河南省郑州市中原区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省郑州市中原区九年级(上)期中数学试卷一.选择题(每题3分，共30分)1.如图是一个空心圆柱体，其主视图是()2.下列方程中，是一元二次方程的是()C.x²-x=83.如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B,转盘A被三等分，0,-1;转盘B被四等分，2,-2,-3.如果同时转动转盘A,B,两个指针指向转盘A,B别为x,y(当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘)(x,y)y轴正半轴上的概率是()落在直角坐标系232ABB4.下列说法正确的是()C.平行四边形是轴对称图形5.如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是()6.如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行()A.1B.√2交AC于点E()8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,点E从点B开始，沿矩形的边BA-AD运动，BC=4,CE与对角线BD相交于点N,连接OF,则OF长度的最大值是()A.19.定义：如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“和谐”方程²+bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x²+mx+n=0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn值为A.2B.010.如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m,该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m²,阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度.若设人行通道的宽度为xm,下列方程正确的是()二.填空题(每题3分，共15分)12.校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，点P为AB的黄金分割点(AP>PB),那么AP的长度为.13.如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上一点，若BE=2,EC=3,则△AFD的面 积为 14.如图，菱形ABCD中，分别以点C、DF,且直线EF恰好经过点A,与边CD交于点M.连接BM,则BM=15.如图，在矩形ABCD中，AB=4,E是BC的中点，连接AE,沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D'处，PD=三.解答题(共8题，75分)16.解下列一元二次方程：(2)3x²=2(2-x).这四本书分别用相同的卡片A,B,C,D标记，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法18.已知关于x的一元二次方程x²+mx+m-1=0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)如果方程有一个根为正数，求m的取值范围.19.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(1)画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁;(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A₂B₂C₂,使△A₂B₂C₂与△ABC位似，且位似比为2,并求出△A₂B₂C₂的面积.为了让顾客得到更大的实惠，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0<x<20),若商贸公司要想获得2250元的利润，则这种干果每千克应降价多少元?(2)连接BD、DF,①当∠ABC=90°时，△BDF的形状是识测量了这个路灯的高.如图，光线透过窗子BC照亮地面的长度为DE,小明测得窗户23.已知正方形ABCD的边长为12,E、F分别为边DC、BC上两点.(1)如图1,若BF=CE,可知AF与BE的数量关系为(2)如图2,若BF=DE,作EH⊥AF于H,求证：DH=AB.(3)如图3,若DE=CE,BF=4,则AG长度为(直接写出答案).(图1)(图2)(图3)2023-2024学年河南省郑州市中原区九年级(上)期中数学试卷一.选择题(每题3分，共30分)1.如图是一个空心圆柱体，其主视图是()【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到2.下列方程中，是一元二次方程的是()C.x²-x=8【分析】根据一元二次方程的定义解答即可.解：A、x³+x²+7=0,未知数的最高次数是3,故本选项不符合题意；D、4x=32是一元一次方程，故本选项不符合题意.【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键.3.如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B,转盘A被三等分，0,-1;转盘B被四等分，2,-2,-3.如果同时转动转盘A,B,两个指针指向转盘A,B上的对应数字分别为x,y(当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘)(x,y)落在直角坐标系AAy轴正半轴上的概率是()323AB【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.解：列表如下：2032【点评】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提.4.下列说法正确的是()A.菱形的对角线相等B.矩形的对角线相等且互相平分C.平行四边形是轴对称图形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【分析】利用平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的判定依次判断可求解.解：A、菱形的对角线互相垂直；B、矩形的对角线相等且互相平分；【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，正方形的判定等知识，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键.5.如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是()【分析】直接利用位似图形的性质进而连接对应点得出位似中心即可.解：如图所示：两个三角形的位似中心是：点D.【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键.【分析】根据平行线分线段成比例即可求解.∴点P表示的数是5.【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.交AC于点E()A.2B.4【分析】作AH⊥BC于H,由AB=AC,得到BH=CH,求出∠B=∠C=30°,得到BH解：作AH⊥BC于H,【点评】本题考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，掌握以上知识点8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,点E从点B开始，沿矩形的边BA-AD运动，BC=4,CE与对角线BD相交于点N,连接OF,则OF长度的最大值是()【分析】由矩形的性质和三角形的中位线定理可求OF的最大值.解：由题意可知，当点E与点D重合时，∵O、F是BD,∵AE最大是8,∴OF长度的最大值是2.【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解9.定义：如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“和谐”方程²+bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x²+mx+n=0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn值为A.2B.0C【分析】根据一元二次方程的定义，可判定“和谐”方程的一个根为1,“美好”方程的一个根为-1,则2+m+n=0,2-m+n=0,然后求出m、n的值后计算mn的值.解：根据题意得“和谐”方程的一个根为1,“美好”方程的一个根为-1,所以一元二次方程2x²+mx+n=0的根为4和-1,所以2+m+n=6,2-m+n=0,n=-5,所以mn=0.【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值10.如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m,该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m²,阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度.若设人行通道的宽度为xm,下列方程正确的是()【分析】由人行通道的宽度为xm,可得出每个展位的长为(25-2x)m,宽根据每个展位的面积都为200m²,即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.∴每个展位的长为(25-2x)m,宽)即(40-4x)(25-2x)=600.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二二.填空题(每题3分，共15分)【分析】根据二次根式的性质可以得到x-1是非负数，由此即可求解.12.校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，点P为AB的黄金分割点(AP>PB),那么AP的长度为(5√5-5)cm.【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.解：∵点P为AB的黄金分割点(AP>PB),AB=10cm,【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.13.如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上一点，若BE=2,EC=3,则△AFD的面【分析】由平行四边形的性质得出AD=BC=BE+EC=5,BE//AD,则△BFE∽△DFA,解：∵四边形ABCD是平行四边形，故答案为：50.【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相【分析】证明AD=2AM,推出∠DAM=30°,求出AM,可得结论.解：在Rt△ADM中，∠AMD=90°,【点评】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.15.如图，在矩形ABCD中，AB=4,E是BC的中点，连接AE,沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D'处，pD=-【分析】根据矩形的性质得到AD=BC=6,∠BAD=∠D=∠B=90°,根据勾股定理得角三角形时，①当∠AD′P=90°时，②当∠APD′=90°时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结论.∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D'处，设PD'=PD=x,则AP=6-x,当△APD′是直角三角形时，【点评】本题考查了翻折变换(折叠问题),矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键.三.解答题(共8题，75分)(2)3x²=2(2-x).(2)利用公式法求解即可.,,【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是学会根据方程的特征确定解方程的方法，属于中考常考题型.这四本书分别用相同的卡片A,B,C,D标记，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的结果数，再利用概率公式可得出答案.开始开始BCDACDABDABC共有12种等可能的结果，其中《朝花夕拾》和《西游记》共同被选中的结果有2种，【点评】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，熟练掌握概率公式是解答本18.已知关于x的一元二次方程x²+mx+m-1=0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)如果方程有一个根为正数，求m的取值范围.【分析】(1)先计算判别式的意义得到△=(m-2)²≥0,然后根据判别式的意义得到(2)先利用求根公式解方程得x₁=-1,x₂=-m+1,得到m的范围.再根据题意得到-m+1>0,从而解得x₄=-1,x₂=-m+8,有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根.19.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(1)画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁;(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A₂B₂C₂,使△A₂B₂C₂与△ABC位似，且位似比为2,并求出△A₂B₂C₂的面积.…X【分析】(1)画出A、B、C关于x轴的对称点A₁、B₁、C₁即可解决问题；…X(2)连接OB延长OB到B₂,使得OB=BB₂,同法可得A₂、C₂,△A₂B₂C₂就是所求三解：(1)如图所示，△A₁B₁Cg就是所求三角形(2)如图所示，△A₂B₂C₂就是所求三角形.∵A(-1,2),6),5)₂B₂C₂与△ABC位似，且位似比为2,【点评】本题考查作图-位似变换，作图轴对称变换等知识，解题的关键是理解位似变换、轴对称变换的定义，属于中考常考题型.为了让顾客得到更大的实惠，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0<x<20),若商贸公司要想获得2250元的利润，则这种干果每千克应降价多少元?【分析】当这种干果每千克降价x元时，每千克的销售利润为(60-x-40)元，销售量为(10x+100)千克，利用总利润=每千克的销售利润×销售量，可列出关于x的一元二解：当这种干果每千克降价x元时，每千克的销售利润为(60-x-40)元，答：这种干果每千克应降价4元.【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列(2)连接BD、DF,①当∠ABC=90°时，△BDF的形状是;②若∠ABC=50°,当∠CFD=.65°时，四边形ABCD是菱形.【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AD//BC,得到∠DAE=∠CFE,根据全等三(2)①根据矩形的判定定理得到ABCD是矩形，得到AC=BD,等量代换即可得到结②根据菱形的性质即可得到结论.【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，②当∠CFD=65°时，四边形AB故答案为：等腰三角形，65.【点评】本题考查了菱形的判定，平