2022年江西省抚州市高考理科数学押题试卷及答案解析

2022年江西省抚州市高考理科数学押题试卷

本试卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座

位号和考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码

粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不

能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上;如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一个是符合题目要求的。

1.集合-X-2=0},N={-2,-1,0,1,2},则MON=（）

A.{-1,2}B.{-2,1}C.{-2}D.{2}

2.复数Z=等的模为（）

lV2

A.1B.2C.V2D.一

2

3.某乡镇实现脱贫目标后，在奔小康的道路上，继续大步前进，依托本地区苹果种植的优

势，经过3年的发展，苹果总产量翻了一番，统计苹果的品质得到了如下饼图：70,80

是指苹果的外径，则以下说法中不正确的是（）

A.80以上优质苹果所占比例增加

B.经过3年的努力，80以上优质苹果产量实现翻了一番的目标

C.70〜80的苹果产量翻了一番

D.70以下次品苹果产量减少了一半

4.下边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框

图（图中“加表示胆除以"的余数），若输入的加，〃分别为297,57,则输出的

m—()

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A.3B.6C.9D.12

x+2,(x<0),

5.已知函数/'(x)=|i则/(/(a))=2,贝(]a=()

x+-/(x>0),

A.0或1B.-1或1C.0或-2D.-2或-1

6.某机构通过抽样调查，利用2X2列联表和非统计量研究患肺病是否与吸烟有关计算得

犬=3.305,经查对临界值表知P（犬》2.706）心0.10,P（片23.841）七0.05,现给出

四个结论，其中正确的是（）

A.因为犬＞2.706,故有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”

B.因为玄＜3.841,故有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”

C.因为片＞2.706,故有90%的把握认为“患肺病与吸烟无关”

D.因为片＜3.841,故有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”

7.函数/（x）=sinx-cosx的图像可以由函数g（x）=sinx+cosx的图像（）

7T71

A.向右平移一单位得到B.向左平移一单位得到

44

nn

C.向右平移二单位得到D.向左平移二单位得到

8.a,p是两个不同的平面，加，n是两条不同的直线，则下列命题中真命题的个数为（）

①若加〃a〃仇则机与a所成的角等于〃与0所成的角；

②若"Da=4,则根与〃是异面直线；

③若机Ca,a//p,则m〃，7；

④若a_L0,aAnX,m,则〃J_a.

A.1B.2C.3D.4

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xy

9.己知为、尸2是双曲线-三=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过门的直线/与双曲

a2bz

线的左支交于点A,与右支交于点8,若|AFi|=2a,且依8|=|4放|,则双曲线的离心率为

()

V7_厂5

A.—B.V7C.V5D.-

23

10.已知抛物线C：V=16x,直线/：x=4与C交于A、B两点，M是射线BA上异于A、

B的动点，圆Ci与圆C2分别是△OMA和的外接圆(。为坐标原点)，则圆C\

与圆C2面积的比值()

A.小于1B.大于1

C.等于1D.与M点的位置有关

11.已知定点A(0,I),P是圆C：(X-2)2+(y-%)2=1(meR)上的动点，则“m=1”

是“NR1C的最大值为30°”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.已知a>l,b>\,则下列关系式不可能成立的是()

A.ehnaWabB.ehlna^abC.aeb^hlnaD.aeYblna

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号后

的横线上.

13.已知平面向量a=(-1,nt),b=(2,3-m),若a||b,则m=.

14.(I-x)2(1+x)4展开式中/的系数为.

1771

15.已知a、0均为锐角，且cos(a+p)=,,sin(0—£)=3,则cosa=.

16.已知正三棱锥S-4BC的底面边长为32，P,Q,R分别是棱S4,AB,AC的中点，若

△PQR是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为.

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三、解答题：共70分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共

60分

17.（12分）已知｛“"｝是等差数列，41+（72+43=12,04=8.

（1）求｛“"｝的通项公式；

（2）若对于任意“6N+,点A”（即，儿）都在曲线y=2,上，过4作x轴的垂线，垂足

为Bn,记△O4B”的面积为Sn,求数列｛%｝的前n项和Tn.

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18.(12分)如图，四棱锥尸-ABCZ)的底面为正方形，孙，平面A8C£>,M是PC的中点,

PA=AB.

(1)求证：4M，平面28。；

(2)求二面角P-BD-M的余弦值.

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19.（12分）活动组织者把3份不同的“X病毒”咽拭子随机分到3个组，并根据份额，增

加不含“X病毒”的正常咽拭子，使每组有20份咽拭子.规定每组先混合检测，即将20

份咽拭子分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这20份咽拭子全为阴性，只需检

验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这2份咽拭子究竟哪份为阳性，就需要对

这20份再逐一检验，此时这20份咽拭子的检验次数总共为21次.三组样本检验规则相

同，每次检测费为60元.

（1）求检测次数为23次的概率；

（2）设本次活动检测总费用为丫元，求丫的分布列及数学期望.

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xyV2

20.（12分）已知椭圆C：—+—=1Ca>b>0）经过点P（l,一）,且两焦点与短轴的

a2b22

两个端点的连线构成一个正方形.

（1）求椭圆C的方程；

5__>T

（2）设加（一，0）,过椭圆C的右焦点F作直线/交C于A,B两点,试问：是

4

否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

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21.(12分)若方程f(x)=工有实数根刈，则称刈为函数/(x)的一个不动点.已知函数

f(JC)=，欣+(a+l)x-alnx(e为自然对数的底数)aER.

(1)当aNO时/(%)是否存在不动点？并证明你的结论；

(2)若a=-e,求证/(x)有唯一不动点.

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（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一

题计分.作答时请先涂题号.

22.（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为产=?（f为参数），曲线C

（y=kt

的参数方程为卜=2+C0S（P，（＜P为参数），以坐标原点为极点，X轴非负半轴为极轴建

（y=sincp

立极坐标系.

（1）求直线/的普通方程和曲线C的极坐标方程；

（2）若直线/和曲线C交于A,B两点，且日4=3几，求实数k的值.

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选做题

23.关于x的不等式|ox-3|Wx的解集为[1,b],其中。＞1.

(1)求实数a,b的值；

22

(2)若正数〃?，相满足m+；；=Q,求一+八的最小值.

九m

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2022年江西省抚州市高考理科数学押题试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一个是符合题目要求的。

1.集合M={4?-x-2=0},N={-2,-1,0,1,2},则MDN=()

A.{-1,2}B.{-2,1}C.{-2}D.{2}

【解答】解：•・•集合M={x|/r-2=0}={-1,2},

N={-2,-1,0,1,2},

AA/nN={-1,2},

故选：A.

2.复数Z=鼠的模为(〉

lV2

A.1B.2C.V2D.—

2

【解答】解：♦.•z=^=僦&=一,

|z|=yjl2+(-1)2=y/2,

故选：C.

3.某乡镇实现脱贫目标后，在奔小康的道路上，继续大步前进，依托本地区苹果种植的优

势，经过3年的发展，苹果总产量翻了一番，统计苹果的品质得到了如下饼图：70,80

是指苹果的外径，则以下说法中不正确的是()

A.80以上优质苹果所占比例增加

B.经过3年的努力，80以上优质苹果产量实现翻了一番的目标

C.70〜80的苹果产量翻了一番

D.70以下次品苹果产量减少了一半

【解答】解：设原苹果总产量为小则经过3年的发展苹果总产量为2“，

3年前80以上优质苹果所占比例50%,3年后80以上优质苹果所占比例60%,所占比例

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增加，故A正确；

3年前80以上优质苹果的产量为50%Xa=0.5a,3年后80以上优质苹果的产量为60%

X2a=1.2a,

•••80以上优质苹果产量实现翻了一番的目标，故B正确；

3年前70〜80苹果的产量为30%Xq=0.3a,3年后70〜80苹果的产量为30%X2a=0.6a,

70〜80的苹果产量翻了一番，故C正确；

3年前70以下次品苹果的产量为20%Xa=0.2a,3后70以下次品苹果的产量为10%X

2a—0.2a,

•••70以下次品苹果的产量没变，故。错误.

故选：D.

4.下边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框

图(图中表示机除以"的余数)，若输入的，”，“分别为297,57,则输出的

m=()

A.3B.6C.9D.12

【解答】解：由程序框图可得，

第一次循环，r=12,加=57,”=12,r=0不成立，循环继续，

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第二次循环，r=9,/n=12,〃=9,r=0不成立，循环继续，

第三次循环，〃=3,m=9,〃=3,r=0不成立，循环继续，

第四次循环，r=0,m=3,〃=3,r=0成立，循环结束，输出机=3.

故选：A.

x+2,(%<0),

5.已知函数/(%)=]1则/(/(〃))=2,则a=()

x+才(%>0),

A・0或1B.-1或1C・0或-2D.-2或-1

x+2,(%<0),

【解答】解：因为/(%)=1,/(/(«))=2,

x+-/(%>0)/

当a&-2时，f(a)=Q+2W0,

f(/(a))=/(〃+2)=a+4=2,

所以a=-2,

当-2V〃W0时，〃+2>0,

/(〃)=a+2>0,

f(f(a))—f(a+2)=a+2+=2,

所以a=-1,

11C

当a>0时，a+2>2,y=x+?在x>2时单调递增，显然满足f(f(a))=

2的a此时不存在，

综上，〃=-I或a=-2.

故选：D.

6.某机构通过抽样调查，利用2X2列联表和K统计量研究患肺病是否与吸烟有关计算得

K2=3.305,经查对临界值表知P（非》2.706）弋0.10,P（K>3.841）«=0.05,现给出

四个结论，其中正确的是（）

A.因为犬>2.706,故有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”

B.因为长2<3.841,故有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”

C.因为犬>2.706,故有90%的把握认为“患肺病与吸烟无关”

D.因为长2<3.841,故有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”

【解答】解：：2.706<用2<3.841,

...有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，没有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”.

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故选：A.

7.函数/(x)=siri¥-cosx的图像可以由函数g(x)=sinx+cosx的图像()

7171

A.向右平移i单位得到B.向左平移了单位得到

44

7171

C.向右平移二单位得到D.向左平移二单位得到

22

【解答】解：f(x)=sinx-cosx=或5讥(％—*)的图像可以由函数g(x)=sinx+cosx=

TT7g

y/2sin(x+4)向右平移a个单位即可；

故选：C.

8.a,P是两个不同的平面，加，〃是两条不同的直线，则下列命题中真命题的个数为()

①若加〃①a〃0,则机与a所成的角等于〃与0所成的角；

②若加Ca,〃Ca=A,A即b则加与〃是异面直线；

③若〃?Ca,小邙，a//p,则m//n\

④若a_L0,aG0=m,则〃_La.

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：a,0是两个不同的平面，血，〃是两条不同的直线，

对于①，，机与a、B成等角，又〃?〃鹿，与a、0成等角，

则相与a所成角等于〃与0所成角，故①正确；

对于②，若〃Cza,〃Oa=A,Agm,则相与〃平行、相交或异面，故②错误；

对于③，若mCa,〃仁0,a〃0,则相与〃相交、平行或异面，故③错误；

对于④，若a_L0,aDp=m,nX.m,则〃与a相交、平行或〃ua,故④错误.

故选：A.

x2y2

9.已知为、尸2是双曲线"一个=1(。>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线/与双曲

a2b2

线的左支交于点A,与右支交于点3,若|4Q|=2a,且|48|=|4放|,则双曲线的离心率为

()

夕L/-5

A.—B.V7C.V5D.一

23

【解答】解：由双曲线的定义得|A尸2|-|AFi|=2a,〈IA尸1|=2办，|AB|=|A尸2|=4小...IB尸1|

=6(7,

V|BF1|-\BF2\=2af|可得|①可-|5尸2|=6a-\BFi\=2a,

：.\BF2\=4a.

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故△ABF2为等边三角形，

在△AM尸2中,|—正2|2=|AF1P+|4五2『-2|4尸1|・依夫21cos120。,

又尸|尸2『=4《2,.*.c2=7t?2

...双曲线的离心率e=用.

故选：B.

3。W：

10.已知抛物线C：/=l6x,直线/：x=4与C交于A、8两点，M是射线84上异于A、

B的动点，圆Ci与圆C2分别是△OMA和的外接圆（。为坐标原点），则圆Ci

与圆C2面积的比值（）

A.小于1B.大于1

C.等于ID.与例点的位置有关

【解答】解：由抛物线C：>2=麻，可得焦点尸（4,0）,

因为直线x=4与抛物线交于A,B两点,不妨设A在B的上方，

所以4（4,8）,B（4,-8）,

A,8两点关于x轴对称，

所以OA=OB,

所以N0A8=N0BA,

设圆。与圆C2的半径分别为Ri,R2,

在△O/VM和△OMB中，

由正弦定理可得，2Ri=，制4才2R2=7黑RA，

SITIZ-UADSITIZ-UD/\

所以有2RI=2R2,

即Rl=R2,

故两圆的面积相等，

所以面积的比值为1,

故选：C.

11.已知定点A（0,1）,P是圆C：（X-2）2+（y〃?）2=1（W6R）上的动点，则“机=1”

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是“/B4C的最大值为30°”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：圆C:(X-2)2+(y-巾)2=1的圆心C(2,w),半径为1,

APAC的最大值o直线AP与圆相切点P,

在直角三角形APC中，/B4C=30°,CP=\,；.AC=2,

y)22+(m—l)2=2,.".m=1,

是/热C的最大值为30°的充要条件，

故选：C.

12.已知。>1,b>\,则下列关系式不可能成立的是()

A.^Ina^abB.eblna^abC.aeb^blnaD.a&Wblna

【解答】解：对于e%aWab,两边取对数得历(eb/na)Win(.ab),

'.bTnbWlna-In(Ina),

构造函数/(x)^x-lnx(x>0),[Q)=l

当x>l时，，(x)>0,f(x)是单调递增函数，

当0<x<l时，/(x)<0,f(x)是单调减函数，

若则力-历b〈勿〃-/〃(伍。)，即故A正确；

若KlnaWb,PJlJh-Inh^lna-InUna),eblna^ah,故5正确；

构造函数g(x)=Y，A(x)=等，

g，(x)=丝=eX(Xjl),当X>1时，g，(x)>0,g(x)单调递增，；.g(x)>g(1)

%X

=e,

九'(%)=与弊，当x>e时，h'(x)<0,h(x)单调递减,

当OVxVc时，hf(x)>0,h(x)单调递增,

1ebIna

:.h(x)Wh(e)=.,.尤>1时，g(x)>h(x),，了~>二"，

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aeb^blna成立,aeb^b不可能成立，故C正确，D错误.

故选：

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号后

的横线上.

13.已知平面向量a=(-1,加)，b=(2,3-/n),若Q||b,则m=-3»

【解答】解：Va=(-1,m),b=(2,3-且Q||b,

-(3-m)-2/?i=0,即tn=-3.

故答案为：-3.

14.(1-X)2(1+JC)4展开式中/的系数为-I.

【解答】解：因为(1-X)2(1+x)4=(1-2x+?)(1+x)4,

所以展开式中含x2的项为lxC4X2—2xxC|x+x2xC4X0=—x2,

所以/的系数为-1,

故答案为：-1.

15.已知a、0均为锐角，且cos(a+p)=q，sin(g—看)=讶,则cosa=1.

【解答】解：；a、。均为锐角，且cos(a+0)=s讥("急=；,

•'•sin(a+0)=J1-得=竽'=

••sinp——2~,cosp—2，

/.cosa=cos[(a+p)-p]

=cos(a+P)cosp+sin(a+P)sinp

_114点百

-7X2+~7~X~2

13

=14,

故答案为：—.

14

16.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为3vLP,Q,R分别是棱SA,AB,AC的中点，若

△PQR是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为27n.

【解答】解：在正三棱锥S-A8C中，P,Q,R分别是棱SA,AB,4c的中点，

则PQ//SB,PR//SC,PQ=^1SB=*1SC=PR,而△PQR是等腰直角三角形，即NQPR

第17页共23页

=90°,

因此，/8SC=90°,SBLSC,即有正三棱锥S-ABC的侧棱SA,SB,SC两两垂直，

以SA,SB,SC为棱的平行六面体是正方体，这个正方体与正三棱锥S-A8C有相同的

外接球，

因正三棱锥S-ABC的底面边长为3a,则侧棱SA=3,

于是得正三棱锥S-ABC外接球半径r=^SA2+SB2+SC2=竽，

所以三棱锥的外接球的表面积为4n，=27m

故答案为：27n.

三、解答题：共70分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共

60分

17.（12分）已知（“"｝是等差数列，。1+。2+。3=12,04=8.

（1）求（如｝的通项公式;

（2）若对于任意“6N+,点A”（即，为）都在曲线y=2》上，过4作x轴的垂线，垂足

为B„,记的面积为Sn,求数列｛%｝的前n项和Tn.

【解答】解：（1）数列｛坳｝是等差数列，“1+。2+“3=12,44=8,设公差为4;

所以『i+g+f=12,解得杓=2.

故an=2n；

（2）由于4（即,乐）都在曲线y=2”上,

故%=22n=4n；

nn

当〃片0时,SA0AnBn=2x2nx4=n•4,

所以7；=1x41+2x42+...+n-4n①，

第18页共23页

47；=1x42+2x43+...+n-4n+】②,

4

①-②得：；n23n上券-n+1-

-37=1x4-n-4+i+(44-4+...4-4)=43

故图=竽F"1f*

18.(12分)如图，四棱锥P-A3CD的底面为正方形，抬，平面ABC。，M是PC的中点,

PA=AB.

(1)求证：AM_L平面PBD；

(2)求二面角P-B£>-M的余弦值.

【解答】(1)证明：因为ABCD是正方形，物_L平面48CD,所以AB、A。、4P两两垂

直，

建系如图，不妨设AB=a,B(a,0,0),D(0,a,0),P(0,0,a),A(0,0,0),

aaa

M(-,-),

222

TQQQTT

AM=(—,—,一),BD=(-a,a,0),BP=(-a,0,a),

222

因为茄•而)=0,AMrBP=0,所以AM_L平面PBD

(2)解：由(1)知m=(1,1,1)是平面PBQ的法向量，

-aa

BD=(-a,a,0),BM=(—5a,—,—),

222

令展(1,1,0),

因为BO・£=0,BM'n=0,所以£是平面MB。的法向量，

因为二面角P-BD-M为锐角,

TTL

所以二面角P-BD-M的余弦值为工~~=r=点6=—

|m|-ln|x/3V23

第19页共23页

Az

Bx

19.(12分)活动组织者把3份不同的“X病毒”咽拭子随机分到3个组，并根据份额，增

加不含“X病毒”的正常咽拭子，使每组有20份咽拭子.规定每组先混合检测，即将20

份咽拭子分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这20份咽拭子全为阴性，只需检

验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这2份咽拭子究竟哪份为阳性，就需要对

这20份再逐一检验，此时这20份咽拭子的检验次数总共为21次.三组样本检验规则相

同，每次检测费为60元.

(1)求检测次数为23次的概率；

(2)设本次活动检测总费用为丫元，求丫的分布列及数学期望.

【解答】解：(1)3份不同的“X病毒”被分到三个组的情况有3X3X3=27种，

检查次数为23次，说明3份不同的“X病毒”被分到同一组，分到同一组的情况有3种

情况，

31

故检测次数为23次的概率为一=

279

(2)由题意可得,y所有可能取值为1380,2580,3780,

31

P(K=1380)=方=1

?足2

P(7=2580)=第x篇=母，

°Z/3

房2

P(丫=3780)=考=1

故y的分布列为：

Y138025803780

p122

故E(X)=1380X1+2580x1+3780x|=

VJ7O

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xyV2

20.(12分)已知椭圆C：—+—=1(a>b>0)经过点P(l,一),且两焦点与短轴的

a2b22

两个端点的连线构成一个正方形.

(1)求椭圆C的方程；

5__>T

(2)设例(-，0),过椭圆C的右焦点F作直线/交C于A,8两点，试问：M力是

4

否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

【解答】解：(1)由题意可知，两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，

工2y2

则。=鱼上所以椭圆方程：—T4--=1,

2b2b2

将P(l,孝)代入，可得房=1,所以“2=2,

x2

所以椭圆C的方程：—+y2=l；

(2)是定值，理由如下：由条件知F(l,0),

当直线/不与x轴重合时，可设直线/的方程为x=(y+l,设A(xi,yi),B(%2,”)，

由广2］：11n»可得(P+2)y2+2ty-1=0,

-2=0

2t1

所以yi+丫2=-产+2,丫1丫2=—产+2,

-5555

2

贝lj-MB=Qi-4，yj-(x2-4-”)=Oi-4)(%2-,)+y02=(t+1)丫。2-

1、1

4f(zyi+丫2)+正

二("+1).(一六)一％(一号)+击=舒^+金=一磊(为定值)，

当直线/与x轴重合时，A,8两点的坐标分别为(一/，0),(V2,0),

所以忌.麻=(—四一,，0)(^-1,0)=一卷

TT7

综上可得，为定值，定值为一

21.(12分)若方程/(x)=》有实数根刈，则称刈为函数f(x)的一个不动点.已知函数

f(x)=户4(a+l)x-alnx(e为自然对数的底数)«eR.

(1)当a20时/(x)是否存在不动点？并证明你的结论；

(2)若a=-e,求证/(x)有唯•一不动点.

【解答】解：(1)当“20时f(x)不存在不动点,

ex

证明:由/(x)=x可得,一+Q%—alnx=0,

x

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令F(x)=-4-ax-alnxfx>0,

贝产(x)=