：A.

7.已知函数/(x)=3x4—8/+6X2,则f(x)()

A.有2个极大值点B.有1个极大值点和1个极小值点

C.有2个极小值点D.有且仅有一个极值点

【答案】D

【分析】求导，根据导函数的符号求得函数的单调区间，再根据极值点的定义即可得解.

【详解1/(x)=12X3-24X2+12X=12x(x2-2x+1)=12x(x-l)2,

因为(x-lpNO(当且仅当x=l时取等号)，

则当x<0时，r(x)<0,当x>0时，r(x)>o,

所以函数/(x)的单调递增区间为(0,+8),单调递减区间为(-8,0),

所以函数/(x)的极小值点为0,没有极大值点，

即函数f(x)有且仅有一个极值点.

故选：D.

8.将函数/(x)=gsinx-cosx的图象上的所有点向右平移。个单位长度，得到的图象对应的函数

可以是()

A.y=2sinxB.y=2cosxC.y=-2sinxD.y=-2cosx

【答案】D

【分析】现利用辅助角公式将y(x)化简，再根据函数图象左右平移即可求出新的函数解析式.

(详解］=6sinx-cosx=2sin,

将函数f(x)的图象上的所有点向右平移。个单位长度，

得到函数丫=25也卜-1-仁)=2$皿卜-5)=-285》.

故选：D.

9.已知四棱柱ABCD-AMGA的底面是正方形，他=2,e=2五，点用在底面488的射影为

BC中点H,则点G到平面ABC。的距离为（）

A.>/6B.币C.2亚D.3

【答案】B

（分析】求出B,H,根据BC〃平面ABCD即可得点G到平面ABCD的距离.

且B[H=y]BB：-BH&=77,

由题可知AG〃8C,

又81Ga平面ABCD,8Cu平面ABCD,

：.B,C,〃平面ABC。,

；•点G到平面ABCD的距离与点Bl到平面ABCD的距离BtH相等.

故选：B.

10.已知定点。（2,0）,直线/：y=&（x+2*>0）与抛物线产=以交于两点4,B,若加出=90。,

则|阴=（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】设人（王,）1）,3（孙必），联立直线/与抛物线的方程，求得菁+々，为々，y%，由ZA£）3=90。

可得D4-£>3=0,从而可求&的值，根据弦长公式即可求|A8|.

【详解】设4（西,刈,川孙村），

\-A(A+2)_^a2*2+(4々2_4)x+4公=0,

y=4x'7

4_4〃

由题知，△>0,故斗+々=-F---，=4，

48-8产八Q

贝Ijy>2=k（X]+2>攵（电+2）=公[内9+2（X]+%2）+4]=攵2

4+—+4=8,

由ZADB=90nZM-03=0=（%一2）（七一2）+乂必=（），

即XyX2-2（Xj+x2）+yly2+4=0,

,4-4

即4.2•虫X+8+4=0,解得公=《，则X+x,nT-g,

k131

3

则|AB\=yj\+k2•|芭-占卜,1+公•，（&+々）2-4为々=-V64-16=8.

故选：C.

11.在JRC中，AB=AC=2,BC=2y/3,。为BC的中点，将“18绕A。旋转至"£）,使得

BP=B则三棱锥P-A83的外接球表面积为（）

A.量身B.氧显C.5nD.8兀

36

【答案】C

【分析】推导出AO_L平面P8Q,计算出△P3Z）的外接圆的直径2八可得出三棱锥P-4?。的外接

球直径为2R=J（2厅+4〃，再利用球体表面积公式可求得结果.

圆柱。。2的底面圆直径为2r，母线长为/?,则。。2的中点。到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则

。为圆柱的外接球球心.

翻折前，在./WC中，AB=AC=2,BC=2有，。为BC的中点，则AD13C,

且仞=」6-92=12?-3=1，

翻折后，则有AO2BD,ADLPD,

又因为3DPD=D,BD、PDu平面PBD,所以，AO_L平面?肥＞,

由已知BO=尸。=BP=⑺，则△PBD是边长为5/3的等边三角形,

将三棱锥A-P3D置于圆柱。。2上，使得的外接圆为圆。2,

所以，的外接圆直径为2r=*_=2,

sin60

所以，三棱锥P—ABD的外接球直径为2R=92+（24=a+2?=石,则氏=等，

因此，三棱锥尸-ABD的外接球表面积为4兀代=4兀x（乎）=5兀.

故选：C.

V*_1_1

12.已知函数f（x）=W.若过点尸（-1,〃。可以作曲线y=〃x）三条切线，则机的取值范围是（）

【答案】A

【分析】切点为（所,黑），利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：誓-,（x-x。），

可得加=伍：1）一，设g（x）=（”+:）,求g'（x）,利用导数求g（x）的单调性和极值，切线的条数即

为直线）'=机与g（x）图象交点的个数，结合图象即可得出答案.

【详解】设切点为卜°，空），由f（x）=?可得/（力=e'-ejx+］）=子，

所以在点（%,空）处的切线的斜率为4=:（％）=,,

所以在点卜o,詈）处的切线为：y-竽=黄（》-不），

因为切线过点P（-1,租），所以〃?-整=会（-1-%），

即W=(%+1),即这个方程有三个不等根即可，

e%

切线的条数即为直线y=相与g")图象交点的个数，

设g(力等，

则g，(x)=(2x+2)V+2x+l)=—f+]

由g'(x)>0可得一1vxvl,由g'(x)<0可得：xv-l或x>l,

所以8(引=空[在(7,-1)和(1,一)上单调递减，在(-1,1)上单调递增，

当x趋近于正无穷，g(x)趋近于0,当x趋近于负无穷，g(x)趋近于正无穷,

g(x)的图象如下图，且g(l)=J

要使y=〃呜g(x)=0+l)的图象有三个交点,则0〈机<上

eve

则〃?的取值范围是：(o，g).

二、填空题

13.已知双曲线C:[-y2=],则c的离心率为.

【答案】叵足回

33

【分析】求出。、b.c的值，即可得出双曲线C的离心率的值.

7^

【详解】在双曲线C中，。=3,。=1,c=^/77F=^/371=Vio>

因此，双曲线C的离心率为e=£=画.

a3

故答案为：叵.

3

14.已知AB=(1,2),AC=(2,r),|BC|=1,则实数f=.

【答案】2

【分析】先求出向量BC的坐标，再利用模的坐标运算列方程求解即可.

【详解】由已知得5C=AC-A8=(1J—2),

|BC|=I,

.-.l+(r-2)2=l,

解得f=2.

故答案为：2.

15._ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c.若(2a-c)cos3=bcosC,且方=石，则一ABC

面积的最大值为.

【答案】—##7^3

44

【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得cosB的值，结合角3的取值范围可求得角8的

值，利用余弦定理结合基本不等式可求得"的最大值，即可得出.4?C面积的最大值.

【详解】因为(为一c)cosb=bcosC,由正弦定理可得(2sinA-sinC)cos3=sin3cosc

所以，2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B4-C)=sinA,

zi-

因为A、BG(O,7C),则sinA>0,所以，cosB=-,故8=,，

由余弦定理可得3=尸=a2-I-C2-2accosB=cr+C1-ac>2ac-ac=ac,

所以，ac<3f则S人6c=LqcsinB=@ac«^^.

由244

当且仅当a=c=百时，等号成立，故ABC面积的最大值为更.

4

故答案为：巫.

4

16.《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线

上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，三个半圆的圆心分别为。，

。一。2,半径分别为R,G(其中/?>4>弓)，在半圆。内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀

1r.

形《阴影部分）的概率为“吗一

【答案】3+2正##2夜+3

【分析】通过计算三个半圆的面积，表示阴影部分的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得出

答案.

【详解】解：阴影部分面积为：

S=-R2--2--2=-（R2-2-2}

02A2。r2r~2rr-/

由图可知：2/;+2乃=2R,所以q+G=R

则5=女«+j-Lf［吟2<.々=呻,

因为在半圆。内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率四,

C兀44_兀4弓21.—1

所以四代一勺4+疗d+^+2桃4,

Z\2z\

8斗心=42+芍2+2耳&,g|J1+弓2_64弓=0,则二-6二+1=0

解得：—=3±2>/2.因为4>4,

r2

所以人=3+2近.

r2

故答案为：3+20.

三、解答题

17.某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“一

般'’或"良好”，并得到如下列联表：

一般良好合计

男20100120

女305080

合计50150200

(1)通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？

(2)利用样本数据，在评价结果为“良好”的客户中，按照性别用分层抽样的方法抽取了6名客户.若从

这6名客户中随机选择2名进行访谈，求所抽取的2名客户中至少有1名女性的概率.

附表及公式：

n=a+b+c+d.

(4+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

【答案】(1)有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系.

【分析】(1)根据表中数据计算出K?的值，对比附表数据6.635,然后作出判断；

(2)先根据分层抽样计算出男、女客户并对男女生进行标记，列出“从6名学生中随机抽取2名'’的

所有基本事件，分析满足''抽取的两名学生中至少有1名女性”的基本事件，根据基本事件数之比求解

出对应概率.

［详解］Q)：200x(20x50-30x100)-

120x80x50x150

有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系.

(2)因为“效果较好''的男客户和女客户的人数之比为l(X):50,即为2:1,

2

所以抽取的6名客户中，男生有6x二=4名，记为4，B2,B、,B4,

女生有6X==2名，记为A，4,

从这6人中选取2人的所有基本事件有：(A.A?),('旦)，(4也)，(AW)，

(A,Bj,(4,4)(A),B2),,(A,B4),(B,,B2)>,

(火四)，(B2,B4),(国也),共15个.

其中至少一名女生的基本事件有：（44）,（A，4），（4，名），（4，员），

（A也）,（4,4）,（&闯,（人闯,（人,旦），共9个.

93

所以，抽取的2名学生中至少有1名女性的概率为三=j.

18.己知数列｛4｝是公差为2的等差数列，其前3项的和为⑵色｝是公比大于0的等比数列，伉=3,

4也=18.

⑴求数列｛%｝和｛〃,｝的通项公式;

4

⑵若数列匕｝满足c,=+b„,求仁｝的前”项和

“Mm

【答案】⑴凡=2"，2=3"

（2）7；,=

〃+12

【分析】（1）根据等差等比数列通项公式直接求解；

（2）利用裂项相消和等比数列的前〃项和公式求解即可.

【详解】（1）设公差为d,公比为4,

则由题可得数列｛”“｝的前3项的和3«,+号d=34+3d=12,

因为d=2,所以q=2,所以％=2+2（〃T）=2/?,

又因为仇=3也一久=刖2-如=18,

所以整-q-6=0解得q=3或q=-2（舍），

所以b“=3x3"T=3".

44111

（2）由（1）可知，%=-----+"=丁,n+S”n，/j,n+3"=----77+3\

cinan+[2/?-2（n+l）+n〃+1

所以卜〃｝的前〃项和7；为：

T〃=仇+G+C3++%+%

3w+,-3n3n+,-3

=—+=---+

n+\2n+12

所以7寸了

19.如图，在三棱锥尸-A8C中，”为一A8C的内心，直线A4与BC交于M,ZPAB=ZPAC,

/PCA=/PCB.

（1）证明：平面/<4A7_L平面ABC；

(2)若AB13C,R4=AB=3,BC=4,求三棱锥A/—PAC的体积.

【答案】（1）证明见解析

5

Q)匕，-"MC

2

【分析】（1）设PNA平面ABC于点M过N作NELAB于E,NFLAC于F,连接PE,PF,通

过全等三角形及角平分线性质可证N与H重合，从而可证平面PAM，平面ABC；

（2）由（1）知/W_L平面A8C,且由已知可求P”长度，再由角平分线性质可求AMC面积，从

而可求三棱锥M-PAC的体积.

【详解】（1）如图，设PN人平面ABC于点N,过N作于E,NF_LAC于R连接PE,

PF.

'：PN八平面ABC,ABu平面ABC

：.PNLAB

又，：NELABA34平面PNEAABVPE,

同理ACLPK

在RfPAE,用E4F中，ZPAE^ZPAF,PA=PA

/./\PAE^/\PAFAAF=AE

在.Rt八ANE,RtAANF中,AF^AE,AN=AN

：.Z^ANE^^ANF,:.NE=NF,即N到AB,4c的距离相等

同理N到8C,AC的距离相等，故N为,ABC的内心，N与，重合

，_L平面ABC

又：尸平面APM，平面RVW_L平面ABC

(2)由已知可得AC=5,设“ABC的内切圆半径为r,

则SAABC=5、4义3=5「(3+4+5),故r=l,

因为H为_A3C的内心，所以AH平分/B4C,所以空=整=3，

CMAC5

53

BM+CM=4,所以CM=-,BM=—,

22

故.AMC的面积为』CM-AB=身，

24

ApAR

因为HE_LAB9ABJLBC所以HE//BC,所以——=，得AE=2，

HEBM

所以A4=J,+AE2=6,PH=$AP2-AH。=2,

故三棱锥M-PAC的体积为丫…=|xP"=$1x2=|.

22(83A

20.已知椭圆E：]+}=l(a>6>0)经过A(0,l),7[-yj两点，M,N是椭圆E上异于T的

两动点，且NM4T=NM4T,直线AM,ANk>k2.

⑴求证：&他为常数；

（2）证明直线MN过定点.

【答案】（I）证明见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）根据椭圆过A和74例T=NN4T知AM与4N关于直线AT对称，设A"任一点为

4（%，%），求出其关于AT对称后的点外的坐标，表示出K，内即可证明；

⑵设点加（4,乂）,阳々,必），AMty=ktx+\.联立AM和椭圆方程，求出同理求出当，%，

根据（1）中尤%2的值得AM和ANMN的斜率，写出MN的方程，化简该方程为直线方程的斜截式即

可判断其经过定点.

从=1（a2=4

【详解】（）:椭圆过和：,649，解得「,

1AT,统+砺印,伍=1

，椭圆E的方程为：—+/=1,

4'

由NM4T=/M1T知40与AN关于直线AT：y=x+1对称.

在AM上任取一点外（修,外）,设k关于直线A7对称的点为《'（，”,〃）,

2V2L="j

则X0~m,解得/（%-l,x0+l）,

%+〃_%+加।]

2-2

“k,一％T,_（题+1）-1_x0

从而k、-kAP-,k2-k----7

%0%-1%-1

于是堆2=1.

（2）设点/（方方）,^W,%）,AM：y=k,x+\.

y=kx+\,

}8%

由反2_得（4形+1产+8用=0,

,T+>

1一4〃2

从而x=k[X[+1=-

ij2~i1

LE瓯1-4后

同理.=一百,%=超十

8kk2-4

由⑴有勺%=1，故々=一万才，%=卒，

为方便，记人=人，则

1-4公公_4

乂-丫2_4/+14+、2_8一弘4__+1

X—x,--8k8A-弘（3/-3）-3k

4f+14+k2

....」、.1-4^^+11-8k）

wf=媪（—一诉?=一丁"卜一束力,

2

Jt+18仔+1）「4公公+15

即y=---------X----7--------rH----------=----------X----.

3k3（4公+1）4&?+13k3

由此可知，当女变化时，直线MN过定点(。,一!).

【点睛】NK4T=NM47这个已知条件转化为直线AM和直线AN关于直线AT对称；第二问的关键

是结合韦达定理直接求出M和N的坐标，直接写出MN的方程，从而证明其经过定点.

21.已知函数/(x)=ae*—x2有两个极值点々、x>

⑴求〃的取值范围；

(2)若时，不等式占+/1々22士工2恒成立，求4的最小值.

【答案】⑴(0。)

⑵ln3-g

【分析】(1)由尸(x)=0可得。=/，令〃(司=弓，则直线y=。与函数"(x)的图象有两个交点，

利用导数分析函数"(x)的单调性与极值，数形结合可得出实数。的取值范围，再结合极值点的定义

检验即可；

(2)由已知可得出"e'=2x,>0,“e飞=2々>0,将这两个等式相除可得=主,变形可得

王

9-x,=ln五，再由％+而222入环2可得仇一士)(玉+；1%)22%七111二，令1可得出

%x]x]

x2詈T，令8(0=詈-；(噂3)，利用导数求出函数g(f)的最大值，即可得出实数'的最小值.

【详解】(1)解：因为〃x)=ae'-f,该函数的定义域为R,且/'(x)=ae'-2x,

因为函数f(x)有两个极值点，所以，方程/'(x)=0有两个不等的实数根，

则方程。?9有r两个不等的实根，

e

令“(x)=£,其中xeR,则令〃(x)=。可得X=l,列表如下:

XS'l)1(1,同

—

"'(X)4-0

"(X)增极大值减

2

所以，函数"(x)的极大值为“(1)=—,

0V0V-

月.当了<()时，w(x)=—<0；当x>0时，w(x)=—>0.

与函数”（X）的图象有两个交点，且交点横坐标为七、9（西<々）,

e

〃一1^）>0；当不<工<々时，/r（x）=ex

当x<X1或x>超时，f'(x)=ex(T<°.

此时，函数/（x）有两个极值点，合乎题意,

因此，实数〃的取值范围是

（2）证明：由（1）可知，函数/（x）的两个极值点阳、乙是方程ae、-2x=0的两个根,

2/

且0<a<一,0<X）<1<x,则有ae'=2X[>0,aeX2=2x>0,

e22

等式ae”=2xt与等式“e*=2々相除可得/一』=彳，则有超一玉=In?>0,

由%+AX2>2xtx2可得（/一土）（为+）22xtx2In三,

x\

即色出吐包221n迨,即（上一1丫立+[221n至，

X]&l玉AX2）X

因为马他，则字23,令r=,23,则（1）,+；卜21nr,可得人智

141

令g⑺=詈-=切口7—；-其中壮3,%，（/）—3—（4—、=—2In/一

令M，）=3-；+5-21nr,其中fN3,则厅⑺二乡-彳二二一2.」）<0,

所以，函数/力）在[3,+8）上单调递减，贝1]力（。4M3）=3-：+：-21n3=?-2ln3<0,

即g'（f）<0,所以，函数g（f）在[3,内）上单调递减,

所以，当d3时，8⑴皿一⑶二等十ln3-g,贝V3T.

因此，实数人的最小值为ln3-，

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作

出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归

思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由f(x)=0分离变量得出。=g(x),将问题等价转化为直线丫=。与函数y=g(x)

的图象的交点问题.

22.在直角坐标系xQy中，直线/的参数方程为卜=2+®，a为参数)以坐标原点。为极点，X轴

[y=t

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4P2丽/6=3("-1).

(1)求C的直角坐标方程；

⑵设直线/与曲线C交于A,B,求

【答案】⑴3/-丁-3=0

⑵3

【分析】(1)利用F=°c°s/和/+丁=夕2,即可将曲线c的极坐标