新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市重点中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题（含答案 ）

乌鲁木齐市重点中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题总分150分考试时间120分钟一、单项选择题（8小题每题5分共40分）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数，则的虚部为（

）A．2 B．2 C． D．-23．等边的边长为3，若，，则（

）A． B． C． D．4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是

A． B． C． D．5．若椭圆经过原点，且焦点分别为则其离心率为A． B． C． D．6．已知，则的值为（

）A． B． C． D．7．“数列和数列极限都存在”是“数列和数列极限都存在”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．非充分非必要8．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（

）A． B． C．6 D．二、多选题（共4小题每题五分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9．新冠肺炎疫情防控期间，进出小区、超市、学校等场所，我们都需要先进行体温检测.某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（

）甲同学体温的极差为0.4℃ 乙同学体温的众数为36.4℃，中位数与平均数不相等乙同学的体温比甲同学的体温稳定 甲同学体温的第80百分位数为36.5℃10．若，，则下列选项正确的有（

）．A． B． C． D．11．下列说法中正确的是（

）A．全称量词命题“，”的否定是“，”B．若函数在其定义域内的最大值为2，最小值为0，则的值域是C．定义在上的函数的图象与y轴有且只有一个交点D．若是奇函数，则12．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示的六面体，则下列说法正确的是（

）A．六面体的体积为B．若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为C．折后棱，所在直线异面且垂直D．折后棱，所在直线相交三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个.（用数字作答）14．已知一圆台的高为3，下底面面积是上底面面积的4倍，若圆台的体积为，则该圆台的母线长为．15．已知两个不同的零点，则m的取值范围是．16．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，点在直线上，且满足.若存在实数使得，则双曲线的离心率为四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。）17．已知函数．（1）若，求的递增区间和值域；（2）若，求点．18．如图，在四面体中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若，求证：．19．已知函数的两个极值点为，2，且在处的切线方程为．(1)求函数的表达式；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．20．已知数列中，，___________，其中.(1)求数列的通项公式：(2)设，求数列的前项和.从①前项和，②，③且，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答.21．肥胖已经成为威胁人类身体健康的第二大危险因素，体重指数是判断是否肥胖的标准之一（，其中，体重单位：公斤，身高单位：米），体重指数超过24属于肥胖.为调查青少年的肥胖与性别是否有关，从17岁的青少年中随机抽取了50位进行调查，其中男生30人，女生20人，这20位女生的原始数据如表所示：已知，50人中共有11人属于肥胖.编号1234567891011121314151617181920身高/159160172160173165164170161170164168158165155170167163165167体重/公斤5255566161524850535051605457655556545885体重指数20.621.518.923.420.319.117.817.320.417.319.021.321.621.927.11920.120.321.330.5(1)补充列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为肥胖与性别有关系？是否肥胖合计性别肥胖不肥胖男生30女生20合计50附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(2)从11位肥胖的同学中随机抽取2人进行减肥减脂训练，记抽取到的女生人数为X，求X的分布列及均值.22．一个袋子中装有个红球和5个白球，一次摸奖是从袋中同时摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（1）试用表示一次摸奖就中奖的概率；（2）若，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？数学答案：1．A【分析】求出集合可得.【解析】，，故，故选：A.2．A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到其共轭复数，从而判断可得；【解析】解：因为，所以，则的虚部为；故选：A3．A【分析】取中点，建立直角坐标系，得到，再根据模长的坐标公式即可求解.【解析】如图，取中点，建立直角坐标系，则，由，若，则，所以得：，由，若，则，所以得：，所以，故.故选：A4．D【解析】根据幂函数和指数函数和三角函数的奇偶性，以及单调性得到结果.【解析】是奇函数，故A排除；是非奇非偶函数，C排除；是偶函数，但在上有增也有减，B排除，只有D正确.故答案为D.5．C【解析】由题意可知：.本题选择C选项.6．A【分析】由二倍角公式可求得的值，结合诱导公式即可求得结果.【解析】因为，所以，所以.故选：A.7．C【解析】由题意，分别从充分性与必要性两个部分证明，对于充分性，都存在，证明与存在；对于必要性，都存在，证明存在.【解析】都存在，所以，，所以与存在，故充分性成立；记，，则，，由题意，都存在，所以，，所以都存在，故必要性成立，所以“数列和数列极限都存在”是“数列和数列极限都存在”的充分必要条件.故选：C.8．B【分析】利用正弦定理及两角和的正弦公式得，代入“三斜求积”公式，利用二次函数求解最值.【解析】因为，所以，所以，由正弦定理得，又，所以，所以当即时，面积的最大值为.故选：B9．ACD【分析】根据图中数据，依次分析各选项即可得答案.【解析】解：对于A选项，甲同学体温的极差为℃，故A选项正确；对于B选项，乙同学体温为，其众数为36.4℃，中位数、平均数均为36.4℃，故B选项错误；对于C选项，根据图中数据，甲同学的体温平均数为36.4℃，与乙同学的体温平均数相同，但甲同学的体温极差为℃，大于乙同学的体温极差℃，故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C选项正确；对于D选项，甲同学的体温从小到大排序为，，故甲同学体温的第80百分位数为36.5℃，故D选项正确.故选：ACD10．ACD【分析】先把指数式化为对数式，求出的值，然后利用对数函数的性质逐个分析判断即可.【解析】由，得：，，因为，所以，故A正确；，所以，故，故B不正确；，所以，所以C正确；因为，所以等价于，即，因为，即，所以，即，而，所以成立，所以，故D正确.故选：ACD.11．AC【分析】对于A选项，根据全称命题的否定为特称命题即可判断A选项正误；对于B选项，可以举分段函数的反例即可判断B选项的正误；对于C选项，可以根据函数的定义进行判断C选项的正误；对于D选项，可以举的反例进行判断D选项的正误.【解析】对于A选项，已知命题“”的否定为“”，故A选项正确；对于B选项，若是分段函数，则其值域不一定为；故B选项错误；对于C选项，因为函数的定义域为，故函数在处一定有意义，根据函数定义，自变量与因变量直接存在一对一或多对一的对应关系，不存在一对多的对应关系，所以函数图像与轴有且只有一个交点，故C选项正确；对于D选项，若为奇函数，但是在处无意义，故D选项错误.故选：AC12．ABD【分析】六面体由两个全等的正四面体组成，算出每个正四面体的高为，再利用锥体的体积公式即可判断A；由图形的对称性，小球的体积要达到最大，即球与六面体的每个面都相切时体积达到最大，利用等体积法求得内切球的半径，再利用球的体积公式即可判断B；利用翻折变换规律，折后、在共底的两个四面体的底面，可判断CD；【解析】对于A，六面体由两个全等的正四面体组成，其中每个四面体的棱长为1，取的中点D，连接，且，由正四面体性质知，顶点在底面的投影在上，如图所示，，，故四面体的高为，故六面体的体积，故A正确；对于B，由图形的对称性，小球的体积要达到最大，即球与六面体的每个面都相切时体积达到最大，六面体的每个面的面积是，连接球心与五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，且每个小棱锥的高都是球的半径，由等体积法知，解得，所以球的体积，故B正确；对于CD，折后、在共底的两个四面体的底面，则直线与相交，故C错误，D正确；故选：ABD.13．1080【解析】14．【分析】先利用题给条件求得圆台的上、下底面半径，进而求得该圆台的母线长.【解析】设圆台的上、下底面半径分别为，，因为下底面面积是上底面面积的4倍，所以，则，由圆台的高为3，体积为，可知，解得，则，如图所示，过A作的垂线，垂足为C，则，，，又，故圆台的母线长．

故答案为：15．【分析】由题意有两个不同的零点可化为方程有两个不同的解,利用函数图象解答.【解析】因为有两个不同的零点可化为方程有两个不同的解，作函数的图象如下所示，由图可知，的取值范围为故答案为：16．【分析】根据双曲线的定义及向量的运算，三角形的正弦定理，求出，再表示出，根据双曲线离心率的定义求解即可.【解析】设直线交轴于点，如图，设的外接圆半径为，由，有，故，所以直线过的内心，设的内切圆圆心为，内切圆圆分别切、、于点、、，由切线长定理可得，，，所以，，结合图形可得，所以，，故的内心的横坐标为，因为点在直线上，所以点为的内心.由可得，所以，，记，设，则，所以，，所以，点在直线上，又因为，故点与点重合，且有，由角平分线的性质可知点到直线、的距离相等，故，同理可得，令，则，且，故.则双曲线的离心率.故答案为：.17．（1），值域；（2）.【解析】（1）先利用诱导公式和降幂公式可将化为，利用正弦函数的性质可得函数的单调区间和值域.（2）利用两角差的正弦公式可求的值.【解析】①，由得，，又，所以的递增区间为，又，故，所以，值域为.②由得，因，所以，故.18．证明见解析【分析】欲证，只要证明，需将用其他向量表示后再进行计算．【解析】证明：如图，设．因为P，M分别为OA，BC的中点，所以．N，Q分别为AC，OB的中点,则所以．又因为，所以所以，所以，即．19．(1)(2)【分析】（1）求，由题意可得，，由导数的几何意义可得，，将代入，中求出的值即可求解；（2）分别讨论，，，分别分离参数，构造函数转化为最值问题即可求解.【解析】（1）由可得，则，2是方程的两根，所以，（*）因为又因为处的切线方程为故，代入（*）式解得，故（2）由（1）知：，①当时，即恒成立，此时，②当时，由即，分离参数可得：，设，则，，故在上单调递减，上单调递减，上单调递增，故当时，在上单调递减，上单调递增，所以的最小值为，所以，③当时，由分离参数可得设，则，由②过程知在上单调递减，故，所以，综上所述：的取值范围为.20．(1)(2)【分析】（1）选①，根据与的关系即可得出答案，选②，根据，可得数列是以2为公差的等差数列，从而可得答案；选③，根据，可得数列是以2为公差的等差数列，从而可得答案；（2）利用分组求和法即可求出答案.(1)解：选①，当时，，当时，也成立，所以；选②，因为，所以，所以数列是以2为公差的等差数列，所以；选③，因为，所以数列是以2为公差的等差数列，设公差为，则，所以，所以；(2)解：选①②③答案相同，，又，所以数列是以为首项，4为公比的等比数列，所以.21．(1)列联表见解析，不能认为肥胖与性别有关系，(2)见解析【分析】（1）根据题意可填写出列联表，然后利用公式计算，再根据临界值表判断即可，（2）由题意可得X的可能的取值为0，1，2，然后求出对应的概率，从而可求得X的分布列及均值(1)由题意可得是否肥胖合计性别肥胖不肥胖男生92130女生21820合计113950则，因为，所以不能认为肥胖与性别有关系，(2)由题意可得X的可能的取值为0，1，2，则,,,所以X的分布列为012所以22．（1）；（2）；（3）.【解析】（1）一次摸奖从个球中任选两个，有种，它们等可能，其中两球不同色有种，一次摸奖中奖的概率；（2）根据（1）的结果，即可求出三次