高考数学总复习第36讲椭圆 课件

高考数学总复习第36讲椭圆2023-12-07目录contents椭圆的定义和标准方程椭圆的焦点和离心率椭圆的切线方程椭圆的弦长公式及其应用椭圆的交点与方程组解的关系CHAPTER椭圆的定义和标准方程01椭圆的定义焦点位置顶点和焦点面积和周长离心率椭圆的几何性质一个平面内，与两个定点$F_{1}$、$F_{2}$的距离之和等于常数，且这个常数大于$|F_{1}F_{2}|$的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，椭圆被对称轴所分成的两个部分叫做椭圆的半焦距。椭圆是一种圆锥曲线，它具有以下几何性质椭圆的离心率定义为焦距与长轴长度的比值，即$e=\frac{c}{a}$，其中$c$为焦距，$a$为长轴长度。椭圆的离心率在$0$和$1$之间变化，离心率越小，椭圆越接近于圆，反之则越扁平。椭圆的焦点位于长轴上，且相对于椭圆中心的位置取决于椭圆的长轴和短轴的长度关系。如果$a>b$，焦点位于长轴上；如果$a<b$，焦点位于短轴上。椭圆有四个顶点，分别位于长轴和短轴的端点上。椭圆的两个焦点位于长轴的端点上。椭圆的面积计算公式为$S=\piab$，其中$a$和$b$分别为椭圆的长半轴和短半轴长度。椭圆的周长没有精确的公式，但可以通过积分或近似计算得到近似值。椭圆的定义标准方程椭圆的方程通常表示为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$(其中$a>b>0$)，这个方程叫做椭圆的标准方程。一般方程如果椭圆的长轴和短轴长度不同，则方程可以写为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$(其中$a\neqb$且$a>0$，$b>0$)。参数方程椭圆的参数方程是用来表示椭圆的一种常用方法。参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{matrix}\right.$(其中$\theta$为参数)。椭圆的方程焦点位置01椭圆的焦点位于长轴上，且相对于椭圆中心的位置取决于椭圆的长轴和短轴的长度关系。如果$a>b$，焦点位于长轴上；如果$a<b$，焦点位于短轴上。顶点和焦点02椭圆有四个顶点，分别位于长轴和短轴的端点上。椭圆的两个焦点位于长轴的端点上。面积和周长03椭圆的面积计算公式为$S=\piab$，其中$a$和$b$分别为椭圆的长半轴和短半轴长度。椭圆的周长没有精确的公式，但可以通过积分或近似计算得到近似值。椭圆的性质CHAPTER椭圆的焦点和离心率02椭圆的焦点是两个点，它们分别位于椭圆两侧，且到原点的距离相等。定义位置对称性焦点位于椭圆的长轴上，距离原点的位置与长轴和短轴的比值有关。椭圆关于两焦点对称，且关于长轴和短轴的交点对称。030201椭圆的焦点椭圆的离心率是焦点到椭圆中心的距离与长轴半径的比值。定义离心率取值范围为0到1之间，越接近0表示椭圆越扁平，越接近1表示椭圆越接近圆。取值范围离心率会影响椭圆的形状，离心率越小，椭圆越扁平；离心率越大，椭圆越接近圆。与形状的关系椭圆的离心率椭圆的几何性质是指其形状、大小和位置关系等特征。定义椭圆的标准方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)，其中a表示长轴半径，b表示短轴半径。标准方程椭圆的面积为πab，其中a和b分别为长轴和短轴的半径。面积椭圆的周长为2π(a+b)，其中a和b分别为长轴和短轴的半径。周长椭圆的几何性质CHAPTER椭圆的切线方程03设切点坐标为$(x_{0},y_{0})$，则椭圆的切线方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$。根据切点坐标和切线方程可以求得切线的斜率$k=\frac{y_{0}}{x_{0}}$。椭圆的切线方程是过椭圆上某一点的直线与椭圆相切的直线方程。椭圆的切线方程设切线方程为$y=kx+b$，与椭圆方程联立可以求得交点坐标。将切线方程和椭圆方程联立得$\left{\begin{matrix}y=kx+b\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\end{matrix}\right.$，消去$y$得$(b^{2}+a^{2}k^{2})x^{2}+2a^{2}kbx+a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2}=0$，根据韦达定理有$x{1}+x{2}=-\frac{2a^{2}kb}{b^{2}+a^{2}k^{2}}$，将$x{1}+x{2}$代入直线方程得$y{1}+y{2}=k(x{1}+x{2})+2b=\frac{2b^{2}}{b^{2}+a^{2}k^{2}}$，则交点坐标为$(-\frac{a^{2}kb}{b^{2}+a^{2}k^{2}},\frac{b^{2}}{b^{2}+a^{2}k^{2}})$。切线与直线的交点坐标切线与直线的斜率关系切线与直线的斜率关系取决于切点在椭圆上的位置和直线的斜率。如果切点在椭圆的最长轴上，则切线的斜率最大；如果切点在最短轴上，则切线的斜率最小；如果切点在椭圆的焦点之间，则切线的斜率等于零。CHAPTER椭圆的弦长公式及其应用04若已知椭圆上两点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，则AB的弦长为$\sqrt{(1+\frac{y_{2}^{2}}{k^{2}});{(x_{1}-x_{2})}^{2}}$$-4k^{2}\sqrt{\frac{y_{1}^{2}y_{2}^{2}}{k^{4}}-(\frac{x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}}{k^{2}})^{2}}$。两点式公式若已知椭圆上两点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，则AB的弦长为$\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+4y_{1}^{2}y_{2}^{2}}|y_{1}-y_{2}|$。端点式公式椭圆的弦长公式判断直线与椭圆的位置关系利用弦长公式可以计算出直线与椭圆相交的弦长，从而判断直线与椭圆的位置关系，如相交、相切、相离等。求椭圆上的点到直线的距离利用弦长公式可以求出椭圆上任意点到直线的距离。弦长公式的应用两点式公式表示的是已知两点在椭圆上的弦长，其几何意义为以两点为直径的圆与椭圆相交的弦长。端点式公式表示的是已知两点的纵坐标在椭圆上的弦长，其几何意义为以两点纵坐标为直径的圆与椭圆相交的弦长。弦长公式的几何意义端点式公式的几何意义两点式公式的几何意义CHAPTER椭圆的交点与方程组解的关系05当直线与椭圆相交时，两个交点的横坐标之和等于椭圆的长轴长，两交点的纵坐标之和等于椭圆的短轴长。椭圆与直线的交点当椭圆与圆相交时，两个交点的横坐标之和等于椭圆的长轴长，两交点的纵坐标之和等于椭圆的短轴长。椭圆与圆的交点椭圆与直线的交点坐标可以由方程组$\{\begin{matrix}y=kx+b\x^{2}+4y^{2}=4\end{matrix}$的解得到。方程组的解与交点椭圆的交点与方程组解的关系利用坐标变换求解对于一些复杂的椭圆方程，可以利用坐标变换将其化简，从而求解。利用定义求解根据椭圆的定义，可以知道椭圆的长轴长为$2a$，短轴长为$2b$，焦距为$c$，根据这些信息可以求解椭圆的方程。利用数值计算求解对于一些难以