专题11图形的位似变换与综合与实践 测量与误差（4个知识点8种题型2种中考考法）（原卷版）

专题11图形的位似变换与综合与实践测量与误差（4个知识点8种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.位似图形的概念（重点）知识点2.图形的放大与缩小（重点）知识点3.平面直角坐标系中图形的位似变换知识点4.利用相似三角形解决测量问题（重点）【方法二】实例探索法题型1.利用位似图形求图形的面积、周长等。题型2.画位似图形题型3.确定位似中心题型4.平面直角坐标系中的位似图形题型5.利用相似三角形解决测量问题题型6.利用位似图形解决实际问题题型7.位似与相似、函数的综合运用题型8.规律探究题【方法四】仿真实战法考法1.位似变换考法2.相似三角形的应用【方法五】成果评定法【学习目标】学会用位似变换把一个图形放大或缩小，了解平面直角坐标系下位似变换图形坐标的特点。了解相似变换、位似变换，位似图形及其有关概念。掌握常用的测量物体高度的方法，并会用这些方法测量物体的高度。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.位似图形的概念（重点）1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。2）相似图形与位似图形的区别与联系：区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。联系：位似图形是特殊的相似图形。3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。【例1】（2022秋·九年级单元测试）如图，下面三组图形中，位似图形有（）A．0组 B．1组 C．2组 D．3组【变式】（2023·河北保定·校考一模）如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点逆时针旋转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（

）A．总与位似B．与不会位似C．当点落在上时，与位似D．存在的两个位置使得与位似知识点2.图形的放大与缩小（重点）利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。【例2】（2021春·河北邯郸·八年级统考期末）如果一个图形上各点的横坐标保持不变，而纵坐标分别都变化为原来的，那么所得的图形与原图形相比()A．形状不变，图形缩小为原来的一半B．形状不变，图形放大为原来的2倍C．整个图形被横向压缩为原来的一半D．整个图形被纵向压缩为原来的一半知识点3.平面直角坐标系中图形的位似变换在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形的位似图形，使它与原图形的相似比为k，若原图形上点的坐标为(x，y)，则位似图形上与它对应的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).【例3】（2022秋·湖南衡阳·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（

）A． B．C．或 D．或【变式】（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）如图，是的位似图形，已知，，则点的坐标是（

）

A． B． C． D．知识点4.利用相似三角形解决测量问题（重点）（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．【例4】（2022秋·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考期中）如图，身高为的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影由B到A走去，当走到C点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，，于是得出树的高度为（

）A． B． C． D．【变式】（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，若测得米，米，米，则水面以上深度为（

）A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米【方法二】实例探索法题型1.利用位似图形求图形的面积、周长等。1.（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为15，则的周长为（

）

A．10 B．6 C．5 D．42.（2023·重庆·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，的面积为2，则的面积为（

）

A．4 B．6 C．8 D．183．（2023秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，矩形与矩形位似，位似中心是原点，若点，，则矩形与矩形的面积比为（

）A． B． C． D．4．（2023·重庆南岸·统考一模）正方形ODEF与正方形OABC位似，点O为位似中心，，则正方形ODEF与正方形OABC的周长比为（

）

A． B． C． D．题型2.画位似图形5．（2023·广东佛山·校联考二模）如图所示，在学习《图形的位似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．

(1)仅借助不带刻度的直尺，在图1中标出与的位似中心M点的位置（保留作图痕迹），并写出点M的坐标________；(2)若以点O为位似中心，仅借助不带刻度的直尺，在图2中画出在y轴左侧的位似图形，且与的相似比为；(3)在（2）中，若边上的一点的坐标为，则点在在上的对应点的坐标为________．题型3.确定位似中心6.（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）把放大为原图形的2倍得到，则位似中心可以是（

）A．G点 B．F点 C．E点 D．D点7.（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心是（

）．A． B． C． D．8．（2022秋·山西太原·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形．位似中心是（）A．（8，0） B．（8，1） C．（10，0） D．（10，1）9．（2021春·湖北武汉·九年级华中科技大学附属中学校考阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点S题型4.平面直角坐标系中的位似图形10.如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，请按下列要求画图：（1）将先向右平移个单位长度、再向下平移个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标；（2）以点为位似中心将放大倍，得到，画出并写出点B的坐标．11．（2023·河南周口·统考一模）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形且顶点均在格点上．

(1)在图中画出位似中心的位置，并写出位似中心的坐标；(2)与的位似比为__________，面积比为__________．题型5.利用相似三角形解决测量问题12．如图，花丛中有一路灯.在灯光下，小明在点D处的影长，沿方向行走到达点G，，这时小明的影长.如果小明的身高为1.7m，求路灯的高度.（精确到0.lm)13.为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离B（树底）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，求树AB的高度．题型6.利用位似图形解决实际问题14．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）阅读与思考下面是某兴趣小组的一次实践活动记录：兴趣小组札记2022年×月×日，在数学兴趣小组开展的活动中，小华给每位同学发了一张扇形纸片，并要求大家按照下面的做法画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径，和上．小李的做法如下：如图1，先在扇形内画出正方形，使得C，D两点在上，点F在上，连接并延长交于点G，过点G分别作于点J，交于点H，再作于点I．

(1)猜想证明：请问小李画出的四边形是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由．(2)实践操作：如图2，给定锐角三角形，画出一个长宽比为的矩形，使得点D，E位于边上，点F，G分别位于边，上．15．（2023·全国·九年级专题练习）我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．如图，在的正方形网格中，将弦图放大，使点A，B，C，D的对应点分别为，，，．

(1)与的比值为；(2)补全弦图．16．（2023·河北石家庄·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，，，嘉琪用手机设计了动画，光点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向右匀速运动；光点Q同时从点B出发，在点P的正下方沿抛物线运动，设运动时间为t，当时，P、Q第一次相遇．

(1)①P、Q第一次相遇时，点P的坐标为________；②求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；(2)当P、Q相遇后，点P的运动保持不变，点Q沿与形状相同的抛物线（如图）运动，点Q仍在点P的正下方，再次相遇时同时停止运动．当时，光点Q运动到抛物线的最低点，求点P、Q在运动的整个过程中，距离不超过2的时间；(3)在（2）的条件下，P、Q运动结束后，嘉琪用手机截图、后，发现屏幕上有一个黑点K（位置固定），刚好落在平面直角坐标系的位置，嘉琪通过手机触屏功能将与横向、纵向同时放大a倍，使点K落在或上（放大过程中不改变坐标原点的位置），直接写出符合条件的a的值．题型7.位似与相似、函数的综合运用17.如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的25（2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？题型8.规律探究题18.如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．【方法三】仿真实战法考法1.位似变换1．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）2．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（1，1） B．（4，4）或（8，2） C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）3．（2023•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（1，0），B（2，3），C（﹣1，2），若四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象限内点B′的坐标为．4．（2023•阜新）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是．5．（2023•盘锦）如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A′B′O，则点A′的坐标为．考法2.相似三角形的应用6．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m7．（2023•镇江）如图，用一个卡钳（AD＝BC，＝＝）测量某个零件的内孔直径AB，量得CD长度为6cm，则AB等于cm．8．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为米．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023春·安徽·九年级专题练习）《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是（

）

A． B． C． D．2．（2023春·安徽·九年级专题练习）三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标是（）A． B．或C．或 D．3．（2022秋·安徽蚌埠·九年级统考阶段练习）如图，四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形，若四边形与四边形的面积比为，则（）A． B． C． D．4．（2022秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，以O为位似中心，与位似，若B点的对应点的坐标为，则A点的对应点坐标为(

)A． B． C． D．5．（2023秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，与的顶点都在格点上，且两个三角形位似，点A的坐标是，则位似中心的坐标是（

）A． B． C． D．6．（2022秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图是赵师傅利用一块三角形的白铁皮剪成一块正方形铁皮备用．在△ABC中，BC＝120，高AD＝80，正方形EFGH的边GH在边BC上，E，F分别在边AB，AC上，则正方形EFGH的边长为（

）A．36 B．42 C．48 D．547．（2023·安徽宿州·统考一模）如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为，则屏幕上图形的高度为（

）A． B． C． D．8．（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，已知点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（

）

A． B． C． D．9．（2022秋·安徽宣城·九年级统考阶段练习）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（

）A． B．C． D．10．（2020秋·安徽安庆·九年级校考阶段练习）如图，圆桌上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面形成阴影，已知桌面的直径为，桌面距离地面，若灯泡距离地面，则地面上阴影部分面积为（

）

A． B． C． D．二、填空题11．（2023秋·安徽滁州·九年级校考期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高为12．（2017·安徽·九年级专题练习）如图，正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，相似比为，点的坐标为，则点的坐标是．13．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为．14．（2022秋·安徽阜阳·九年级统考期中）如图，与位似，点O为位似中心，位似比为．若的周长为4，则的周长是．15．（2020·安徽合肥·统考二模）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是．16．（2022秋·安徽合肥·九年级统考期末）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为．17．（2022秋·安徽宿州·九年级统考期末）如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC＝1m．已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5m，AC在地面的影长CM＝4.5m，则窗户的高度为m．18．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期中）如图，小明在A时测得垂直于地面的树的影长为4米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为米．三、解答题19．（2022秋·安徽宿州·九年级校考阶段练习）如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，树与路灯的水平距离，求路灯的高度．20．（2022秋·安徽蚌埠·九年级统考阶段练习）《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．21．（2022秋·安徽宿州·九年级统考期末）如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树（树与地面垂直）的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平（即与地面平行），并且边与树顶B在同一直线上．已知纸板的两