2022年度湖南省益阳市第九中学高三数学理联考试卷含解析

2022年度湖南省益阳市第九中学高三数学理联考试卷

含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共5()分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.下列满足”?xGR,f(x)+f(-x)=0且f'(x)W0”的函数是()

A.f(x)=-xexB.f(x)=x+sinx

lg(x+l),

C.f(x)=Jg(l-x)，x<°D.f(x)=x21x'

参考答案：

A

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】满足“?x6R,f(x)+f(-x)=0,且f'(x)W0”的函数为奇函数，且在R

上为减函数，进而得到答案.

【解答】解：满足"?xdR,f(x)+f(-x)=0,且f'(x)W0”的函数为奇函数，且

在R上为减函数，

A中函数f(x)="xe",满足f(-x)=-f(x),即函数为奇函数，

(x-l)e-x>x<CO

且f'(x)=l-(x+l)ex,x>0wo恒成立，故在R上为减函数，

B中函数f(x)=x+sinx,满足f(-x)=-f(x),即函数为奇函数，但f'(x)

=l+cosx^O,在R上是增函数，

lg(x+l),

*Ig(l-x),x<0

C中函数f(x)=，,满足f(-x)=f(x),故函数为偶函数；

D中函数f(x)=x21x.,满足f(-x)=f(x),故函数为偶函数，

故选：A.

【点评】本题以全称命题为载体，考查了函数的奇偶性和函数的单调性，难度中档.

2•小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明

的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为()

A.60B.72C.84D.96

参考答案:

C

【考点】排列、组合的实际应用.

【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相

邻，②、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻，③、小明的父母都与小明相

邻，分别求出每一种情况下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：

①、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时，

先在其父母中选一人与小明相邻，有QL2种情况，

2

将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A2=2种情况，

当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有

A2?XA32=12种安排方法，

此时有2x2x12=48种不同坐法；

②、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时，

将父母及小明看成一个整体，

小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2x2=4

种情况，

将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A『=6种情况，

此时有2x2x6=24种不同坐法；

③、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，

将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A?2=2种情况，

将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A3-3=6种情况，

此时，共有2x6=12种不同坐法；

则一共有48+24+12=84种不同坐法；

故选：C.

3.（5分）（2013?兰州一模）已知数列｛aj为等差数列，且a,+a7+a13=4n,则tan

（a2+ai2）的值为（）

A.aB.c.±V?D.

.3

参考答案:

A

略

JC一y:>0

-3x+y<3

4.若不等式组任+事,41表示一个三角形内部的区域，则实数a的取值范围是

()

参考答案:

5.设抛物线寸=2/»>0)的焦点为尸，点上(0,2),若线段田4与抛物线的交点B

满足或=3赤，则点6到该抛物线的准线的距离为()

5#

D.玉~

参考答案:

D

略

/(x)=fX+1lX~0

6.已知函数〔风电乩无>0,若方程〃r)=a有四个不同的解不，巧，巧，之

,、1

,,,巧O、)+h

且不〈巧<巧<。，则=5的取值范围是

A(T同B.(TDc.SDD.ID

参考答案:

B

7设Sn为等差数列｛an｝的前n项和,若a产1,a3=5,Sk+2-Sk=36,则k的值为（）

A.8B.7C.6D.5

参考答案：

A【知识点】等差数列及其前n项和.D2

解析：由a1=l,a3=5得d=2,所以

Sk+2-Sk=%】I%2=2/1（2无11）d=2Q11b2=36解得:k=8,故选A.

【思路点拨】由等差数列的通项公式，前n项和公式求得结论.

8.函数〃x）=2i的图像

A.关于y轴对称B.关于x轴对称

C.关于直线y=x对称D.关于原点对称

参考答案：

D

略

9.如图，正三棱柱ABC-ABG（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D

为AAi的中点.M、N分别是BBi、CG上的动点（含端点），且满足BM=GN.当M,N运动

时，下列结论中不正确的是（）

B.三棱锥A「DMN的体积为定值

C.ADMN可能为直角三角形

K

D.平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0,T]

参考答案:

C

考点：棱柱的结构特征.

专题：空间位置关系与距离；简易逻辑.

分析：由BM=GN,得线段MN必过正方形BCCB的中心0,由DO_L平面BCCB,可得平面

DMN_L平面BCCB；

由△ADM的面积不变，N到平面A.DM的距离不变，得到三棱锥A「DMN的体积为定值；

利用反证法思想说明ADMN不可能为直角三角形；

平面DMN与平面ABC平行时所成角为0,当M与B重合，N与G重合时，平面DMN与平面

ABC所成的锐二面角最大.

解答：解：如图，

当M、N分别在BBi、CG上运动时，若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCCB的中心

0,而DO_L平面BCCB,；.平面DMN_L平面BCCB,A正确；

当M、N分别在BB”CG上运动时，△ADM的面积不变，N到平面AQM的距离不变，.•.棱

锥N-ADM的体积不变，即三棱锥4-DMN的体积为定值，B正确；

若为直角三角形，则必是以NMDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BG,而

此时DM,DN的长大于BBi,...△DMN不可能为直角三角形，C错误；

当M、N分别为BB“CG中点时，平面DMN与平面ABC所成的角为0,当M与B重合，N与

G重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大，为/GBC,等于N.

K

平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为(0,T],D正确.

故选：C.

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了棱柱的结构特征，考查了空间想象能力

和思维能力，是中档题.

10.方程1_4x+4=Inx的解的个数有

A、1个B、2个C、3

个D、4个

参考答案：

B

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

II.给出下列六个命题：

①函数f(x)=lnx-2+x在区间(1,e)上存在零点；

②若f'(xo)=0,则函数y=f(x)在x=x0处取得极值；

10gl(X2-2x-in)

③若m'-l,则函数y=2的值域为R；

④“a=l”是“函数1+aeX在定义域上是奇函数”的充分不必要条件.

⑤函数y=f(1+x)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于y轴对称；

⑥满足条件AC=F，NB=60°,AB=1的三角形aABC有两个.

其中正确命题的个数是

参考答案：

①③④⑤

【考点】命题的真假判断与应用.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】根据函数零点的判定定理可得①正确.通过举反例可得②不正确.

根据对数的真数可取遍所有的正实数，可得此对数函数的值域为R,故③正确.

根据a=l时，函数在定义域上是奇函数，再根据函数1+ae*在定义域上是奇函数

时，a=±l,可得④正确.

由函数y=f(1+x)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于y轴对称，可得⑤正确.

由AC=近，/B=60°,AB=1,利用正弦定理及由大边对大角可得AABC是一个唯一的直

角三角形，故⑥不正确.

【解答】解：对于函数f(x)=lnx-2+x,在区间(1,e)上单调递增，f(l)=-l,f

(e)=e-l>0,根据函数零点的判定定理

可得，在区间(1,e)上存在零点，故①正确.

②不正确，如当f(x)=x"时，显然满足f'(0)=0,但y=f(x)=x：'在x=0处没有极

值.

10gl(X2-2x-m)

③当m>-1,函数y=2的真数为x2-2x-m,判别式△=4+4m20,

故真数可取遍所有的正实数,

log](X2-2x-m)

故函数y=2的值域为R,故③正确.

④由a=l可得l+ex,定义域为R,关于原点对称,

+l=-f(x),故函数在

定义域上是奇函数，故充分性成立.

若函数1+ae*在定义域上是奇函数，则有f(0)=0,或f(0)不存在，.'an,

或a=-l,故不能推出a=l.

故必要性不成立，故④正确.

⑤在函数y=f(1+x)的图象上任意取一点(a,f(1+a)),则点(a,f(1+a))关于y

轴的对称点为

(-a,f(1-a)),故函数y=f(1+x)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于y轴对

称，故⑤正确.

⑥aABC中，由AC=/B=60°,AB=1,利用正弦定理求得sinC=2再由大边对大角

可得C=30°,.,.6=90°,

△ABC是一个唯一的直角三角形，故⑥不正确.

故答案为①③④⑤.

【点评】本题主要考查命题的真假的判断，通过举反例来说明某个命题不正确，是--种简

单有效的方法，属于基础题.

12.如图，设以8c的外接圆的切线HE与8C的延长线交于点£,N胡C的平分线与

BC交于点、D.若匹=4,EC=2,则£0=.

参考答案:

2贬

略

13.在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，记AD邺'三边及内部

组成的区域为C,AP=XAB+yADj当点p在C上运动时，2x+3伊的最大值

为o

参考答案:

7

2

略

上—仁=1

14.已知双曲线a.（”＞°为＞°）的右顶点为A,以4为圆心，6为半径作圆

A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若|MW|=b,则C的离心率为

参考答案：

2^3

~T

【分析】

金也“2-

先求出点A到渐近线的距离为2，再解方程2曲亨即得解.

【详解】由题得双曲线的渐近线方程为加一呼=°-

由题得4AMN是等边三角形，边长为b.

瓦一\ab\

---0——2”上羽

所以点A到渐近线的距离为2----旧+必ca3

2-

故答案为：亍

【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对

这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

15.若,（X）是我上的奇函数，则函数》=力＞+1）-2的图象必过定点_

参考答案：

（-1-2）

略

16.如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线/（x）=S七X及直线X=daw（0,汨）与K轴围

成的区域，向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为万，则

参考答案:

略

17.函数y=loga(x+3)-1(aWl,a>0)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+l=O

12

上，其中m>0,n>0,则m+n的最小值为.

参考答案：

8

【考点】对数函数的图象与性质.

【分析】根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1

的代换结合均值不等式求解即可.

【解答】解：,“二-2时，y=logal-1=-1,

函数y=log.(x+3)-1(a>0,aWl)的图象恒过定点(-2,-1)即A(-2,-

1),

•点A在直线mx+ny+l=O上,

/--2m-n+l=O,即2m+n=l,

Vm>0,n>0,

22n_/n.4m

m+n=(m+n)(2m+n)=2+in+n+2>4+2?Vmn=8,

当且仅当m=W,n=2时取等号.

故答案为：8

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

（x=cos。

18.在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为iy=sin®（。为参数），曲线G的

（x=acos。

参数方程为［尸bsin。（a>b>0,@为参数）,在以0为极点，x轴的正半轴为极轴的

极坐标系中，射线1：®=a与C,G各有一个交点，当a=0时，这两个交点间的距离为

兀

2,当a=2时，这两个交点重合.

（I）分别说明C,G是什么曲线，并求a与b的值；

K7T

（II）设当a=才时，1与C”&的交点分别为A,B”当a=-才时，1与C”G的交

点分别为A”B”求直线Ai由、BB的极坐标方程.

参考答案：

【考点】简单曲线的极坐标方程.

【分析】（【）曲线G的直角坐标方程为x2+/=l,G是以（0,0）为圆心，以1为半径

22

X+a.7

的圆，曲线G的直角坐标方程为~/2~b2”=l,G是焦点在x轴上的椭圆.当a=0时，射线

7T

Q---

1与a,a交点的直角坐标分别为（1,0）,（a,0）,当2时，射线1与G,a交

点的直角坐标分别为（0,1）,（0,b）,由此能求出a,b.

/+丫2=1a;

（IDG,C2的普通方程分别为（+尸=1和9，当时，射线1与G的交点

V2,3710门冗

Ai的横坐标为x-2,与C的交点R的横坐标为X-10,当-4时•，射线1与

C,,G的交点A”分别与川，Bi关于x轴对称，由此能求出直线A船和BB的极坐标方

程.

【解答】（本题满分10分）【选修4-4坐标系统与参数方程】

（x=cosQ

解：（I）•.•曲线G的参数方程为iy=sinQ（4）为参数），

二曲线G的直角坐标方程为x\y2=l,是以（0,0）为圆心，以1为半径的圆，

（x=acos中

:曲线C2的参数方程为［尸bsin。（a>b>0,6为参数），

99

，曲线G的直角坐标方程为a"b”=l,.•.&是焦点在x轴上的椭圆.

当a=0时，射线1与G,C?交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),

\•这两点间的距离为2,.♦.a=3…

Q-----

当2时，射线1与G,Cz交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b)，

,这两点重合，，b=l…

X22=]

(II)C„C2的普通方程分别为x'yJl和一二丫

兀&加

a(79

当4时.，解方程组【x'+y”=l,得Ai(2,2),即射线1与G的交点4的横坐

_V2

标为x-2,

'尸x

,xi2_sVHi,二

解方程组I9',得瓦(10,10),与Cz的交点R的横坐标为*10

7T

CL——-----

当4时，射线1与G,C2的交点A2,分别与A”Bi关于x轴对称

因此，直线&Az、BiB?垂直于极轴，

Pcos0=—HPCc0oSs6=3v

故直线AA?和BB的极坐标方程分别为“c°s2,10…

19.(文)(本题满分13分)四边形ABCD的四个顶点都在抛物线y二芯2上，人，C关于了

轴对称，BD平行于抛物线在点C处的切线.

(1)证明：AC平分4工。；

(2)若点A坐标为(-LD,西边形ABCD的面积为4,求直线BD的方程.

参考答案:

]）设AGo，嚼），B（Xi，xi）,C（~Xo，Xo）9D（x：,苏）.

对y=x2求导，得yC=2x,则抛物线在点C处的切线斜率为一2x0.

k="^~=xi+xh

直线BD的斜率X：-Xl

依题意，有Xi+x2=-2xo.

记直线AB,AD的斜率分别为k”k2,与BD的斜率求法同理，得

ki+k2=(xo+xi)+(xo+x2)=2XQ+(XI+X2)=0,

所以NCAB=NCAD,即AC平分NBAD.

(2)由题设，xo=-l,xi+x2=2,k=2.四边形ABCD的面积

S=-^-|AC|■lx：—XI|=-^-|AC|■|x：+xi|■lx：—xj.

=-^^X2X2X12_2xJ=411—xi|,〃

由已知，4|1—Xi|=4,得Xi=0,或xi=2.

所以点B和D的坐标为(0,0)和(2,4),

故直线BD的方程为y=2x.

20.(本题满分12分)设函数〃x)=smx+cosx,g(x)=+了

(I)求8(力的周期和最大值

(II)求g(”的单调递增区间

参考答案：

(1)r(x)=cosx-Smr______________________分

^(x)=/(^/,(x)+[/(^f=(cosx+smx)(ctisx-sm^+(cosx+smx)2

=cos2x4-sin2x4-1--------------------------------------------------------------4分

=>/2smi(2x+—1+1

6分

g（“）的周期T=用-------------------7分

客（山地+i-----------------------

----8分

IFyrjr4苑v

--+2fcr<2x+-<-+2for--+2Jbr<2x<-+2fcr

⑵由242得44

--+fcr<x<-+for,fcez

所以88------------------------------10分

zifor-——,Ax+—Lfcez

g（可的增区间为L88」T2分

21.（13分）（1）已知R为全集，A={x|-lWx<3},B={x-2<xW3},求（GA）OB；

（2）设集合A=3，a+2,-3},B={a-3,2a-1,a2+l},若AClB={-3},求AUB.

参考答案：

考点：交、并、补集的混合运算；并集及其运算.

专题：计算题；分类讨论.

分析：（1）先求出GA,再求出（QA）AB；

（2）确定出-3GB,分类求出a,并检验，与集合中元素的互异性相符合.

解答：解：（1）CRA={X[X<-1或x23},B={x[-2<x<3},（&A）CB={x|-2<x<

-1或x=3}；

（2）由已知得-3CB

.•.若2-3=-3贝ija=0,此时A={0,2,-3}B={-3,-1,1},AUB={-3,-1,0,

1,2},

若2a-l=-3,a=-l,此时A中aJa+2=l,与集合中元素的互异性矛盾，舍去.

又热1