2023年宁夏回族自治区石嘴山市统招专升本数学自考真题(含答案带解析)

2023年宁夏回族自治区石嘴山市统招专开

本数学自考真题（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.

设函数/（X）在（-8,+8）上连续，其导致/'（X）的图形如图表示，则/。）有（）

A.一个极小值点和两个极大值点

B.两个极小值点和一个极大值点

C.两个极小值点和两个极大值点

D.两个极小值点和三个极大值点

2.

.L为从点（0.0）经点（0,1）到点（1.1）的折线.则j「zdy+jdr=（）

A.1B.2C.0D.-1

3.

sin2x

已知函数=在x=0点连续，则。=（）

2x+a,x40

A.4B.2C.3D.0

4.

设之=1成工+色在点（l.l）处的全微分为（）

y

A.dx—3d丁B.dx4-3dj

C.-^-dx+3d〉D.-^-cLr—3dy

5.

已知函数/（X）=1•则平（即=)

A.xC.—D.4

Xx£

微分方程y"+2y'-3y=0的通解是（）

x3xJ

A.y=Ge、*+C2eB.y=C{&~+e

-Jr-3x

C.y=£e"+C2eD._y=e'+3e

7.

当』一（）时.下列变量中比M高阶的无穷小量是()

A.1-COSJB.sin2.r

c.yi+v_iD.tan2a

8.

微分方程里+如=0的通解是()

yx

A.x24-y=25B.3i+4y=C

c.+y=CD.y-=7

9.

lim(1+2sirur)：=(

•r-0)

A.eB.e2C.eJD.c-z

10.

设A.B均为〃阶矩阵.则正确的为()

A.det（A+3）=detA+detBB.AB=BA

C.det(AB)=det(BA)D.(A-B)2=A2—2AB+B-

下列积分中，其值为零的是（

2_riex-e-x,

A.J^A/4-xdxB.------------dr

L2

C.f1(x2-3)dxD.J*sin2xdx

11.—

12.

设向量火是非齐次线性方程组的两个解，则下列向量中仍为该方程组解

的是（）

A.ax+a2B.ax-a2C.2c(i+a2D.2ax-a2

13.

函数、y=—+ln(3+.r)的定义域为()

X

A.(—3・+co)B.[—3・+8)

C.(一3,0)U(0,+8)D.(0.+8)

14.

设a=JbcLr,6=j/一”~也，则()

A.a=bB.a>6

C.a<bD.无法比较

15.

设FQ）是函数/（x）的一个原函数.则|J/(3-2x)dx=()

A.-yF(3-2x)+CB.jF(3-2x)+C

C.2F(32x)+CD.2F(32-r)-C

16.

已知a.a：,fli.良.y都是三维列向量，且行列式Ia，—,yI=I%,良，7I=Ia3“，yI=

Ia?小I=3,则|3y,ai+a2+2fl：|=()

A.18B.-36

C.-54D.-96

17.

已知函数/(z)=cos.r在闭区间［0,2n］上满足罗尔定理.那么在开区间(0.2“)内使

得等式/(S)=0成立的S值是

A.yB.KC.OD.2K

18.

设曲线y=/+.r-2在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标是()

A.(—2.0)B.(1,0)

C.(0,-2)D.(2,4)

19.

下列级数中发散的是()

人打B.二后叱吟

20.

.函数于(X)=lg(JW+1—才)在(—8,+8)是()

A.奇函数B.偶函数

C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数

21.

若在(a,〃)内>0./'QD>0,则在(“.〃)内()

A.y=/Q)为凹曲线,并且单调增加B.»=/(.r)为凹曲线.并且单调减少

C.,y=/(.r)为凸曲线,并且单调减少D.y=/(X)为凸曲线.并且单调增加

22.

函数3,=更受萼N的定义域是()

■Jx—1

A.[0.2]B.(1,H-oo)C.(1,2]D.[1.2]

23.

过6轴及点(3.-2.4)的平面方程是()

A.31+2y=0B.2_y+z=QC2z+±=0D.2%+3y=0

24.

010、

设矩阵A=002，则行列式13Al=()

100

A.0B.-6

C.-18D.-54

25.

求函数y=1+13的拐点()

A.(0,0)B.(1.0)C.(0,1)D.(1.1)

26.

已知函数/Q)在区间[0,a]Q>0)上连续，八0)>0.且在(0,脑上恒有/(a)>0.

设>=1/(w)d、r・S2=a/(0),Si与52的关系是()

A.5|V§2B.S]=$2

C.S]>S2D.不确定

27.

设函数/□)具有任意阶导数，且/'(Z)=[/(公了，则广，>(工)=()

A.B.〃[/(工)]""

C.(〃+1)[/(])尸1D.(〃+1)![/&)]田

28.

已知函数fix)=[rsinzd/.则/'(彳)=()

Jo

A.sin.rB.xcosxC.—xcosxD..rsirvr

29.

,.1

sin一

lim—：~~-=()

sinj-

A.0B.1C.8I).不存在

30.

若/（工）的一个原函数是e-",则|y（工〉dz=（）

A.efB.-2ea-C

C.-D.-#却十C

二、填空题(20题)

微分方程中'=ycos.r的通解是

31.出

2积分广edV发散,则0的取值范围是

333+1+—1

1一/1一,工<0,

设/(J?)=<X在/=0处连续，则b=

工十分，1》0

34.

314

3阶行列式895中元素“心=1的代数余子式为

35.111

不定积分为|1=

36.」1+作

八=尸勺,且A可逆，则A-'=_

37./刃

设/(1n.r)=jln(1+、r),则f(x)dx—

38.广

,设/(.r)=①(1+1)1+2)…(①+2018),则/'(0)=

jyo._

40设2=€0'，则其全微分为_

微分方程(x2-l)y+2xy=cosx(x>1)的通解为y=_

lim---；---------:----=

…5f+1+-1

I4.___

43.

设型随机变量X在区间［2,4］上服从均匀分布，则方差D(X)

(ln.r+1)&r=.

44.J____

45.

点—到平面£十)+2—1=o的距离为

46.

设A为4阶方阵，且IA|=a，则为其伴随矩阵，则IA-\=

函数（/一1）二，的拉氏变换为

47.

设f(1)=JC(JC+1)(JC+2)…(n+n).则/z(0)=

48.

.函数=Insin（cos'.r）的图像关于“为

49n.对称

50.

三、计算题（15题）

求---।d.r.

JX\Zr2+1

51.

52.

计算二重积分11津dardy,其中D为由曲线z=v'y-1与两直线z+y=3.》=1围

成的平面团区域.

=5=2.7=

了十必①.其中区域D由y及z=2所围成.

4D

53.

54.

ln(1+ax)-八

x-arcsine

设f(z)=J6,"=。'问a为何值时，/%)在1=0连续;

e"+2-1、八

------x------a--x----•r?>(.

•rsi.n—JC

4

a为何值时，2=0是/(7)的可去间断点.

56.

求由曲线y=M*|与直线x=，，x=e.

V=0所围成的平面图形的面积.

57.

・计算二重积分||(2工+，)上,其中。是由》=才=1,»=0所围成的平面闭区域.

D

2111

计算四阶行列式1211的值

1121

＜。1112

58.

=sin(9z)所确定，求生.

设二元函数z=z(x,y)由方程x+y+z

59.OX

1，「」

-r-J'--arctanrdr

求极限lim------3---------.

z-*0「尸

sin/d/

60.Jo

61.

产1+2.r2—J-3+.门=2,

已知线性方程组：J2.门+4.r-.门+3.r=a,当

24a取何值时.方程组有解？并求出

I：?11+6.r：—2X3+4X4=5・

通解.

求极限lim"2(e，T^——

LO+tanr—V1+

62.

判定级数2京T的敛散性.

63.

di

jln,rlnInj""

64.*

65.

计算曲线积分电⑵y+4）&r+（5,+3工-6）打,其中L为三顶点分别为（0,0）.

（3.0）和（3,2）的三角形正向边界.

四、证明题（10题）

66.

证明不等式＜片（1+3其中1＞。.

67.

设平面图形Q由曲线z==/=与直线）=1围成，试求:

（1）平面图形D的面积；

（2）平面图形D绕彳轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

68.

证明不等式：彳＞0时，1+71n（#+，l+f）＞Ji+f.

nrb-abb-a

当6>。>0,证明----<lnt—<------,

69.baa

70.

已知方程-.r7-.r3+.r=0有一正根.r=1.证明方程1一7/—3/+1=0

必有一个小于1的正根.

71.

设平面图形D由曲线工=26=，一工与直线1y=1围成，试求：

（1）平面图形D的面积：

（2）平面图形D绕工轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

证明方程15—2/+工+1=0在（-1.1）内至少有一个实根.

72.

证明当7>0时，1+4.

73.N

74.

已知方程4.r+3T3—.r5=0有一负根.r=-2.证明方程4+—5.r1=0必有—个

大于一2的负根.

75.

设函数八1）在闭区间10*0上连续，在开区间（0.7T）内可导，证明在开区间（0,£）内至

少存在一点使得/（^）sin$=—f（Qcos&

五、应用题（10题）

平面图形D由曲线h=石，直线）=/-2及工轴所围成.

（1）求此平面图形的面积；

”（2）求此平面图形绕工轴旋转一周而成的旋转体体积.

76.

已知二元蝎数二="（丁其中/（〃）为可导曲数，

Ia.1/.一

证明：

xrdyJ"

77.**

78.

平面图形由抛物线=2］与垓曲线在点处的法线围成.试求：

（1）该平面图形的面积；

（2）该平面图形绕I轴旋转一周形成的旋转体体积.

79.

设两抛物线y=2M,.y=3—/及i轴所围成的平面图形为D.求：

（1）平面图形D的面积；

（2）平面图形D绕y轴旋转一周得到旋转体的体积.

80.

求曲线y=ln.r在区间（2.6）内的一点，使该点的切线与直线x=2,x-6以及

.y=ln.r所围成的平面图形面积最小.

81.

求抛懒尸上将圆y+y=8分割后形成的两部分的面机

82.

某公司有50套公寓要出租.当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去，当月租金每

增加100元时•就会多出一套公寓租不出去，而租出去的公寓每套每月需花费200元的维修

费,试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

83.

某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，每多生产一吨该产品，成本增加5万

元，该产品的边际收益函数为火'（。）=10-0.02。，其中。（单位：吨）为产量.

试求：（1）该产品的边际成本函数；

（2）该产品的总收入函数；

（3）。为多少时，该厂总利润上最大？最大利润是多少？

84.

现有边长为96厘米的正方形纸板.将其四角各剪去一个大小相同的小正方形.折做成

无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱的容积最大？

85.

求由曲线.“=2,"=/及才=4所围成的图形的面积，并求此图形绕了轴旋转所得

的旋转体的体积.

六、综合题(2题)

86.

设/(x)对任意实数2恒有/(X4>)=/(x)./(jr),且/<0)手0,/(0)=1.

(1)证明/(x)=/(x>?

(2)求/(上).

已知曲线.y=.一，

O8/7.

求该曲线在点（1,1）处的切线方程;

参考答案

1.A

积分路径如图所示.

z

72dly+j-dj-=jdv+vd.r+JC-d»+1ydl

〜~J7a"~JTAB

=0+d①=1・

Jo

本题选A.

3.B

［答案］A

【精析】若==/(工，＞)可微.则＜k=/,(z.jOdz十/,(工.))心,

故/(z.y)=ln2工——=ln2+Injr+—.

3y

13

/,x(l,l)=—=l,/,(l,l)=~4=-3.

x(ia)J3yci.n

d?=cLr—3dy.故选A.

4.A.

5.C

【精析】因为/⑺=工，则/（十）=j所以〃/（：）］=/（：）=:，故选

A

6.A【评注】本题考查的是二阶常系数微分方程的通解.

7.C

L答案」c

【精析】当-r0时.1—cos.r〜-承%蜀-懒〜J.-2.、［\~~i.r3—1〜-1-.r3.tan2x〜.r2.

故比.产高阶的无穷小量是JE三一1.

8.C

【精析】由虫十/=o,得虫=一曲，分离变量得一zd才=川门

yxyx

两边积分，得J/+G=；/，即/+V=C为原微分方程的通解，故应选C.

9.B

1,12*mr.［•.Z*m~r门

lim(1+2sin.r)7=lim(1+2siru=rlim(1+2sinj)^丁=c'.

10.C

［答案］C

【精析】IA+BIWA|+iB.|ABN.4||H!BA］.故A项错C项正确；矩

阵乘法一般不满足交换律,即AB/K4,故B、D项均不正确.

11.B

B

【评注】A.定积分f,j4-分&的被积函数为j4-x2,在积分区间(-2,2)恒大于零，

所以J：石二Fdx必定大于0;B.J：三匚七的被积函数为奇函数，根据“奇函数在

对称区间上的定积分为零”这个性质，可知J：W等于0；C.J：(f-3粒的被

积函数为(一一3),在积分区间上(-1Q上恒小于0,所以二(犬一3粒必定小于0；

D.「xsin2xdx的被积函数为偶函数，所以fxsin2xdx=2「xsinZ«ix,因为被积函数

xsin2x在积分区间(0,1)上恒大于0,所以fxsin2jak必定大于0,即J：xsin2xdx必

定大于0.

12.D

解：因月(4+a?)=4al+4%=办+办=25,同理得

-％)=0,4(2《+%)=35,A(2a1-a^)-b.故选D.

13.C

fl片0,

由题知•要使函数有意义•则必有［即得工〉一3且才#0,故选C.

1.r+3>0,

14.A

【精析】b=f,e11--「e，d(l—〃)=-「£d“=［'e?dw=a.

JoJIJ1Jo

故应选A.

15.A

［答案］A

【精析】|/(3—2z)d才=—/(3—2jr)d(3—27).

W为，=F(H)+C,所以［/(3-2x)(Lr一~F(3-2x)+C.故选A.

16.C

|-3ya+5，所：+2人|37处服+2住斗『一3%.a?@+2庄=—3

,z--：)■\\...!:•:•»•.<.-:•',Ai.y

IWi,。】一3：.2色|L3|八。2：小；一3y,。？，2住I=-3|cn遇.y|一6|%,

pz?y-3a>.氏571,-6|a，仇，yI=-3X3—6X3—3X3—6X3=-54.

m.2u-

17.B

［答案］B

【精析】/(、r)=cosz,/"(i)=—sirui令/'Q)=—sin,r=0*0<.r<27r.可得

3=六•即£=n.

18.B

匚答案1B

【精析】y=2、r+1.令y'=2；r+1=3,得1=1,所以y=0,故M(1,0).

19.C

［答案］C

【精析】C项中,也"1t=lim=1/0.则级数£J是发散.故选C.

A、B项可用比值审敛法.lim况=p<1判断其收敛.

»-*n©Un

n

sinTx«

D项用比较审敛法的极限形式.】im―J=1,£=收敛，故£sin二收敛.

"•1»2L占e"£e"

20.A

［精析］八一，）=lg（"TT+1）=1g（।=21/'2+■△

（+1—1）

=1g-2］---=—lg（JF+1—X）=­f（x）,

y/x2~rl-J'

故/1）为奇函数•故应选A.

21.A

L答案」A

【精析】f'（）>of（.r）在（”.〃）内单调增加；/'（I）：：.0f（才）在（“.〃）内为凹仙

线.故应选A.

22.C

/—141-JC&1•

【精析】为使函数有意义，须有即1<工（2,故函数的定义域为

）.r-1>0,

（1.2J,故应选C.

23.D

L答案」D

（精析］没过（上釉的平面方程为，“by0.所以34一2〃0,即〃5u.取u2.

则平面方程为21•3.y。•故应选D.

24.D

［答案］D

010

I0

【精析】13Al=3,|A|=27002=27.<-1)•(-1”十5=­54.

02

100

25.C

L答案」c

【精析】y—3M.y=6.7••令y=0.得了=0.当.r<0时・.v”<0：当］>0时>0.

所以函数在了「0处凹I」）性改变.所以函数的拐点为（0.1）•故选（'.

26.C

【精析】由在（（）・4）上恒成立知/Q）在（0・a）严格单调增加•由题意知,存

在£G（O.a八使得“==a•/⑷，由于0VSVa.则八。）<f⑷<f（a），

又/（0）>0,所以a-/（e）>a/（0）=立•即si>=.本题选C.

27.A

【精析】因为/'(，-)=]/(外了，所以

/'(>r)=2/(7)/'(1)=2[/'(>r)33•

_T(K)=2•3"(了)》./(j-)=2•3"(»]，

=2•3•4"(了)了•/(J)=4!"(z)了，

f'O=，：！[/(①)]'-,

故应选A.

[答案]D

【精析】，(1)=/fZsin/d/V=j-sin.r.

28.D)

29.A

…1

jc~sm—

【精析】因为lim—；——=limrsin—=0,故应选A.

-0sini'LOx

30.B

[答案]B

【精析】/(x)=(eH)'=-2eH,所以(才)业=/(x)+C=-2e-2--C.

31.

5'(sin.r十(')=-1

[答案].v(sin.r+(')=-1

【精析】=vcos.r-W0-^77dv=cOK.rd.r.两边枳分•得一=sin.r+C•即v(sin.r-|-

d.r3ry

(')=-1.

32.

aW1

>co];co

【精析】当a=1时,一cl.r=In.r=•。二•

i/i

•x>||；KJ

当aW1时,一d/=-----"•当1—a,>。•即a<Z1时,积分发散.

]x1-a]

综匕所述.当1时,积分发散.

33.

~2

lim,-------，---=lim-,------,

34.

］_

~2

［答案1j

【精析】由limfix)=lim------以----=《=lim/(.r)=lim(j+/?)=〃，得/>=g.

——1y*/।।/

.,1•，>-*■Jr-*llJ

［答案117

34

:,2

【精析】A心=(-l)-Mt2=-.=17.

35.178J

36.

In|j-+sin.r|+C.

InI①+sin,z*1+C

dz=|-—dQ+sin①)=In|h+sin才|+C.

J1+*scin°.'r"Jz+sirLZ'

37.

【解析】A-1=6

38.

(1+ez)ln(l+eT)-eJ+C

［答案］(14-eOln(l+eJ)-e"+C

【精析】设ln.r=，,贝ijw=ef»f(t)=e/ln(1+e*).

/(J-)d.z*=e，ln(1+e*)dw=ln(1+e*)d(1+e*)

VV«

=(1+eJ)-ln(14-eJ)—je，cLr

=(l+e')ln(l+e')-e'+C.

39.

2018!

/(0)=lim/&)-/(())=hm(i+l)(z+2)…(z+2018)=2018J.

J-0JC八。

40.

dz=ye孙2(ydx+2xdy)

41.

-J--(sinx+Q

x-1

-y?—(sinx+Q

x-1

【评注】原方程化为/+-^_丁=等.，故方程的通解为

x2-lx2-l

="导1［等』导dx+J=产可［等e…dx+C

Jx2-lJX2-l

二7Mj篝，M+C卜用sMx+C).

42.

1

~2

lim,------，•一-=lim-,------,=

…7r-

43.

1(4一121

3解：直接由均匀分布得。(工)二\人二士

13

44.

aInx+C

(ln.r+1)(Lr=In.rda+dz=i•In,r—|d*+d.r=.rln.r-rC.

45.

|3+2—1-1|=3

距离d=二点.

V3vzl2+12+12―£

46.

a3

【精析】IA'|=|A|.A-1|=(|A>・|AT|=/.

47.

■■答案]•「一心+3

L"」3-1尸

【精析】L[(/-l)2eG

=L[("-2t+l)c叮

=「(〃-2f+l)c_<>_,l,d/

=(1-7+7)L-.,

『一4s+3_•<—4.v+5

(,v-I)3(s—l尸.

48.

〃！

［答案］〃！

【精析】X(0)=lim—A---』(°)=lim(.r+1)(w+2)…(1+〃)=〃!.

j-*uXz-*<)

49.

x=0()，轴)

［答案］1=0()，轴)

【精析】.7)=lnsin［cosJ(—.r)］=Insin(cos2a)=/Q),因此/(;r)为偶函数，图

像关于1=0或y轴对称.

50.

3

由广义积分的定义可知d.r=limjdx=—lim32T=3.

J1A4-oeJ16-*+©o1

51.

【精析】设工、=tan/,di=sec?/dr.x/.r2+1=sec/,

I---,1d/=j-------sec2/dz=csc/d/

J/JF+］JtanfsecfJ

=InIesc/-cot/|+C

=In十1—_L+('

jrx

=ln(，3+1—1)—In|x|+C.

52.

【精析】如图所示，由积分区域图形可知将其看做y型

区域计算较为简便,则积分区域可表示为1&y&2,

v-y_1《工43一»,故

1⑸郎=.力「二自

2

=|[2[(3~y)—(.y—l)[dy

第17题图

=I-7y+10)dy=-7-ry户y

=优—7y+lOln川］=101n2—y.

53.

【精析】画出积分区域。，如图所示.

考虑到被积函数的情况，先对了积分较为简便.

54.

【精析】(1)/(0)=6；

z]•£(、ln(1+ax")ax"

(ZO)XlimjkJc)=rlim-------；——=lim-------：—

x

l。一,r^o-i一arcsinj-才…--arcsinx

1■3aj?'i.3«jr2

=lim------------=lim---

-r-o~]_L(Ty/],—JC~-1

A/1-

i.3aj：~「

—lim——--=—6a；

LO--J_r2

2

ar1tL,1

/D、i.一、e+-1JUJC—1

(3)lim/(i)=lvim--------x--------a-x-------=l[i•m-e-----+-------------------

LO+LO+in4--。+4-JC2

TS44

i.〃产+2z—a..

=lim-------------------=lim--------------

L°+JLrLO+JL

22

=2a2+4；

若f(或)在x=0处连续，应有2a2+4=—6a=6,故a=-1；

若]=0是/(i)的可去间断点，则应有limf(x)=lim/(①)¥/(0),即2a2+4=

x-*0+J-*0-

—6〃W6,故a#—1,所以。=—2时，7=0是可去间断点.

55.

【精析】（二%）"=9口V（十丁•又级数万（可为g=£vi的几何级

数,收敛.

故由比较审敛法知£（瑞7,也收敛.

56.

解：由曲线y=|lnx|与直线x=1，x=e,y=0所围成的平面图形的面积

e

A=J*1Inx|dx=J：(-Inx)dx+「Inxdx

ee

=-xlnx&+Jixdlnx+xlnx『+jxdlnx

=-ln-+^2+elne-x|^=2---

ccee

57.

【精析】如图所示.区域Q可表示为｛(/.】，)!0<.r<1.05

.y4).

】?

(2.v+j?)dcr=d.r(27+v)dv

59.

解：d^y^z)=asin(^)^=cos(/&\

dxdxdxvZdx)

dz产cos2z)T

/.-..------------------------

dxl-xycos(xyz)

60.

1

------7'-arctanzd/

2J0______________i-arctanw

lim2lim

.r-0,jZdsiru'

sinzdz

o

i-arctan.r

lim

LQ2P

1

lim一击

6M

11

lim

1-♦O6(1)6

12-11•)19-112

【精析】n-(Ab)2_13a001-1

36-2450000，，一3

当〃一3时,r(6)r(A)94•方程组有解•此时

19—1121■)02

B(Ab)0011-100111

0000000000

岛毋

.其中息.后为任意常数.

62.

3

j:(+tarur+JT

原式=lim+)

-。<\/1+tanx—十十tanz十。十/)

2%，6x2

rlim--------=Jrim——»-----

kotana，—JC.r-osecJ7—1

fir2

lim...-=o.

LOtanJT

63.

【精析】因为，"V==士，而级数*2是。=2的.级数.由比较判

别法知，所给级数是收敛的.

64.

alnjlnlnj-

65.

【精析】因为

P=2JT—y+4,Q=5y—3;r-6.

所以由格林公式得

原式=J僵-"严心=*did)

=4*-*3*2=12.

66.

【证明】要证rJ<ln(l+z),即证(1+父)ln(l+z)一。〉。成立即可,

1+T

设/(z)=(1+x)ln(l+工)-Z,其中z〉0,

则/'⑴=ln(l+工)+1—1=ln(l+T)>0,(J->0),

所以/(?)在［0,+8)上为单调增加函数,/(1)>/(0)=0,

即当1〉0时,(1+z)ln(l+1)—z〉0,故原不等式成立.

67.

【精析】平面图形D区域如图所示.

⑴s=［(2\fy—y2)d>=(2•+4-y3)=4-.

0oJoo

(2)V；=

68.

【证明】令f(jc)=1+wln(«r+\/l+x2)—，1+刀,

1H——272

/z(.7■)=ln(.?'4-7)+>r•--------,]+W----------2"=ln(.?'++刀).

T+71+x22，1+♦

当z>0时，/(H)>0,故函数/(H)在(0,+8)上单调增加，

则有/(1)>/(0)=0,即1+j-ln(j-+，1+工？)>\/1+,，得证.

69.

证明：设/(x)=lnx,则/(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，故在区

间团可上满足拉格朗日中值定理，于是，至少存在一点