第03讲 三角函数的应用及利用三角函数测高（原卷版）

第03讲三角函数的应用及利用三角函数测高目标导航目标导航课程标准1.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助计算器进行有关三角函数的计算，并能够进一步对结果的意义进行说明，发展数学应用意识及解决实际问题的能力。2.把直角三角形的边角关系与实际问题联系起来，在解决实际问题时，养成“先画图，再求解”的习惯。3.能够设计活动方案、自制测倾器和运用侧倾器进行实地测量以及撰写活动报告。4.能够对所得的数据进行分析，能够对侧倾器进行调整及对测量结果进行矫正，从而得出符号实际的结果。5.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题。知识精讲知识精讲知识点01三角函数的应用1．直角三角形知识解决实际问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型。

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题。

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形。

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解。

知识点02有关概念

(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示。

坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式。

(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图。

(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°。

(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°。

注意：

1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图。

2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解。3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解。知识点03测量倾斜角测量倾斜角可以用侧倾器。简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成（如下图所示）。1．简易测倾器的制作方法简单的测倾器可以自己制作。用木板做一个半圆刻度盘，用螺栓、螺母把它的直径的中心和一根长木杆连在一起,并在半圆圆心挂一铅垂线，沿直径的两端做一水平顶线。当木杆与地面垂直时，通过顶线的视线是水平的，此时的铅垂线位置作为零刻度线，即可制作出一个简易的测倾器，如图①所示。2．使用测倾器测量倾斜角的步骤①如图①所示，把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置。

②如图②所示，转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数。

③根据同角的余角相等可知，所测倾斜角(即仰角AOM)等于铅垂线所指的度数,读出铅垂线所指的度数，即为AOM的度数。知识点04测量底部可以到达的物体的高度所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底面之间的距离。测量步骤①在测点安置侧倾器；②测量物体顶端相对于测点的仰角；③测量测点到物体的水平距离；④量出侧倾器的高度。示意图物体的高度为MN，测点为A，过点C作于点E测量数据①测得M的仰角；②测点A到物体的水平距离；③侧倾器的高度。计算关系由示意图知，，。在中，，则，，即物体的高度为。知识点05测量底部不可以到达的物体的高度所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离。测量步骤（如下图所示，测量物体MN的高度）：（1）在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角；（2）在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A，B与N在一条直线上，且A，B之间的距离可以直接测得)，测得此时M的仰角；（3）量出测倾器的高度AC=

BD=a，以及测点A，B之间的距离

AB

=

b。

结果的计算过程:由上图知E，D，C三点在同一直线上，且，则四边形BDEC和四边形ACEN都是矩形，。在中，，则。在中，，则。由，得，即物体MN的高度为。能力拓展能力拓展考法01解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用【典例1】如图，在△AOB中，∠0＝90°．AP平分∠OAB．若△AOP～△BOA，OA＝2，则OP的长为（

）A． B． C．1 D．【即学即练】如图，在正方形中，点G是上一点，且，连接交对角线于F点，过D点作交的延长线于点E，若，则的长为（

）A． B． C． D．【典例2】如图，在△ABC中，点D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC边上的高，若沿AE所在直线折叠，点C恰好落在点D处，若AB=，则△ADC的周长等于（

）A．1 B． C．2 D．3【典例3】如图，等边ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，则四边形PCDQ面积的最大值为（

）A． B． C． D．考法02解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用【典例4】如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点的距离是4米，折断部分与地面成的夹角，那么原来这棵树的高度是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【即学即练】为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高6.5米，学生身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像头A的仰角为，则体温检测有效识别区域段的长为（

）A．米 B．米 C．10米 D．米【典例5】如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处．然后右转40°再航行到B处，在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（

）A．北偏东20° B．北偏东30° C．北偏东35° D．北偏东40°【典例6】如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼之间的水平距离为，则这栋楼的高度为（

）A． B． C． D．考法03利用三角函数测高【典例7】如图，已知点、点是同一幢楼上的两个不同位置，从点观测标志物的俯角是65°，从点观测标志物的俯角是35°，则的度数为（

）A．25° B．30° C．35° D．65°【典例8】2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台、中部的大跳台腾空起点、赛道、底部的看台区组成．为有效进行工程施工监测，现在处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计），赛道可近似视作坡度为的一段坡面，通过高程测量仪测得点、点的海拔高度差（即）是160米，从顶峰平台点俯视处的标志旗，俯角约为37°．由处释放的遥控无人机竖直上升到与平台水平位置后，遥感测得之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则赛道长度约为（）米．（参考数据：，，）A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2【即学即练】某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米它的坡度．在离C点40米的D处，用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37度，测角仪DE的高度为1.5米，求大楼AB的高度约为（

）米（）A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.7分层提分分层提分题组A基础过关练1．如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（

）A． B． C． D．2．如图1，是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD、BC与桌面构成，如图2，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是（

）A．30cm B．60cm C．40cm D．60cm3．如图，在坡角为的山坡上A、B、C处栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树的坡面上的距离BC为（

）A． B． C． D．4．如图，某河堤横断面迎水坡的坡度为，则坡角（

）A． B． C． D．5．某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距50海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠BAP=（）A． B． C． D．6．如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB的长为（）A．2km B．3km C．km D．3km7．某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1︰，堤坝高BC＝50m，则AB＝________m．8．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC为______米．9．某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得大树的顶部的仰角为30°．测量可知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大树AB的高．（精确到1米，参考数据：）10．如图，甲､乙两楼相距，甲楼高，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为，乙楼有多高？（结果精确到）题组B能力提升练1．如图，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD=1米，当太阳光线与水平线成α=60°角时，光线刚好不能直接射人室内，则m的值是（

）A．m=+0.8 B．m=+0.2 C．m=-0.2 D．m=-0.82．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点之间的距离为35米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（

）A．35sin米 B．米 C．35cos米 D．米3．如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（

）A． B． C． D．4．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（

）A． B．C． D．5．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC=（）米．A．250 B．500 C．250 D．5006．温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击．一次，温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的B处（如图），以每小时10千米的速度向东偏南30°的BC方向移动，并检测到台风中心在移动过程中，温州市A将受到影响，且距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域．则影响温州市A的时间会持续多长？（）A．5 B．6 C．8 D．107．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离水平面的垂直高度为_____________.8．如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，，则竹竿与的长度之比为__________．9．某学校九年级的学生去参加社会实践，在风景区看到一棵古松，不知这棵古松有多高，下面是他们的一段对话：甲：我站在此处看树顶仰角为45°.乙：我站在此处看树顶仰角为30°.甲：我们的身高都是1.5m．乙：我们俩相距20m．请你根据两位同学的对话，计算这棵古松DE的高度．（结果保留根号）．10．如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，）（1）求点到点的水平距离的长；（2）求楼的高度．题组C培优拔尖练1．小林在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“重庆﹣﹣行千里，致广大”竖直标语牌CD．他在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，由A点沿斜坡AB下到隧道底端B处（B，C，D在同一条直线上），AB＝10m，坡度为i＝1：，则标语牌CD的长为（

）m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）A．4.3 B．4.5 C．6.3 D．7.82．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米 B．200米 C．220米 D．100米3．如图，在中，，为边上的高，点沿所在的直线运动时，三角形的面积发生变化，当的面积为48时，的长为（

）．A． B． C． D．4．如图，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房基间的水平距离BD为100m，塔高CD为m，则下面结论中正确的是（

）．A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°5．如图，一座金字塔被发