专题11 勾股定理及逆定理之十大考点(解析版)

专题11勾股定理及逆定理之十大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一用勾股定理解三角形】 1【考点二以直角三角形三边为边长的图形面积】 3【考点三勾股定理与网格问题】 5【考点四勾股定理与折叠问题】 7【考点五勾股定理的证明方法】 10【考点六勾股树(数)问题】 15【考点七判断三边能否构成直角三角形】 16【考点八在网格中判断直角三角形】 18【考点九利用勾股定理的逆定理求解】 20【考点十勾股定理逆定理的实际应用】 23【过关检测】 27【典型例题】【考点一用勾股定理解三角形】例题：（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，长方形中，，，，则______．

【答案】4.8【分析】利用长方形的性质得到，利用勾股定理计算出，利用面积法计算出即可．【详解】解：∵四边形长方形，∴，在中，，∵，∴．故答案为：4.8．【点睛】本题主要考查了勾股定理，等积法求直角三角形的高，解题的关键是熟练掌握勾股定理求出．【变式训练】1.（2023春·湖南郴州·八年级校考期中）如图，在中，，，，求BC边上的高AD的长．

【答案】12【分析】为高，那么题中有两个直角三角形．在这两个直角三角形中，设为未知数，可利用勾股定理都表示出长．求得长，再根据勾股定理求得长即可．【详解】解：设，则，在中，，在中，，∴，，解得，在中，．【点睛】本题考查了勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点．主要利用了勾股定理进行解答．2.（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，在中，，，，于．求：

(1)的长和的面积；(2)的长．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据勾股定理求得的长；利用三角形的面积公式可求出的面积；（2）再根据三角形的面积公式是一定值求得即可．【详解】（1）解：在中，，，，∴，∴．（2）解：，，．【点睛】此题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．【考点二以直角三角形三边为边长的图形面积】例题：（2023·全国·八年级假期作业）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面积分别为6，18，则正方形A的面积是（

）

A． B． C．12 D．24【答案】D【分析】由正方形的面积得，，再由勾股定理得，即可得出结论．【详解】解：如图，

正方形，的面积分别为6，18，，，，，正方形的面积，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式训练】1.（2022秋·广东茂名·八年级校考期中）如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别是，，，且，，则（

）

A．20 B．12 C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，，∴；故选A．【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．2.（2023春·山东德州·八年级统考期中）如图，字母B所代表的正方形的面积是（

）

A．12 B．15 C．144 D．306【答案】C【分析】根据勾股定理求出字母B所代表的正方形的边长，根据正方形的性质即可求出面积答案．【详解】解：如图，

在中，由勾股定理得，，字母代表的正方形的边长为，字母B所代表的正方形的面积为：．故选C．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、正方形的面积，熟知如果直角三角形的两条直角边长分别是和，斜边长为，那么是解决问题的关键．【考点三勾股定理与网格问题】例题：（2023·云南楚雄·统考一模）如图，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，则边上的高为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】运用等积法求解即可．【详解】解：由正方形网格图可知，，，边上的高为2，∴根据三角形面积公式可得，边上的高．故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出的长．【变式训练】1.（2023·全国·八年级假期作业）如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，连接三个小格点，可得，则边上的高是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设边上的高为，由题意知，，则，即，计算求解即可．【详解】解：设边上的高为，由题意知，，∴，即，解得，∴边上的高为，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理与网格．解题的关键在于熟练掌握割补法求面积以及等面积法．2.（2023春·全国·八年级期中）如图，在的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求：(1)的长；(2)边上的高．【答案】(1)(2)【分析】(1)运用勾股定理计算即可．(2)运用三角形面积不变性列式计算即可．【详解】（1）由图可得，，即的长为．（2）由图可得，，设边上的高为x，则，即，解得，即边上的高为．【点睛】本题考查了网格上的勾股定理与图形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【考点四勾股定理与折叠问题】例题：（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，一张直角三角形纸片ABC中，，将它沿折痕折叠，使点A与点B重合，则___________．

【答案】【分析】由折叠的性质得出，设，则．在中运用勾股定理列方程，解方程即可求出的长．【详解】解：∵，∴，由折叠的性质得：，设，则．在中，由勾股定理得：，解得：．∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题时，设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质，用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．【变式训练】1.（2023春·全国·八年级阶段练习）如图所示，把矩形纸条沿，同时折叠，，两点恰好落在边的点处，若的度数恰好为，，，则矩形的边的长为_____．【答案】12【分析】利用折叠的性质得到，，再利用勾股定理得到，即可求解．【详解】解：矩形纸条沿，同时折叠，，两点恰好落在边的点处，，，，，，故答案为：12．【点睛】本题考查折叠的性质和勾股定理，解题的关键是利用勾股定理和折叠的性质求出，，．2.（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长是____________________．【答案】【分析】先利用勾股定理求出，根据折叠的性质可知：，，进一步求出，设，则，由勾股定理得，解得，则．【详解】解：在中，由勾股定理得，根据折叠的性质可知：，，∵，∴，设，则，在中，由勾股定理得∴，解得∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确利用勾股定理结合方程的思想求解是解题的关键．【考点五勾股定理的证明方法】例题：（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；在推得这个公式的过程中，主要运用了A．分类讨论思想

B．整体思想

C．数形结合思想

D．转化思想（2）如图2，，，且在同一直线上．求证：；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．

【答案】（1）；；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用大正方形面积等于两个小正方形面积与两矩形面积之和得出即可，利用数形结合得出答案；（2）利用，得出，进而得出，即可得出答案；（3）利用图形面积即可证出勾股定理．【详解】解：（1）利用大正方形面积等于两个小正方形面积与两矩形面积之和得出：；利用数形结合得出：在推得这个公式的过程中，主要运用了数形结合思想；故答案为：；；（2）∵，∴，∵，∴，∴，即．

（3）∵，∴，∴，即．【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，利用图形面积由数形结合思想得出等式是解题关键．【变式训练】1.（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______．【答案】(1)①见解析；②(2)(3)【分析】（1）①将图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可；②图1中：，，即可得，图2中大正方形的面积为：，据此即可作答；（2）根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解；（3）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、以c为直径的半圆面积、三角形的面积，根据图形特点表示出（+），结合勾股定理，即可得到答案．【详解】（1）①证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即，化简得．②在图1中：，，图2中大正方形的面积为：，∵，，∴，，∴，∴图2中大正方形的面积为29．（2）根据题意得：，如图4：即有：，，，∴；如图5：，，，∵，∴；如图6：下面推导正三角形的面积公式：正的边长为u，过顶点x作，V为垂足，如图，在正中，有，，∵，∴，，∴在中，有，∴正的面积为：，∴，，∵∴；∴三个图形中面积关系满足的有3个故答案为：3；（3）关系：，理由如下：以a为直径的半圆面积为：，以b为直径的半圆面积为：，以c为直径的半圆面积为：，三角形的面积为：，∴，即：，结合（1）的结论：∴．【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．【考点六勾股树(数)问题】例题：（2022秋·广东清远·八年级期末）下列各组数据中，不是勾股数的是（

）A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．10，12，14【答案】D【分析】分别求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．【详解】解：A．，，，即3，4，5是勾股数，故本选项不符合题意；B．，，，即7，24，25是勾股数，故本选项不符合题意；C．，，，即8，15，17是勾股数，故本选项不符合题意；D．，，，即10，12，14不是勾股数，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股数，如果两数的平方和等于第三个数的平方，那么这三个数叫勾股数．【变式训练】1.（2023春·广东中山·八年级校联考期中）以下四组数中，是勾股数的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：A.，不是勾股数，故本选项不符合题意；B.，不是勾股数，故本选项不符合题意；C.，是勾股数，故本选项符合题意；D.，不是勾股数，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】考查了勾股数，理解勾股数的定义：满足的三个正整数称为勾股数．2.（2023春·广东河源·八年级统考开学考试）下列是勾股数的一组数是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【答案】B【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可．【详解】解：A．、、不是整数，此数组不是勾股数，不合题意；B．，此数组是勾股数，符合题意；C．，此数组不是勾股数，不合题意；D．，此数组不是勾股数，不合题意．故选：B．【点睛】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．【考点七判断三边能否构成直角三角形】例题：（2023春·广东汕头·八年级统考期末）满足下列条件的是直角三角形的是（

）A．8，10，7 B．2，3，4 C．5，12，14 D．1，，2【答案】D【分析】验证选项中每组数据，看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若等于则为直角三角形，否则就不是直角三角形．【详解】解：选项A：两条较短边平方和为：，不是直角三角形，故选项A不合题意；选项B：两条较短边平方和为：，不是直角三角形，故选项B不合题意；选项C：两条较短边平方和为：，不是直角三角形，故选项C不合题意选项D：两条较短边平方和为：，是直角三角形，故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，如果两条较短边的平方和等于最长边的平方，则此三角形为直角三角形．【变式训练】1.（2023春·广东广州·八年级校考期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．6，8，10 B．5，12，13 C．1，， D．13，14，15【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可；如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可；【详解】A、，此三角形是直角三角形，不符合题意；B、，此三角形是直角三角形，不符合题意；C、，此三角形是直角三角形，不符合题意；D、，此三角形是直角三角形，符合题意；故选D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2.（2023春·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）下列各组数中，不能构成直角三角形三边的一组是（

）A．1，1， B．1，2， C．3，5，7 D．3，4，5【答案】C【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、∵，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、∵，∴不能构成直角三角形，故此选项符合题意；D、∵，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．【考点八在网格中判断直角三角形】例题：（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为_________．

【答案】【分析】根据勾股定理得到，，的长度，再判断是等腰直角三角形，进而得出结论．【详解】解：如图，连接，

由题意，，，，∴，，∴是等腰直角三角形，且，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出是等腰直角三角形是解决本题的关键．【变式训练】1.（2021秋·福建三明·八年级统考期中）如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题．（1）求的周长；（2）判断是不是直角三角形，并说明理由.【答案】（1）△ABC的周长为；（2）△ABC不是直角三角形，理由见解析．【分析】（1）利用勾股定理求出AB，BC的长，然后可求周长；（2）利用勾股定理的逆定理判断即可．【详解】解：（1）如图，根据题意由勾股定理，得，，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=，（2）△ABC不是直角三角形，理由是：∵在△ABC中，AB2+BC2=13+45=58，AC2=64，即AB2+BC2≠AC2，∴△ABC不是直角三角形.【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2.如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求：(1)的周长；(2)请判断是否是直角三角形，并说明理由．【答案】(1)(2)不是直角三角形．见解析【分析】（1）根据勾股定理求得的三条边长后，再求该三角形的周长；（2）根据勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】（1）解：根据勾股定理知，，，，故的周长；（2）不是直角三角形．理由：由（1）可知，，，，，，即，∴不是直角三角形．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．【考点九利用勾股定理的逆定理求解】例题：（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知，如图，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，且∠A=90°．(1)求BD的长．(2)判断△BCD是什么三角形，并说明理由？【答案】(1)5(2)直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据勾股定理求解即可；（2）根据勾股定理的逆定理求解即可．【详解】（1）如图，在△ABD中，AB=3，AD=4，∠A=90°，∴由勾股定理得，即BD=5（2）△BCD是直角三角形．理由如下：在△BCD中，BC=13，CD=12，BD=5，∴，，∴，∴△BCD是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．【变式训练】1.（2023春·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在中，于点D，，，．

(1)求证：是直角三角形；(2)求点D到的距离之和．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据己知数据利用勾股定理的逆定理即可证明．（2）根据（1）中求得的长度，再利用等面积法求出点D到的距离，即可得到答案．【详解】（1）证明：∵，∴，在中，，即，∴；在中，，即，∴，∵∴，∴是直角三角形；（2）解：过点D作，，垂足分别为点E、F，

，，即，∴，，即，∴，∴．【点睛】本题考查了勾股定理和三角形高的问题，熟练运用勾股定理逆定理和等面积法求高是解题的关键．2.（2023春·安徽六安·八年级校联考阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，且．试求：

(1)四边形的面积．（结果保留根号）(2)的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，由勾股定理求出的值，结合勾股定理逆定理可推出，然后根据进行求解，即可得到答案；（2）根据等腰直角三角形的性质可得，然后根据进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：连接，

，，，，，，即，，；（2）解：，

，．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．【考点十勾股定理逆定理的实际应用】例题：（2023春·广西钦州·八年级浦北中学校考阶段练习）为弘扬劳动精神，让同学们在实践中体验劳动、认识劳动，从而培养尊重劳动、热爱劳动、尊重劳动人民的品质，学校准备在校园的一角开垦一块如图所示的四边形土地．经测量，，，，，，请计算该四边形土地的面积．【答案】该四边形土地的面积为【分析】连接，则为直角三角形，为斜边，通过勾股定理求，根据判定为直角三角形，根据直角三角形面积计算可以计算该菜地的面积．【详解】解：连接∵∴在中∴∵，

∴∴是直角三角形，且答：该四边形土地的面积为.【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中正确的根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键．【变式训练】1.（2023春·福建莆田·八年级统考期中）为响应政府“公园城市建设”的号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地进行绿化改造，测得，，，，．

(1)若要在B，D两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为120元/m，求铺设这条鹅卵石路的最低花费．(2)如果种植草皮的费用是200元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？【答案】(1)铺设这条鹅卵石路的最低花费为元．(2)整块空地上种植草皮共需投入元．【分析】（1）如图，连接，再利用勾股定理先求解，从而可得答案；（2）先利用勾股定理的逆定理证明，可得整块空地的面积为：，再计算总费用即可．【详解】（1）解：如图，连接，

∵，，，∴，∵铺设成本为120元/m，∴铺设这条鹅卵石路的最低花费为（元）．（2）∵，，．∴，∴，∴整块空地的面积为：，∵种植草皮的费用是200元，∴整块空地上种植草皮共需投入（元）．【点睛】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的实际应用，理解题意，确定勾股定理与勾股定理的逆定理是使用情境是解本题的关键．2.（2023春·广东汕头·八年级校考期中）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路．测得千米，千米，千米．

(1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线的长．【答案】(1)是，见解析(2)千米【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；（2）设，则AH=x-3，在中，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）∵，∴∴∴是从村庄C到河边的最近路（2），则在中∴解得：∴原来的路线的长为千米【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）若直角三角形两边长为12和5，则第三边长为（

）A．13 B．13或 C．13或15 D．15【答案】B【分析】分长为12的边是斜边还是直角边两种情况讨论解题．【详解】当长为12的边是斜边时，则第三边是另一直角边，其长为．当长为12的边是直角边时，则第三边是斜边，其长为．所以第三边的长为13或．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与计算，在直角三角形中，斜边是最大的边，故本题中长5的边只能为直角边，二边长为12的边可能是斜边，也可能是直角边，因此分两种情况讨论．2．（2023春·福建莆田·八年级统考期中）如图，小肖同学有4根长度不一的木棍，取其中三根木棍可以拼成一个直角三角形的是（

）

A．4cm，5cm，8cm B．3cm，4cm，5cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，5cm，8cm【答案】B【分析】由勾股定理的逆定理可判断A，B，由三角形的三边关系可判断C，D不能组成三角形，从而可得答案．【详解】解：∵，故A不符合题意；∵，故B符合题意；∵，不能组成三角形，故C不符合题意；∵，不能组成三角形，故D不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是三角形三边的关系，勾股定理的逆定理的应用，熟记三角形的三边关系与勾股定理的逆定理是解本题的关键．3．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定【答案】B【分析】将原式整理为，即可判断.【详解】解：∵，∴，∴，∴这个三角形是直角三角形；故选：B.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟练掌握勾股定理逆定理、得出是解题的关键.4．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（）

A． B． C．4 D．【答案】B【分析】先求出，由折叠的性质可得，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【详解】解：∵D是中点，，∴，∵将折叠，使点C与的中点D重合，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．5．（2023春·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）下列由三条线段、、构成的三角形：①，，；②，，；③；④，，（为大于1的整数）；其中能构成直角三角形的是（

）A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③【答案】B【分析】判断一组数能否成为直角三角形，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方，将题目中的各题一一作出判断即可．【详解】解：①，，故能构成直角三角形，符合题意；②，，故能构成直角三角形，符合题意；③，令，，，，、、不能构成直角三角形，不符合题意；④，，，，故能构成直角三角形，符合题意；综上所述：①②④正确，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，在应用时注意是两较短边的平方和等于最长边的平方．二、填空题6．（2023春·吉林·八年级期中）如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和，已知，则的长为______．

【答案】5【分析】利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∵，∴，∵在中，，∴，∴（负值已舍去）．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理．正确的识图，熟练掌握勾股定理，是解题的关键．7．（2023春·福建南平·八年级统考阶段练习）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上则边上的高为___________．

【答案】2【分析】根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：根据题意得，∴，∴是直角三角形，且；过点A作于点D，如图，

∴，∴，即边上的高为2．故答案为：2．【点睛】此题考查了勾股定理以及逆定理，熟记勾股定理及逆定理是解题的关键．8．（2023·山东泰安·统考一模）如图，在中，，，垂足为D，，，则______．【答案】/【分析】根据作出辅助线，证明全等三角形，将转化为，根据勾股定理列方程求解即可．【详解】在上取一点，使得，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，设，则，∴在中，,即，解得，∴．故答案为：【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是作出辅助线，根据勾股定理列方程求解．9．（2023·辽宁大连·校联考二模）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是______．【答案】【分析】根据折叠，可知，，，，然后证明，设，在中，根据勾股定理即可求出答案．【详解】根据折叠，可知，，，设，，在中，即解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理等知识，掌握折叠的性质是解题的关键．10．（2023春·河北沧州·八年级校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上．

（1）线段的长为______；（2）若，则三条线段首尾顺次相接______（填“能”或“不能”）构成直角三角形．【答案】能【分析】（1）直接利用勾股定理得出的长；（2）直接利用勾股定理以及勾股定理逆定理分析得出答案．【详解】解：（1）线段的长是：；故答案为：；（2）三条线段首尾顺次相接能构成直角三角形．理由：∵，∴，∴三条线段首尾顺次相接能构成直角三角形．故答案为：能．【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．三、解答题11．（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c满足，试判断的形状，并说明理由．【答案】直角三角形，见解析【分析】利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出a，b，c的值进而求出即可．【详解】解：是直角三角形，理由：∵，∴，∴，∴是直角三角形．【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理及非负数的性质，根据题意得出a，b，c的值是解题关键．12．（2023春·黑龙江大庆·七年级校考阶段练习）如图，折叠长方形纸片的一边，使点D落在边的处，是折痕．已知，，求的长．【答案】cm【分析】证明，，由是由折叠得到，可得，，再利用勾股定理可得，设，则，再建立方程即可．【详解】∵四边形为长方形，∴，，又∵是由折叠得到，∴，，在中，，∴，设，则，在中，，即，解得，即．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，长方形的性质，勾股定理的应用，熟练的利用轴对称的性质再利用勾股定理建立方程是解本题的关键．13．（2023春·广东广州·八年级期中）如图，已知等腰的底边，是腰上一点，连接，且．

(1)求证：是直角三角形；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到答案；（2）设，根据等腰三角形的性质可得，在直角三角形中，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．【详解】（1）证明：，，，即为直角三角形；（2）解：设，是等腰三角形，．为直角三角形，为直角三角形，，即，解得：，故的长为：．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．14．（2022春·八年级单元测试）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是，四边形的顶点都在格点上（格点：小正方形的顶点）．(1)四边形的边的长；(2)连接，试判断的形状．【答案】(1)；(2)是直角三角形．【分析】（1）利用勾股定理即可求解；（2）利用勾股定理求得，，的值，再利用勾股定理的逆定理即可判断．【详解】（1）解：；（2）解：如图，∵，，，∴，∴是直角三角形．【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理．熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．15．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，．

(1)如图（1），把沿直线折叠，使点A与点B重合，求的长；(2)如图（2），把沿直线折叠，使点C落在边上G点处，请直接写出的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）设x，则，在中用勾股定理求解即可；（2）设x，则，先根据勾股定理求出，再在中，用勾股定理求解即可．【详解】（1）解：∵直线是对称轴，∴，∵，设，则在中，，∴，∴，解得，∴（2）解：∵直线是对称轴，∴，，∵，设，则，∴在中，，，∴，在中，，∴，∴，解得，∴．【点睛】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键．16．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．

(1)用含t的代数式表示①当点P在线段上时，________．②当点P在线段的延长线上时，________．(2)当为直角三角形时，求t的值；【答案】(1)①；②(2)或【分析】（1）先根据勾股定理求出的长度，然后再根据图形求解即可；（2）当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的t值即可．【详解】（1）∵，，，∴．∵动点P从点B出发沿射线以的速