2023六年级数学下册教材分析

款数版裸程探灌曲验数科书

大耳极微学千册教材今折

（主讲：沈重予）

全册教材支配

六年级其次学期是小学阶段最终一个学期，运用六年级（下册）教科

书。这册教科书里把教学内容编排成八个单元，前七个单元教学新学问，

完成《数学课程标准（试验稿）》规定的内容和任务。第八单元是总复习，

系统整理小学数学中的主要学问，进一步完善认知结构，进一步驾驭重要

的思想方法，进一步提高应用学问解决实际问题的实力。

教学的新学问仍旧有四个领域的内容。“数与代数”领域教学百分数的

应用、比例的意义和性质、正比例和反比例、以及解决问题的策略。百分

数的应用是在初步理解百分数的意义，能够进行百分数与小数互化的基础

上编排的，利用百分数的概念解决实际问题，深化理解百分数的意义，体

会它在日常生活和生产劳动中的广泛应用。比例的意义和性质是在初步相

识比和比的基本性质，能够组成比、求比值、化简比的基础上编排的，有

助于体会图形放大与缩小的含义，相识比例尺以及解决有关比例尺的实际

问题。正比例和反比例是在常见数量关系的基础上编排的，建立正比例和

反比例的概念，能进一步理解和把握数量关系，感受常量与变量，初步体

会函数关系。在解决问题的策略这个单元里，体验转化思想，感受转化是

解决问题的常用方法，它能沟通学问间的联系，使困难问题变得比较简洁。

“空间与图形”领域教学圆柱和圆锥，图形的放大与缩小，用方向和距离

确定位置。圆柱和圆锥都是平面与曲面围成的立体图形，是在圆的学问与

长方体、正方体学问的基础上编排的，相识圆柱和圆锥的特征，理解圆柱

侧面积和表面积的含义及计算方法，探究并应用圆柱和圆锥的体积计算公

式，能发展空间观念和思维实力。图形的放大与缩小是新增加的教学内容，

初步理解图形放大与缩小的含义，在方格纸上按规定的比画出简洁图形放

大或缩小后的图形，充溢了图形变换的学问和实力。确定位置也是新增加

的教学内容，在东北、东南、西北、西南的基础上理解北偏东、北偏西、

南偏东、南偏西的含义，还要利用量角、画角的技能和比例尺的学问，描

述物体所在的位置，进一步发展方向感。“统计与概念”领域教学扇形统计

图，是在相识圆以及百分数的基础上编排的。要求相识扇形统计图的特点，

理解统计图中各个百分数的详细含义，利用已知的总数以及各部分所占的

百分比，计算各部分有多少，但不要求制作扇形统计图。结合新学问的教

学，编排三次实践活动。一次是利用圆柱的体积，测量不规则形态物体的

体积；一次是比较图形放大后与放大前边长的比与面积的比，发觉面积的

变更规律；还有一次是多种方法测量间隔较远的两地的距离。实践活动的

内容与新学问关系紧密，让学生在操作、探究、合作中扩展学问、增长才

能。

总复习也分四个领域编排。在“数与代数”领域整理接连相识的数，

沟通各种形式的数的联系，进一步清晰数的概念，用数描述与沟通客观现

象；整理接连学会的运算，在整、小、分数的计算法则、运算依次、运算

律上求同存异，进一步理解运算的意义，通过计算解决实际问题；整理式

与方程的学问，用字母表示数和数量关系，进一步提高运用方程解决问题

的实力。另外，还整理了比与比例、正比例与反比例等学问内容。在“空

间与图形”领域复习平面图形和立体图形，按形态特征整理一般图形与特

殊图形的关系，按推导方法整理平面图形面积计算公式，用“底面积义高”

整合立体图形的体积计算方法；复习图形变换的学问，通过平移、旋转变

更图形的位置，通过放大或缩小变更图形的大小；复习确定位置的方法，

用数对表示物体的位置，用方向与距离表示地点或路途。在“统计与概率”

领域复习收集、整理数据的方法，呈现数据的统计表和统计图，反映数据

状况的统计量；复习可能性的学问，简洁应用可能性。在“综合应用”里

编排四个小型课题，支配调查探讨，用统计方法了解事情，提出并解决问

题。

各单元教材分析

第一单元百分数的应用

一、教学内容

六年级（上册）“相识百分数”这个单元里，初步教学百分数的意义，

用百分数描述部分与整体或两个同类数量间的倍数关系；教学了百分数与

分数、小数的相互改写，解决简洁的求一个数是另一个数的百分之几的问

题。本单元在此基础上编排，通过应用百分数解决实际问题，进一步理解

百分数的意义，体会百分数的广泛应用。

日常生活和生产劳动常常应用百分数，如用百分数表示一个数量比另

一个数量多或少的关系，又如利息与纳税的计算、折扣的设计与计算等。

应用百分数解决问题可以列式计算，也可以列方程解答。这些都是本单元

的教学内容。

全单元的教学内容比较多，编排6道例题、四个练习以及全单元的整

理与练习，大致分成五段教学。

例1、练习一，求一个数比另一个数多百分之几（或少百分之几）。这

一段是接着六年级（上册）求简洁的百分率编排的。

例2、例3、练习二，依据国家规定的税率和利率，计算应纳税金额和

可得利息金额。这一段应用百分数的乘法解决实际问题。

例4、练习三，解决有关折扣的问题，包括设计折扣和依据折扣求现价

或原价的问题。这一段里有列方程解题，也有列算式解题，列方程求原价

是重点。

例5、例6练习四，列方程解决稍困难的百分数问题或分数问题。在六

年级（上册）“分数四则混合运算”里只教学稍困难的求一个数的百分之几

是多少的问题，已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题支配在本

单元，由百分数问题带出。

“整理与练习”综合全单元的学问内容，进一步应用百分数解决实际

问题。

二、教材编写特点和教学建议

1.应用概念、联系阅历进行推理，求一个数比另一个数多（少）百分

之几。

例1是一个数比另一个数多百分之几的问题，“试一试”是一个数比另

一个数少百分之几的问题。学生有求一个数比另一个数多（少）几的阅历，

已能求一个数是另一个数的百分之几。教材充分利用这些资源，引导学生

通过推理，探究例题与“试一试”的算法，激励解决问题方法多样化。

•线段图直观。例1画出表示东山村原支配造林面积和实际造林面积

的线段图，还在图上标出了表示实际比原支配多的那一段，帮助理解“实

际造林比原支配多百分之几”的含义。让学生体会这是把原支配造林面积

作为单位“1”，实际多造林的公顷数与原支配造林面积相比。求实际造林

比原支配多的公顷数占原支配的百分之几，须要分两步解答。

•思路与解法多样。例题用两种方法求得实际造林比原支配多25%,

“兔”的思路是：实际比原支配多造林的4公顷占原支配造林面积的25%,

他先算了4公顷；“鸟”的思路是：实际造林面积是原支配的125%,比原支

配多25%,他先算了125%。教材希望这些解法都是学生在线段图的帮助下

想到的，在沟通时激励思路与方法多样化，允许学生选择解法。

«类推并比较。“试一试”解决的问题与例1貌似相同、实质不同。所

谓貌似相同，因为两个问题都是实际造林面积和原支配造林面积的关系，

学生往往会从实际比原支配多25%得出原支配比实际少25%这个错误结论。

其实，这两个问题有质的区分，首先是数量关系不同，作为单位“1”的数

量不同，列出的算式不同；其次是两个问题的结果不同：实际比原支配多

25%、原支配比实际少20%o为此教材里有比较两题的结果，分析结果不同

缘由的支配。

•设计题组，加强概念。解答求百分率的实际问题是应用百分数意义

进行推理的过程，每一个求百分率的问题都计算一个数是另一个数的百分

之几，各个百分率都有特定的详细含义。练习一里编排一些题组，旨在进

一步加强百分数的概念。如第4题分别把会游泳人数或不会游泳人数与全

班人相比，得到的两个百分数是不同的。第5题里既有相同条件求不同的

百分率，也有不同条件求相同的百分率，从中体会数量关系和解题过程的

不同。第7题里虽然三个百分率的计算思路一样，由于利用的条件不同，

因而结果也不同。

2,促进阅历迁移，求一个数的百分之几是多少。

纳税和收入利息都是生活中常见的求一个数的百分之几是多少的问

题。例2教学纳税的问题，例3教学利息的问题，它们的解题思路与数量

关系有相像的地方，相宜编排在一起教学。收获利息要缴纳利息税，在教

学利息的问题前先教学纳税问题，是合理的支配。另外，税率和利率都是

国家的有关部门规定的，一般公民不须要计算税率和利率，只要依据规定

的税率和利率计算应缴纳多少税、能收入多少息。所以，这两道例题和练

习二里只涉及求一个数的百分之几是多少的问题。

•创建迁移的氛围，让学生主动解决纳税问题。例2求60万元的5%

是多少万元，从5%的概念动身，利用5%与高意义上的共同点，让学生在

60万元的工基础上，通过推理懂得求一个数的百分之几是多少也用乘法计

100

算。计算60X5%转化成60x1-,再次体会两者的数量关系是一样的，用

100

乘法求一个数的百分之几是多少是合理的。把60X5%转化成60X0.05是计

算百分数乘法的常用策略，当一个数乘分数的计算比较麻烦时，把百分数

化成小数计算的优越就显现了。

例2计算应缴纳的营业税，“试一试”和练习中还要计算应缴纳的车辆

购置税、增值税、个人所得税等，都是我国现行的主要税种。税率虽然不

同，计算应纳税额的原理与方法是致的。学生独立解决一些关于纳税的问

题，实现例题到练习题的迁移。

•接受和理解利息的算法。利息有规定的算法，把算法告知学生，理

解算法的数量关系，是比较相宜的教学方法。例3在亮亮存款的情境里出

现“利息=本金X利率义时间”，在底注说明本金、利息、利率的意思，让

学生理解年利息是按年利率计算的，是求本金的百分之几；假如存期超过1

年，还要把年利息乘时间。依据利息的计算公式列式求得利息，能对利息

的算法有进一步的体验。

我国的税法规定，获得利息要缴纳利息税，“试一试”计算应缴纳的利

息税以及纳税后的实得利息。例3与“试一试”有序地结合，为“练一练”

和解答练习二第5、6题作了充分的打算。依据本金、利率、时间、税率计

算税后实得利息的步骤较多，因此，教科书里的实际问题一般设计成连续

的两问，先算应得利息，再算实得利息，适当降低解决问题的思路坡度，

削减错误。

3.解答“打折扣”的实际问题，沟通各类百分数问题的联系。

学生已能解答求一个数是另一个数的百分之几的问题，以及求一个数

的百分之几是多少的问题，例④教学已知一个数的百分之几是多少，求这

个数的问题，并沟通三类百分数问题的联系。

•以百分数乘法为相等关系，列方程解决实际问题。例4已知《趣味

数学》打八折是12元，求书的原价是多少。教材先告知学生八折是80%,

还在底注里介绍什么是打折扣，以及折扣的含义，指出几折就是非常之几，

也就是百分之几十。然后让学生思索原价和实际售价的关系，联系打折扣

的含义，得到数量关系”原价X80%=实际售价”。在这个关系式里，已知

实际售价、求原价，假如设原价为x元，就能列方程解决问题。

•用不同方法检验，沟通百分数问题的联系。检验实际问题的答案，

一般不采纳代入原方程的方法，因为把X的值代入原方程只能检验解方程，

不能检验列方程。教材激励学生联系折扣的含义，用多种方法检验。“兔”

检验实际售价12元是不是原价15元的80%,“鸟”检验原价15元的书打八

折后的实际售价是不是12元。例题及两种检验，都在原价、现价、折扣三

个数量里已知两个，求另一个，它们是有关折扣的三类实际问题。例题的

解答及其检验，体现了各类百分数问题的内在联系。

•进行解决各类问题的练习，敏捷应用数量关系。练习三里编排了关

于折扣的各种问题，第1题已知原价和折扣，求打折后的售价；第2题已

知打的折扣以及打折后的实际售价，求打折前的原价；第4题依据原价和

现在售价，求打的折扣。学生解决这些问题，能进一步理解折扣的含义和

实际应用，敏捷驾驭数量关系。解答这些题都从折扣的详细含义分析数量

关系，首先是“原价X折扣=现价”。在这个关系式里，假如已知原价求现

价，可以列乘法算式计算；假如已知现价求原价，列方程是常用的方法。

然后是“现价♦原价=折扣”，即现在售价是原来价钱的百分之几十，就是

打了几折。练习三的第3题，把已知的百分数改说成打的折扣，启示学生

求打的折扣就是求现价占原价的百分之几十，为第4题作了铺垫。

4.列方程解答较困难的百分数问题。

例5把男生人数作为单位“1”，例6把九月份用水量作单位“1”，两

道题都求单位“1”是多少，在例4的基础上列方程解答。

•利用线段图显示相等关系，分散列方程的难点。求单位“1”是多少

的百分数问题一般列方程解答，找到相等关系既是关键，又常常是难点。

例5用两条线段分别表示美术组的男生人数和女生人数，先画表示男生人

数的线段是因为男生人数看作单位“1”。让学生在图右边的括号里填写总

人数，体会总人数是男生人数与女生人数的和，从而找到相等关系。例6

用两条线段分别表示九月份和十月份的用水量，先画表示九月份用水量的

线段是因为把它看成单位“1”的量。十月份用的水比九月份少，也就是“九

月份用水量一十月份比九月份节约的用水量=十月份用水量”，这正是实际

问题的相等关系。教材利用线段图直观反映例5里的两个数量的相并关系，

例6里两个数量的相差关系，有助于学生理解相等关系。

两道例题列出的方程都形如“x±ax=b”，不仅设单位“1”的量数为x,

还要用含有x的式子表示女生人数或十月份节约用水的立方米数，这是列

方程的难点。教材让学生在例5的线段图上用0.8x表示女生人数，看着例

6的线段图思索十月份比九月份节约的立方米数怎样表示，能有效化解难

点。

•加强数量关系的练习，提高找寻相等关系的实力。第11页“练一练”

第1题和例5相像，第2题是例5的变式。这些题的特征比较明显，有些

题已知两个数量的和是多少，求两个数量各多少；有些题已知两个数量相

差多少，求两个数量各多少。已知的和或相差数常常是分析数量关系的切

入口，两个数量相加得到它们的总数、两个数量相减得到它们的相差数，

往往是实际问题里的主要数量关系，也是列方程的相等关系。第12页“练

一练”消化例6的思路，在说数量关系前先让学生试着画出线段图，在线

段图直观启示下简洁说出数量关系。学生看着线段图，联系已有的阅历，

可能说出不同的数量关系式。如美术组人数一舞蹈组人数=美术组比舞蹈

组多的人数；美术组人数一美术组比舞蹈组多的人数=舞蹈组人数；舞蹈

组人数十美术组比舞蹈组多的人数=美术组人数。要指导学生从中选择用

于列方程的相等关系，从他们现有的解方程实力动身，选用的数量关系式

必需保证未知数都在等号的左边。

•带出稍困难的分数问题。六年级（上册）只教学较困难的分数乘法

问题，把稍困难的求单位“1”是多少的问题支配在本单元，由百分数问题

带出来，如练习四第14〜16题。这些题的解题思路与方法，和求单位“1”

的百分数问题很接近，学生解答百分数问题的阅历能够迁移到解答分数问

题上。教材不编排分数问题的例题，把解答分数问题支配在练习四的最终

中，意图是非常明显的，让学生在独立解答这些题的过程中实现认知同化。

其次单元圆柱和圆锥

一、教学内容

学生已经驾驭了长方体和正方体的特征、表面积与体积的计算方法，

还直观相识了圆柱。在这些学问的基础上，本单元教学圆柱和圆锥，主要

内容有：圆柱和圆锥的特征，圆柱的侧面积与表面积，圆柱和圆锥的体积

计算。

全单元编排了5道例题、四个练习以及整理与练习，大致分成五段教

学。

例1、练习五，圆柱和圆锥的形态特征；

例2、例3、练习六，圆柱的侧面积和表面积；

例4、练习七，圆柱的体积；

例5、练习八，圆锥的体积；

“整理与练习”综合应用全单元的学问，“实践活动”扩展学问、开拓

视眼。

二、教材编写特点和教学建议

1.按“整体一部分一整体”的线索，分别教学圆柱和圆锥的结构特点。

学生相识几何体一般先整体感知形态，再细致探讨结构与特征，在此

基础上归纳描述，建立形体概念。

例1先教学圆柱的特征，再教学圆锥的特征。这是因为学生对圆柱已

有直观感受，对圆锥比较生疏。圆柱和圆锥的形态虽然有明显的区分，但

它们都有圆形底面、弯曲的侧面。先相识圆柱，有利于相识圆锥。

•在现实的情境中初步相识圆柱和圆锥。例题在图画里呈现很多圆柱、

圆锥形态的物体，让学生从中找出圆柱形态物体，告知他们有些物体的形

态是圆锥，还要回忆生活中的其他例子，体会这两种形态的物体是比较常

见的，为相识圆柱和圆锥的特征搜集了丰富的材料。

•视察沟通，分别描述圆柱和圆锥的结构特点。教材要求学生细致视

察圆柱和圆锥，发觉它们的特征。圆柱的特征突出三点：从上到下始终一

样粗；两个底面是相同的圆形；侧面是一个曲面。圆锥的特征也突出三点；

有一个顶点；一个底面是圆形；侧面是一个曲面。在学生沟通的基础上，

出现圆柱和圆锥的几何图形，图文结合指出圆柱和圆锥的“底面”“侧面”

和“高”。这些都是与形态特征有关的概念，还是接着教学侧面积、表面积、

体积必需的基础学问。

圆柱与圆锥的高都是特定的概念，圆柱的高是它两个底面之间的距离，

圆锥的高是它顶点究竟面圆心的距离。教材在圆柱和圆锥的几何图形里用

虚线画出了圆柱两个底面圆心间的线段，圆锥顶点究竟面圆心的线段，还

在图形外面标注“高”，让学生理解圆柱和圆锥的高分别是这两条线段的长，

还示意了测量圆柱、圆锥的高的方法。

•通过识别加强形体概念。第19页“练一练”找出圆柱形或圆锥形的

物体，进一步突出圆柱和圆锥的特征，加强形体概念。有些物体的底面是

多边形，不是圆形；有些物体的两个底面都是圆形，但大小不同；有些物

体的两个底面虽然是相同的圆，但两底之间不一样粗，它们都不是圆柱形

的物体。

•在练习里发展空间观念。练习五第1题巩固有关圆柱、圆锥特征的

基础学问。第2题指出圆柱、圆锥的三视图，体会从正面、侧面看到的形

态要用平面图形来表示。第3、4题体会“形”旋转成“体”，“形”的尺寸

确定“体”的底面大小和高的长短。第5题利用教科书供应的材料制作圆

柱、圆锥，体会侧面是平面图形卷成的曲面，学会测量底面直径和高的方

法，计算底面周长和面积，复习圆的学问。学生的空间观念在视察、操作、

制作的过程中得到发展。

2.绽开圆柱的侧面、表面、探讨侧面积和表面积的计算方法。

例2教学圆柱的侧面积，例3教学圆柱的表面积。这样支配，符合学

问间的关系，突出侧面积是认知的重点。

•指导绽开圆柱侧面的方法，理解侧面绽开后的形态。例2计算圆柱

形罐头侧面的商标纸的面积，在问题情境里，学生知道商标纸是围到圆柱

侧面上的，于是产生把商标纸绽开的愿望。教材指导“沿着接缝剪开“，接

缝的长是圆柱的高，沿着接缝剪就是沿着高剪，绽开是一张长方形纸。学

生在“围一剪一展一围”的活动中，体会了圆柱侧面绽开是一个长方形。

•指引方向，探究侧面积的算法。计算长方形面积的方法是“长义宽”,

怎样利用圆柱的底面直径和高计算侧面积？须要解决的问题是长方形的长

和宽与圆柱有什么关系。教材让学生探讨这些关系，发觉长方形的长等于

圆柱的底面周长、长方形的宽等于圆柱的高。这样，圆柱的侧面积就可以

通过“底面周长X高”计算。得出侧面积算法是推理的结果，在推理过程

中，形象思维和抽象思维都得到熬炼，空间观念得到培育。

•画出表面绽开图，探讨表面积的算法。学生有计算长方体、正方体

的表面积的阅历，知道表面积是物体各个面的面积总和。例3教学圆柱的

表面积，创建已有学问、阅历迁移的氛围，要求学生在方格纸上画出一个

圆柱的绽开图。为了能顺当地画图，例题的第一个问题是沿高绽开侧面，

得到的长方形长和宽各是几厘米？指导学生应用圆柱侧面积学问，先画出

侧面的绽开图。其次个问题是两个底面分别是多大的圆？指导学生依据圆

柱立体图形里的底面直径，画出两个底面圆。通过画图，看到圆柱的绽开

图是一个侧面（长方形）和两个底面（圆形）组成的，由此得出“圆柱的

侧面积与两个底面积的和，叫做圆柱的表面积。”在小组里探讨“怎样计算

圆柱的表面积”，一要理出解决问题的思路和步骤，二要依据已知的圆柱的

有关条件，说说侧面积与底面积的算法。由于圆柱表面积计算比较困难，

一般分步解答。

•敏捷应用侧面积、表面积学问，解决实际问题。练习六是圆柱侧面

积、表面积的实际应用，解答问题要重视“数学化”，把实际问题抽象成计

算侧面积、底面积或表面积的数学问题。如第1题求铝皮面积是计算圆柱

形队鼓的侧面积，计算羊皮面积是求圆柱形队鼓的两个底面积。再如通风

管是没有底面的，彩纸糊的灯笼只有下底和侧面。另外，计算圆柱的侧面

积和表面积，常常要进行繁琐的乘法运算。为此，本单元提倡学生运用计

算器，把精力用于“数学化”上，用于规划解决问题的步骤上。

3.应用转化策略，教学圆柱的体积计算公式。

把未知转化成已知是解决新奇问题的常用策略，也是创新精神、实践

实力的表现。教学圆柱的体积公式，运用了转化策略，分三步进行。

•建立“等底”“等高”概念，形成“等积”猜想。例4教学圆柱体积

的计算方法，首先出示一个长方体、一个正方体、一个圆锥，图文结合指

出它们的底面积相等、高也相等。因为圆柱的体积计算公式是转化成等底、

等高的长方体后推导的，学生须要形成“等底”“等高”概念。然后从长方

体、正方体的体积都可以“底面积X高”计算，得到等底、等高的长方体

与正方体的体积相等。由此猜想，圆柱的体积也与等底、等高的长方体相

等，形成了探讨圆柱体积算法的思路。

•害k拼圆柱，转化成长方体。圆柱的体积是否与等底、等高的长方

体相等，要看它能不能转化成相应的长方体。学生有圆转化成长方形的阅

历，以此为基础，把圆柱的底面平均分成16份，切开后拼成了一个近似的

长方体。这里讲“近似”，是因为拼成的物体的“长”是8段弧组成的曲线。

由此想像，假如把圆柱的底面平均分成32份、64份……切开后拼成的物体

的“长”越来越接近线段，拼成的物体越来越接近长方体。在切、拼操作

以及想像中，实现了圆柱转化成长方体。

•通过推理，得到圆柱体积计算公式。切、拼把圆柱转化成长方体，

圆柱的体积公式还要通过推理得到。教材先指导学生探讨拼成的长方体与

原来的圆柱的关系，看到两个物体的体积相等、底面积相等、高也相等。

再体会“底面积X高”既是计算长方体的体积，也算得了圆柱的体积。由

此得出圆柱的体积公式，并用字母表示，便于记忆和应用。

4.“估计一验证”探究圆锥的体积公式。

就小学生现有的学问，把圆锥转化成体积相等的其他物体有些困难。

因此，教学圆锥体积公式采纳的方法与圆柱不同

­相识等底、等高的圆锥与圆柱，估计圆锥体积是圆柱的几分之几。

例5图示了一个圆柱和一个圆锥，指出它们的底面积相等，高也相等。从

图画直观，学生能确定圆锥的体积比圆柱小，教材让学生估计这个圆锥的

体积是圆柱的几分之几。这里的估计不要求精确，也不要求全体学生有相

同的答案，说成；或其他分数都允许。估计要经过验证才能确认或修正，

“估计一验证”是解决问题的一种策略。

•通过试验，发觉等底等高的圆柱与圆锥的体积关系。首先打算器材,

找等底等高的圆柱、圆锥容器各一个，教材图示了比较底面积和比较高的

方法。然后在圆锥容器里装满沙子，倒入空的圆柱容器里，看看几次正好

倒满。从倒沙子试验得出圆锥体积是等底等高圆柱体积的g,确认或者修正

原来的估计。

•利用圆柱体积算圆锥体积，推导圆锥的体积公式。上面试验的结论

可以用数学式子表示：圆锥的体积=等底等高圆柱的体积X；。圆柱的体积

通过“底面积X高”计算，所以圆锥的体积=底面积义高X；。

­编排等底等高圆柱与圆锥的体积关系的专项练习。驾驭圆锥体积计

算方法的关键在理解和应用等底等高圆锥、圆柱的体积关系，即圆柱的体

积是等底等高圆锥的3倍，圆锥的体积是等底等高圆柱的g。练习八里有这

方面的专项训练，如第2题、第4题、第5题等。第2题在圆锥容器里注

满水倒入等底等高的空圆柱容器，水只占圆柱容器空间的;。因此，水面的

高只是圆柱高的;。第5题里的圆锥只与底面直径9厘米、高4厘米的圆柱

的体积相等。圆锥与底面直径3厘米、高9厘米的圆柱的体积不相等，因

为圆锥的底面积不是圆柱底面积的3倍。

5.测量形态不规则的物体的体积。

生活中有大量形态不规则的物体，它们的体积如何测量？实践活动《测

量物体的体积》解决这个问题。

•转化成圆柱算体积。把土豆放入存水的圆柱容器，能测量体积。教

材支配小组合作学习，先测量圆柱容器的底面积，以及放入土豆前的水面

高度；再把土豆放进去，测量放土豆后的水面高度。学生能够从水面上升，

体会那段圆柱的体积就是土豆的体积。进行这项活动要留意两点，一是在

圆柱容器的里面测量它的底面直径和水面高度，并算出底面积。二是帮助

学生理解水面高度变更与土豆体积的关系。

•利用质量与体积的比值算体积。同一种材料，物体的质量与体积的

比值（即比重）是确定的，物体的质量除以比重的商是物体的体积。如铁

的比重是每立方厘米7.8克，一块质量为780克的铁块的体积是780・7.8

=100（立方厘米）。这次实践活动的其次个内容就是应用这种关系算体积，

分三步进行。第一步用测量土豆体积的方法分别测量两块铁块的体积，用

天平称出这两块铁块的质量。其次步把两块铁块的体积和质量填入教材设

计的表格，分别算出质量与体积的比值，发觉比值是相同的。第三步用天

平称出另一块铁块的质量，通过质量除以比重求出体积。开展这项活动也

要留意两点，一是先测量的两块铁块的体积要尽量精确，否则，得不到“质

量与体积的比值确定"。二是帮助学生理解质量除以比重的商是体积。

第三单元比例

一、教学内容

本单元教学“数与代数”领域里的比例的意义、比例的性质、解比例;

还教学“空间与图形”领域里的图形放大与缩小、比例尺的意义、解决与

比例尺有关的实际问题。

把两个领域的学问结合起来教学，既能给予比例丰富的现实意义，又

能理解图形放大、缩小的数学含义，还能使解决比例尺的实际问题有更多

的思路与方法。

全单元编排7道例题、三个练习，分成四段教学。

例1〜例3、练习九，图形的放大与缩小、比例的意义；

例4〜例5、练习十，比例的性质、解比例；

例6、例7、练习十一，比例尺的意义和解决实际问题；

“实践活动”进一步体验图形的放大与缩小。

二、教材编写特点和教学建议

1.在现实情境和画图活动中，教学图形放大与缩小的含义。

图形放大与缩小是图形的一种变更方式，探讨的对象与内容非常详细，

教学应在现实的情境中进行。

•联系“倍”和“比”的学问，揭示图形放大的含义。例1先教学图

形的放大，在长方形画放大的情境中，要求学生说说“两幅画长的关系、

宽的关系”。有些学生用“倍”描述，有些学生用“比”表示，都利用了已

有的学问、阅历。这里要留意的是，应当把放大后的画（其次幅画）与放

大前的画（第一幅画）比。教材归纳学生的思索，指出长方形的每条边放

大到原来的2倍，放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是2：1,就

是把原来的图形按2:1的比放大。在这一段话里，揭示了图形放大的详细

含义，示范了图形放大的规范表述。

•促进认知迁移，体会图形缩小的含义。在初步理解长方形按2：1的

比放大以后，教材提问：假如把第一幅画按1：2的比缩小，长和宽应是原

来的几分之几？各是多少厘米？引导学生感受图形的缩小，初步形成图形

缩小的概念。

教学时，可以把图形按2：1的比放大与图形按1：2的比缩小进行比

较。突出比的前项指变更后的图形，后项指原来的图形。2：1的前项大于

后项，表示图形放大；1：2的前项小于后项，表示图形缩小。

•在方格纸上画图形，进一步体会图形放大与缩小。例2在方格纸上

依据规定的比画出长方形放大后与缩小后的图形，先思索放大或缩小后的

长、宽各是几格，进一步理解3：1与1：2在图形放大、缩小情境里的含

义，加强对图形放大、缩小的体验。

2.以图形放大为素材，教学比例的意义。

在图形放大的情境中能够写出很多组对应边长度的比，这些比的比值

是相同的。利用这些比教学比例，一方面使组成的比例有详细的含义，有

利于理解比例的意义。另方面通过对应边长度的比组成比例，能进一步理

解图形的放大。

•分别写出各张照片长和宽的比，分析两个比的关系。例3要求分别

写出放大前照片的长与宽的比，放大后照片的长与宽的比。这两个比也是

相对应的，都是同一图形里两条边的长度比，而且都把长作前项，宽作后

项。学生思索两个比有什么关系，有人从比值的角度发觉它们的比值都是

1.6,有人从化简比的角度发觉它们化简后都是8：5O上面的活动有两个作

用，一是为教学比例积累素材。二是发展对图形放大的体会：长方形放大，

不仅放大后与放大前长的比与宽的比相同，而且放大前长与宽的比和放大

后长与宽的比也相同。

•依据比值相等写出等式，揭示比例的意义。两个比的比值都是1.6,

两个比都能化简成8：5,这些都表明两个比相等，因此可以写成等式。等

式的左、右各是一个比，表示两个比相等，教材指出“表示两个比相等的

式子叫做比例”，让学生在现实的情境里首次感知比例的意义。

•写出照片放大后与放大前对应边的长度比，推断能不能组成比例。

依据图形放大，学生还能写出放大后与放大前两个图形的长的比和宽的比，

推断这两个比能否组成比例，只要看它们的比值是否相等。经过写出比、

求比值，比较比值的大小、写成比例等一系列活动，能进一步体会比例的

意义，学会推断两个比能不能组成比例的方法。

•在常见数量关系中体验比例的意义。图形放大与缩小为教学比例供

应了生动的素材，相识比例不能局限于图形的变更。因此，练习九第3题、

第7题扩展素材的范围，在常见数量关系里写比、求比值、组成比例，进

一步加强概念，也为教学正比例作些铺垫。

3.在图形缩小的情境中教学比例的性质。

比例的性质可用来解比例，也是解决实际问题须要的学问。

•利用三角形缩小的数据写比例，相识比例的内项与外项。例4呈现

三角形缩小的情境，缩小前、后的图形里标有底、高的数据。学生依据图

形缩小的含义，利用图中的数据，能够写出很多比例。每个比例都由6、4、

3、2四个数组成，四个数在比例中的位置有规律，这些都为教学比例的性

质创建有利条件。

教材举一反三，先在6：3=4：2里讲解并描述比例的内项与外顶，再

让学生指出其他比例的内项、夕卜项，刚好巩固学问。

•在写出的比例中发觉基本性质。比例的性质希望学生主动发觉，因

为性质比较明显。自己发觉性质，相识深刻、记忆坚固、便于应用。发觉

性质是由表及里、由详细到抽象、由个案到全体的过程。“兔”看到了6、4、

3、2四个数在比例中的位置规律，“猴”发觉了性质的详细表现。教材要求

再写出一些比例，体会规律存在于每个比例中。在此基础上，用字母表示、

用语言讲解并描述，理解比例的基本性质。

4.结合解决实际问题教学解比例。

例5用比例学问解决实际问题，包括三点内容：依据图形放大的意义

写出比例，应用比例性质求未知项，指出什么是解比例。

•依据图形放大，写出比例。例题要求写两张照片长的比与宽的比组

成的比例，在这个比例里有三项是已知的，一项是未知的。因此，像列方

程解决问题那样，设放大后照片的宽是X厘米，列出的比例是含有未知数

的等式。

•解比例是例题的主要教学内容。教材里写出了两个内项的积等于两

个外项的积这一步，让学生思索依据是什么，体会应用比例的性质能够求

出比例中的未知项，并通过“试一试”“练一练”学会解比例。

5.写图上距离和实际距离的比，理解比例尺的含义。

例6教学比例尺的意义，计算平面图的比例尺。

•相识图上距离和实际距离。例题给出了草坪长50米、宽30米，草

坪平面图长5厘米、宽3厘米。要求学生分别写出长、宽的图上距离和实

际距离的比。教材没有对图上距离、实际距离作说明，让学生在问题情境

中体会、识别。

•指导统一单位。教材指出：图上距离和实际距离的单位不同，先要

统一成相同单位，写出比后再化简。统一单位，可以把高级单位化成低级

单位，也可以把低级单位聚成高级单位，由学生自主选择。在沟通中体会,

实际距离改写成厘米为单位较便利些。假如把图上距离改写成米为单位，

在化简比的时候较麻烦。“猴”写了长的图上距离与实际距离的比，“鸟”

写了宽的图上距离和实际距离的比，两个比化简成相同的比。因此，求平

面图的比例尺，只要利用一组对应的图上距离和实际距离就够了。

•揭示比例尺的意义。通过写图上距离与实际距离的比，学生初步感

受了比例尺的内涵。在此基础上，教材指出“图上距离和实际距离的比，

叫做比例尺。”两个数学式子，既精炼地表示了比例尺的意义，又表达了求

比例尺的方法。

•相识线段比例尺。线段比例尺是比例尺的另一种表示形式。教学线

段比例尺有两点作用，一是进一步体会比例尺的意义，二是能便利地解决

求图上距离或实际距离的问题。教材通过说明比例尺1：1000的详细含义

引出线段比例尺，突出线段比例尺的特点，能直观地表示图上1厘米相当

于实际若干米（千米）。线段比例尺与数字比例尺的意义是一样的，可以相

互转化。如P49“练一练”第1题，左图的比例尺是1：2200000表示图上

1厘米相当于实际距离2200000厘米（即22千米），相应的线段比例尺也是

图上1厘米表示实际22千米。右图的线段比例尺是图上1厘米相当于实际

22米（即2200厘米），相应的数字比例尺就是1：2200o

6.利用比例尺，求实际距离或图上距离。

利用已知的比例尺，可以求实际距离或者求图上距离。例7是求实际

距离的问题，求图上距离的问题支配在练习里。例7激励解决问题的方法

多样化，“猴”联系数字比例尺的意义解题，“兔”利用线段比例尺解题。

另外，还教学列比例解决问题。

7.支配实践活动，进一步理解图形放大、缩小的概念。

实践活动《面积的变更》探究图形放大，面积变更与边长变更的联系。

第一项活动是测量长方形放大后与放大前的长、宽，按图形放大的概念分

别写出长的比和宽的比，估计放大后长方形面积与放大前的比是几比几，

通过计算检验估计，初步体验图形放大时边长变更的比与面积变更的比是

不同的。其次项活动测量正方形、三角形、圆的有关长度并计算面积，把

数据填入表格，发觉面积变更与长度变更的关系。第三项活动应用发觉的

变更关系在校内平面图里提出问题、解决问题。

各项活动的内容多、容量大，要细致看书，明白每项活动的任务与要

求。发觉规律须要过程，三项活动体现出“初步感知一探讨发觉一理解应

用”的过程，学生不仅获得学问，也