2023-2024学年云南省开远市高二上册期中数学模拟试题（附解析）

2023-2024学年云南省开远市高二上学期期中数学模拟试题考生注意：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效.一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合，，则（

）．A． B． C． D．2．若，则（

）A． B． C． D．3．已知等比数列满足，，（其中，），则的最小值为（

）A．6 B．16 C． D．24．设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（

）A．5 B．1 C．3 D．1或55．圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（

）.A． B． C． D．6．已知，，，则、、的大小关系为（

）A． B． C． D．7．已知，则（

）A． B． C． D．8．若函数的图象关于轴对称，则实数的值为A．2 B． C．4 D．二.多选题本题共4个小题，每小题5分，共20分.漏选每题给2分，多选不给分.9．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（

）A．向量，能作为平面内所有向量的一组基底B．若点G是的重心，则C．若，则或D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为10．下列叙述中正确的是（

）A．若是的必要不充分条件，则B．若，，，则“”是“”的必要不充分条件C．若，使不等式成立，则D．“”是“”的充分不必要条件11．已知，为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法错误的是（

）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则12．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长MF与抛物线相交于点N，则下列结论中正确的是（

）A．抛物线的准线方程为B．线段MN的长度为C．点N的坐标为D．的面积为三.本题共4个小题，每小题5分，共20分.13．已知，则.14．过点（1，2）总可作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是.15．数列满足：，，且，则该数列前100项和16．四面体ABCD中，平面ABC，，，，∠BAC=90°．若A，B，C，D四点都在同一个球面上，则该球面面积等于．四.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.其中17题10分，其余各题每题12分.17．在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.18．已知正项数列的前项和为，且.(1)求；(2)设，数列的前项和为，证明.19．某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组，，…，后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(1)求成绩落在上的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的平均分，中位数和众数；(3)为调查某项指标，从成绩在，分数段组的学生中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中选2人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段的概率.20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，分别是，的中点．(1)证明：平面；(2)若是边长为的等边三角形，，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．21．已知圆过点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）问是否存在满足以下两个条件的直线:①斜率为；②直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点.若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由.22．已知椭圆C：的短轴长为2，且点在C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设、为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆C与A、B两点，若的面积是，求直线l的方程．1．A【分析】先求解集合与集合，利用集合的并集运算求解即可.【详解】解：因为，解得，故集合；因为，解得，故集合；所以，即故选：A.2．A【分析】由复数除法法则求得，再由复数模的定义计算．【详解】由，得，所以．故选：A．3．D【分析】利用等比数列的性质，得出和的关系，利用基本不等式求出的最小值【详解】由题意，在等比数列中，，，由等比数列的性质，可得，，当且仅当，时，等号成立，因此，的最小值为2.故选：D.4．A【分析】根据双曲线的定义即可求解.【详解】依题意得，，，因此，由于，故知点只可以在双曲线的左支上，因此，即，所以，故选:A．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若，则点不存在，无解；若，则点P只能在左支上，有一解；若，则点既能在左支上，又能在右支上，有两解．5．B【分析】根据题意，求得圆锥的高，再由圆锥的体积公式，即可得到结果.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，则，所以，，所以圆锥的体积为.故选：B6．A【分析】利用函数单调性，对数运算法则和中间值比较大小.【详解】，，，且，故.故选：A7．C【分析】根据同角平方关系结合角的范围求得，再根据，结合和角余弦公式即可求解.【详解】因为，所以，又，所以，所以.故选：C8．B【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到，进而得到恒成立，根据对应项系数相同可得方程求得结果.【详解】图象关于轴对称，即为偶函数

即：恒成立，即：，解得：本题正确选项：本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.9．BD【分析】由基底的概念即可判断A，由三角形重心的定义即可判断B，由平面向量数量积的定义即可判断C，由投影向量的概念即可判断D.【详解】因为向量，，则，即，则不能作为平面内的基底，故A错误；

如图所示，连接并延长交于点，点为中点，延长到点，使得，则，，所以，故B正确；因为，若，则或或，故C错误；因为向量，，则向量在向量上的投影向量为，故D正确；故选：BD10．BD根据充分条件与必要条件的概念，结合特殊值法，逐项进行判断，即可得出结果.【详解】A选项，若是的必要不充分条件，则是的真子集，因此只需，解得，故A错；B选项，由可推出；当时，由不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件；故B正确；C选项，若，则，使得，即能使不等式成立，故C错；D选项，由可得；而由不能推出，（当时，也满足），所以“”是“”的充分不必要条件；故D正确.故选：BD.结论点睛：判断充分条件与必要条件，或由充分条件与必要条件求参数时，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含.11．ABC【分析】通过分析不同情况下直线和平面的位置关系即可得出结论.【详解】由题意，A项,设所在平面,,只需即满足题设,故A错误；B项，设且且,此时，B错误；C项，当，，时，可能垂直于，C错误；D项，当，，，则，故D正确.故选：ABC.12．ACD【分析】对于A：把点代入抛物线求得，进而求焦点和准线；对于BCD：求直线的方程，联立方程求点的坐标，结合抛物线的定义和性质逐项分析判断.【详解】因为点在抛物线上，则，解得，则抛物线方程为，可知，准线为，故A正确；可知：，则直线的方程为，即，联立方程，解得或，即，故C正确；可得，故B错误；的面积为，故D正确；故选：ACD.13．【分析】先求导，再令，算出，进而计算【详解】求导得,把代入得,解得所以，即故14．把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，使其大于0，列出关于的不等式，求出不等式的解集，从而可得实数的取值范围【详解】解：把圆的方程化为标准方程得，所以，解得，因为过点总可作两条直线与圆相切，所以可知点在圆外，所以，即可，解得或，所以实数的取值范围为，故此题考查点与圆的位置关系，二元二次方程为圆的条件及一元二次不等式的解法，考查转化思想，属于中档题15．【分析】根据递推公式求得数列前几项，观察可得是以6为周期的数列.进而求出，即可根据周期性得出答案.【详解】由已知可得，，，，，，，，所以，是以6为周期的数列.又，所以，.故5.16．【分析】由题意可将四面体ABCD补形到长方体中，利用长方体求外接球半径，进而求表面积.【详解】在四面体ABCD中，因为平面ABC，∠BAC=90°．所以AB，AC，AD两两互相垂直，可将四面体ABCD补形到长方体中，如图所示，因为，，，所以长方体外接球半径，所以球的变面积,故答案为.17．（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理化边为角，再用三角形内角和为180°降为两个角的等式；（2）用正弦定理把边的代数式表达为一个角的函数关系式，再求值域.【详解】（1）由，根据正弦定理有.所以，所以.因为为三角形内角，所以，所以，因为为三角形内角，所以.（2）由，，根据正弦定理有：，所以，.所以.当时，等号成立.所以的最大值为.另解：（2）由，，根据余弦定理有：，即.因为，所以.即，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.正弦定理化边为角或化角为边，是解决这类问题的重要手段，需要熟练掌握.18．(1)(2)证明见解析【分析】（1）首先根据，，变形证明数列是等差数列，即可求通项公式；（2）首先根据（1）的结果，，再利用放缩法得，最后再求和，即可证明不等式.【详解】（1）当时，，即，由数列为正项数列可知，，又，即数列是首项为1，公差为1的等差数列，即，则，当时，，当时，成立，所以（2）由（1）可知，，则，当时，，成立，，成立，当时，，即.综上可知，，得证.19．(1)0.3，作图见解析(2)平均分71，中位数，众数75(3)【分析】（1）由各组的频率和为1可求出上的频率，从而可补全这个频率分布直方图，（2）直接由平均数的公式计算平均数，由于前三组的频率之和为0.4，第四组频率为0.7，所以可知中位数在第4组，从而可求出中位数，由于第4组的频率最大，所以众数在第4组，（3）根据频率分布直方图求出，的人数，然后利用分层抽样的定义可求出各组抽取的人数，再利用古典概型的概率公式求解即可【详解】（1）由题意得，所以这一组在频率分布直方图上的高为，补全的频率分布直方图如图所示（2）平均分为：，前三组的频率之和为0.4，第四组频率为0.7，所以中位数在第四组，中位数为：第四组频率最大，所以众数为.（3）成绩在有人，成绩在有人，现按照比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，则成绩在抽取的人数为人，

成绩在抽取的人数为人，从这6人中选2人有种选法，选出的这2名学生来自同一分数段有种.所以，选出的这2名学生来自同一分数段的概率为.20．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面平行的判定定理求解即可；（2）建立坐标系，用向量法求解即可【详解】（1）取的中点，连接，，在△中，，且，又，，所以，且.所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）取的中点为，连接，则.又平面平面，则平面.建立如图空间直角坐标系.由已知得，，，，.所以，，.设是平面的法向量，则即，令，则设直线与平面所成的角为.则，所以直线与平面所成角的正弦值为.21．(1);(2)存在这样的两条直线，其方程是或【详解】试题分析：(1)将方程设为圆的一般方程，，根据条件表示为的三元一次方程，解方程组即求得圆的方程；（2）首先设直线存在，其方程为，它与圆C的交点设为A、B然后联立直线与圆的方程，得到根与系数的关系，根据,得到，代入直线方程与根与系数的关系解得b，得到直线方程，并需验证.试题解析：解：(Ⅰ)设圆C的方程为则∴解得D="-6,"E="4,"F=4∴圆C方程为:即(Ⅱ)设直线存在，其方程为，它与圆C的交点设为A、B则由得（＊）∴∵AB为