专题21.3一元二次方程的解法：公式法-2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（原卷版）【人教版】

2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题21.3一元二次方程的解法：公式法【名师点睛】利用公式法解一元二次方程：（1）把x=（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b²-4ac的值（若b²-4ac＜0，方程无实数根）；③在b²-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b²-4ac≥0．【典例剖析】【知识点1】求根公式的理解【例1】（2022·全国·九年级）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1=-b+A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝1 D．c【知识点2】判定方程解的个数【例2】（2022·广西·藤县教学研究室八年级期中）下列方程中，无解的是（

）A．x2-1=3 BC．x2+x-1=0 D【变式2】（2022·四川广安·二模）一元二次方程3x2-2x+4=0，它的根的情况为（

）A．两根之和为-23 B．两根之积为C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根【知识点3】根据解的情况求参数【例3】（2022·青海海东·九年级期末）若关于x的方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（A．2 B．1 C．14 D．【变式3】（2021·贵州·凯里市第四中学九年级期中）一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，则k的取值范围是（

）A．k≤2 B．k≠0 C．k⩽43且k≠0 D．k【知识点4】利用公式法解方程【例4】（2022·全国·九年级）解一元二次方程：x-1x-2【变式4】（2022·全国·九年级）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2021秋•峨眉山市期末）用公式法解方程x2+x＝2时，求根公式中的a，b，c的值分别是（）A．a＝1，b＝1，c＝2 B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2 C．a＝1，b＝1，c＝﹣2 D．a＝1，b＝﹣1，c＝22．（2021秋•永年区期末）x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝03．（2021秋•龙岗区校级期中）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝4．（2021秋•洪洞县期中）下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0的根是（）x…﹣2﹣10123…ax2﹣bx…620026…A．x＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x＝2 D．x1＝﹣1，x2＝25．（2021秋•青县月考）若方程x2+2mx﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，则该方程的解为（）A．x1＝，x2＝﹣ B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣26．（2021秋•信都区月考）小明在解方程x2﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）∴（第三步）∴（第四步）小明解答过程开始出错的步骤是（）A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步7．（2021秋•高邑县期中）下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，方程ax2﹣bx＝2的解是（）x‒2‒10123…ax2﹣bx620026…A．x＝1 B．x₁＝0，x₂＝1 C．x＝2 D．x₁＝‒1，x₂＝28．（2021•沂源县二模）问题：已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．解：设所求方程的根为y，则y＝，所以x＝2y．把x＝2y代入已知方程，得（2y）2+2y﹣3＝0，化简，得所求方程为4y2+2y﹣3＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．应用：已知方程4x2﹣x﹣15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为（）A．4y2+y﹣15＝0 B．4y2+y+15＝0 C．15y2+y﹣4＝0 D．15y2﹣y﹣4＝09．（2020•怀化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±210．（2020•黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）A．k＜ B．k≤ C．k＞4 D．k≤且k≠0二．填空题（共6小题）11．（2022•乳山市模拟）一元二次方程（2x+3）（x﹣1）＝1的解为．12．（2022•海曙区一模）代数式x2﹣2x与4x的值相等，则x的值为．13．（2021秋•长安区期末）写出方程x2+x﹣1＝0的一个正根．14．（2021秋•临海市期末）关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．15．（2022春•衡阳期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数解，则m的取值范围是：．16．（2022•利州区一模）定义新运算“*”，规则：a*b＝，如3*1＝3，（﹣）*＝，若x2+x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1*x2＝．三．解答题（共6小题）17．（2022•平度市校级开学）按要求解下列方程：（1）x2+2x﹣3＝0；（配方法）（2）2x2+4x﹣3＝0．（公式法）18．（2021秋•霸州市期末）（1）用配方法解方程：x2+4x﹣1＝0；（2）用公式法解方程：．19．（2021•石景山区一模）关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．20．（2020春•宝应县期末）已知关于x的一元二次方程3x2+bx﹣2＝0．（1）若b＝6，请你求出这个方程的解；（2）若b为任意数，请判断此时这个方程的根的情况．21．（2020秋•南安市期中）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+（m﹣2）＝0．（1）求证：