2023年春上海七年级下数学辅导讲义(沪教版)第14讲 等腰三角形二（讲义）(含详解)

第14讲等腰三角形二

本节主要针对等腰三角形的综合性问题进行讲解，对于条件不足的问题，通过添加平行

线或截长补短或倍长中线等构造全等的三角形，综合性较强.

模块一：计算

知识精讲

根据等腰三角形的性质进行角度和边长的相关计算.

例题解析

例1.（2018•全国七年级课时练习）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,BD平分/ABC,Z

A=36°,则/I的度数为（）

A.36°B.60°C.72°D.108°

例2.（2018•全国七年级课时练习）如图，在AABC中，AB=AC,D为BC中点，Z

BAD=35°,则NC的度数为（）

A.35°B.45°C.55°D.60°

例3.（2018•全国七年级课时练习）等腰三角形的一个角是80°,则它的顶角的度数是

()

A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°

例4.（2019•全国七年级课时练习）已知等腰三角形的顶角是底角的4倍，则顶角的度数

为.

例5.（2018•全国七年级课时练习）如图，在AABC中，=点。为中

点，ZBAD=35°,则NC的度数为.

例6.（2019•全国七年级课时练习）在中，AB=AC,//=100°,则/5=

例7.如图，中，AB=AC,N[=36°,BD、"分别为N/a'与N4%的角平分线，且

相交于点凡则图中的等腰三角形有（）

A.6个B.7个C.8个D.9个

例8.如图，△力比1中，盼AC,BOBD,AD-DE=EB,求N4的度数.

B

例9.如图，AC=BC,DF=DB,AE=AD,求的度数.

例10.如图，△49C中，相=47,。在BC上，DELAB于E,DF1BC交47于点F,若NEDF=1Q°,

求//外的度数.

例11.如图，△/a'中，AB=AC,D在.BC上,/胡代30°,在然上取点£,使4后4〃，求/

切C的度数.

E

BD

例12.在△/笈中，已知/后4C,且过△4回某一顶点的直线可将△46。分成两个等腰三角形,

试求△/比'各内角的度数.

模块二：构造全等形

知识精讲

1.添加平行线构造全等三角形；

2.截长补短构造全等三角形；

3.倍长中线构造全等三角形.

例题解析

例1.（2020•全国八年级课时练习）如图，在AAeC中，4。=8。,4。平分的。交

BC于点、若AC+CD=AB,求NC的度数.

例2.如图，已知：在中，AB=AC,BE=CF,EF交BC千点、G,求证：EG^FG.

A

BG

例3.如图，已知4)是49C的中线，BE交〃1于点E,交4〃于点F,且A夕EF,试说明AOBF

的理由.

例4.如图，中，/斤60°,,角平分线AD,磁交于点0,试说明AE+CI>AC.

，B

>4---------F---------(7

例5.如图，在△/a'中，AB=AC,ZA=[08°,BD平■令NABC,试说明BOAB^CD.

A

例6.如图，在△力%中，AB-AC,ZJ=100°,BD平分乙ABC,试说明BOBaAD.

A

B-

例7.已知：如图，AB=A(=BE,徵为△/式1中四边上的中线，试说明■第

2

E

模块三：构造等腰三角形

知识精讲

利用等腰三角形的“三线合一”的性质构造等腰三角形

例题解析

例1.如图，△/回中，NABC、的平分线交于点P,过点/作施〃分别交8(7、AC

于点以E,求证：DE^BD^AE.

例2.如图，△叱中，NEDQ24E,以，如于点/，问：DF、AD,四间有什么样的大小关

系？

D

A

例3.如图，比'中，ZAB(=2^C,4〃是比'边上的高，延长48到点反使止初，试说明

AF^FC.

例4如图，△4?。中，AB=AC,4〃和应'两条高交于点〃，AA拄BE.试说明47=2皮Z

Z1=Z2,BELAE,试说明/小/庐2阳

随堂检测

1.如图，在中，N4册90",AOAE,BC-BF,则NEC片()

A.60°B.45°

C.30°D.不确定

E

B

2.如图，在△4％中，〃是8c边上一点/分被，AB-AOCD,求/物。的度数.

3.如图，已知在△4?，中，1〃是a'边上的中线，《是加上一点，且陷4G延长跖交/

于F,试说明A六EF.

4.如图，在△力6c中，AOBC,24吠90°,。是〃■上一点，且力£垂直放的延长线于£,又

AB=-BD,试说明8〃是/力弘的角平分线.

2

C*----------------

5.如图，在打△49C中，ZJ^lOO",D、少在〃'上，且力庐49,CB=CE.求/板的度数.

A

C

6.已知：如图在位比'中，A9是/物C的平分线，"〃〃'交于点反EFLAD,垂足是C,

且交欧的延长线于点F.试说明/0产

7.如图，△力8。中，AD1BC于D,/庐2NC,试说明4班初=徼

第14讲等腰三角形二

本节主要针对等腰三角形的综合性问题进行讲解，对于条件不足的问题，通过添加平行

线或截长补短或倍长中线等构造全等的三角形，综合性较强.

模块一：计算

知识精讲

根据等腰三角形的性质进行角度和边长的相关计算.

例题解析

例1.（2018•全国七年级课时练习）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,BD平分/ABC,Z

A=36°,则/I的度数为（）

A.36°B.60°C.72°D.108°

【答案】C

【分析】根据NA=36°,AB=AC求出/ABC的度数，根据角平分线的定义求出/ABD的度

数，根据三角形的外角的性质计算得到答案.

【详解】解:VZA=36°,AB=AC,

，/ABC=/C=72°,

平分NABC,

ZABD=36°,

.".Z1=ZA+ZABD=72°,

故选C.

例2.（2018•全国七年级课时练习）如图，在AABC中，AB=AC,D为BC中点，Z

BAD=35°,则NC的度数为（）

A.35°B.45°C.55°D.60°

【答案】C

试题分析：根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD平分NBAC,AD1BC,因此/

DAC=ZBAD=35°,ZADC=90°,从而可求得NC=55°.

故选C

考点：等腰三角形三线合一

例3.（2018•全国七年级课时练习）等腰三角形的一个角是80°,则它的顶角的度数是

（）

A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°

【答案】B

试题分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解.①80°角是顶角时，三角形的顶

角为80°,

②80°角是底角时，顶角为180°-80°X2=20°,综上所述，该等腰三角形顶角的度数

为80°或20。.

考点：等腰三角形的性质.

例4.（2019•全国七年级课时练习）已知等腰三角形的顶角是底角的4倍，则顶角的度数

为.

【答案】120。

【分析】根据等腰三角形的两底角相等，设底角的度数为*,则顶角的度数为4x,利用三

角形的内角和定理即可求得x的值，进而求得顶角的度数.

【详解】设底角的度数为x,则顶角的度数为4x,根据题意得：

户X+4A=180

解得：A=30.

当产30时，顶角=4;尸4X30°=120°.

故答案为120。.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，正确利用方程思想

是关键.

例5.（2018•全国七年级课时练习）如图，在AABC中，AB=AC,点D为BC中

点，N84£>=35°,则NC的度数为.

【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知NBAC=70°,再由三角形内角和定理和等腰三

角形两底角相等的性质即可得出结论.

【详解】解:AB=AC,D为BC中点,

AAD是NBAC的平分线，ZB=ZC,

VZBAD=35°,

.\ZBAC=2ZBAD=70°,

ZC^—（180°-70°）=55°.

2

故答案为：55°.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的

关键.

例6.（2019•全国七年级课时练习）在△川%中，AB=AC,ZA=l00°,则/8=

【答案】40

【解析】试题分析：•；AB=AC,

.\ZB=ZC,

VZA=100°,

180°-100°

ZB==40°.

2

考点：等腰三角形的性质.

例7.如图，ZX/S。中，AB=AC,ZJ=36°,BD、四分别为N/8c与N4W的角平分线，且

相交于点尸，则图中的等腰三角形有（）

A.6个B.7个C.8个D.9个

【难度】★

【答案】C

【解析】经分析可知，等腰三角形有:△ABC，△/18D，AACE,ABCE,ABDC，

八BEF,ACDF,八BCF,共8个.

【总结】考查等腰三角形定义及三角形内角和的综合运用.

例8.如图，△/勿中，AB=AC,BOBD,AAD及EB,求N力的度数.

【难度】★

【答案】ZA=45°.

【解析】・・BE=ED,:"EBD=/EDB

・・•ZAED=ZEBD+ZEDB,/.ZAED=2/EBD

AD=ED,/.ZA=ZAED=2ZEBD

・・•BD=BC,;.ZC=NCDB

vAB=AC,:.ZC=ZABC,ZC=NCDB=ZABC

・・・ZCDB=ZA+NEBD,ZCDB=3NEBD

ZC=ZABC=NCDB=3/EBD

•・•ZA+ZABC+ZC=180°

8ZEBD=180°,AZEBD=22.5°

.-.ZA=2ZEBD=45°

【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性侦的综合运用.

例9.如图，AOBC,D百DB,AB-AD,求/力的度数.

【难度】★★

【答案】ZA=36°

【解析】-：AC=BC,:.ZA=AB

•：DB=DF,:.NF=NB

ZA=ZB=ZF,/.EDA=ZB+ZF,ZEDA=2ZA

■：AD=AE,:.ZADE=ZAED

ZA+ZADE+ZAED=180°

.•.5NA=180。，.•Z=36°

【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用.

例10.如图，4ABC中，AFAC,D在BC上，DELAB于E,DF1BC交〃1于点F,若/被反70°,

求/"»的度数.

【难度】★★

【答案】Z4FD=160°.

【解析】-,AB=AC,:.ZB=ZC

DEVAB,DF上BC,NDEB=NFDC=NFDB=90。

NFDE=70°，,ZEDB=20°

ZB+NDEB+ZEDB=180°

ZB=70°,ZC=70°

ZAFD=ZC+ZFDC

.-.ZAFD=70°+90°=160°

【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用.

例11.如图，△/8C中，止AC,D在BC上,/物分30°,在47上取点6,使熊=/〃，求/

法的度数.

A

【难度】★★

【答案】ZEDC=}5°.

【解析】-AB=AC,:.ZB=ZC,-.AD=AEf,\ZADE=ZAED

­.•ZADC=ZB+ZBAD,ZAED=ZC+ZEDC

ZADC=NADE+ZEDC=ZB+/BAD

/.ZC+/EDC+/EDC=N8+Z.BAD，.二2NEDC=/BAD

vZBAD=30o,:.ZEDC=\50

【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质的综合运用，

注意观察角度间的关系.

例12.在△力固中，己知力作力乙且过△4回某一顶点的直线可将△力回分成两个等腰三角形,

试求△?1回各内角的度数.

【难度】★★★

1«n540540

【答案】45°,45°,90。或36。，36°,108。或36。，72°,72°«Jc—,—,—.

777

解：如图(1),当8D=AD=CDH寸，

vAB=AC,.・.N8=NC,

...BD=AD=DC,:.NB=ZBAD=ACAD=ZC

/.4ZB=180°,/.ZB=ZC=45°,:.ZBAC=90°；

如图(2)当BD=AD,CD=AC时，

・・・AB=AC,「.N5=NC,

•.­BD=AD,CD=AC,...NB=NBAD,ZCDA=ZDAC

・.,/CDA=/B+/BAD,:.NCDA=2/B,:"BAC=3/B

vZB+ZC+ZBAC=180°,.\5ZB=180°,

/.NB=NC=36°,NBAC=108°

如图（3）当AD=8O=8C时，

同理可得：5ZA=180°,/.ZA=36°,NA8C=NC=72。；

如图（4）当AD=BD,BC=C。时

ionocjno

同理可得74=180。，.•.NA=—,ZABC=ZC^:-,

77

【总结】考查等腰上角形的性质及三角形内角和定理及分类讨论的思想的运用.

模块二：构造全等形

知识精讲

4.添加平行线构造全等三角形；

5.截长补短构造全等三角形；

6.倍长中线构造全等三角形.

例题解析

例1.（2020•全国八年级课时练习）如图，在8c中，4。=3。,4。平分44。交

于点〃，若47+8=4?,求NC的度数.

【答案】ZC=90°

【分析】在AB上截取AE^AC,连接DE，证明AAZX?^^ADE,再证明

DE=BE，设N3=x,再得到Zft4c=N3=NEZ）5=x,证明NC=2x,然后利用

内角和定理求解即可.

【详解】解：如图，在A3上截取A£=AC，连接DE.

A0平分ZBAC,

ZEAD^ZCAD.

'：AE=AC,AD=AD.

..^ADC^ADE,

/.CD=DE,ZAED=ZC,

VAC+CD=AB,AE+BE=AB，

CD=BE<

，DE=BE，

AAB=/EDB.

'：AC=BC,

：.NBAC=NB.

设NBAC=ZB=ZEDB=x,

则ZAED=ZB+ZEDB=2x=NC.

'•,在AABC中，x+x+2x=180°.

解得x=45°,

ZC=90°.

【点睛】本题考查的是角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定

理，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键.

例2.如图，己知：在△46C中，AB=AC,BE=CF,断交8c于点G,求证：EG=FG.

【难度】★★

【解析】证明：过点E作®0//A/，交BC于点M

A

MG

则NGCF=NGME,NEMB=ZACB,

■.■AB=AC,:.ZABC=^ACB

:.ZABC=NEMB,EM=EB,BE=CF,EM=CF

:.AEMG=AFCG(AAS),EG=FG.

【总结】考查通过辅助线构造全等三角形及结合等腰三角形的性质的应用.

例3.如图，己知4。是4优的中线，BE交AC于点、E,交4。于点尸，且4斤品试说明4上班'

【难度】★★

【解析】延长A£＞至点使他）=田，联结MC

BD=CD,NBDF=ZCDM,DF=DM,

:.BDFnAC£>M(S.AS)，,MC=BF,ZM=NBFM,

EA=EF,ZEAF=ZEFA，•:ZAFE=NBFM,

ZM=ZMAC,AC=MC,BF=AC

【总结】考查通过辅助线构造全等三角形及结合等腰三角形的性质应用.

例4.如图，△［阿中，N比60°,角平分线力〃、应交于点。，试说明4研。4C.

【难度】★★

【解析】证明：在AC上取AF=AE,联结OF

易证AAEONAA尸O(S.AS),:.ZAOE=ZAOF.

,AD,CE分别平分NfiAC、ZACB,

AECA+ADAC=1(180°-ZB)=60°

则ZAOC=180°—ZEC4-ADAC=120°

:.ZAOC=ZDOE=\2Q0,

ZAOE=NCOD=Z4OE=60°

则ZCOF=60°,NCOD=NCOF,

又,；NFCO=NDCO,CO=CO

:^FOC=^DOC(A.S.A),:.DC=FC

\AC=AF+FC,:.AC=AE+CD.

【总结】考查通过辅助线构造全等三角形的性质应用，注意找寻角度间的关系.

例5.如图，在△49C中，AB=AC,N4=108°,BD平■分乙ABC,试说明船=/班C®.

【难度】★★

［解析］在BC上截取BE=BA，联结DE

•.•3。平分NABC,BE=BA,

：qABD-EBD（S.A.S）

NDEB=ZA=108°,NDEC=180°-108°=72°

•.,A8=AC,.•.女=/8=；（180。-108。）=36。,

.-.ZEDC=72°,:.CE^CD,BE+CE=AB+CD,

：.BC=AB+CD.

【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意添加合适的辅助线构造全等.

例6.如图，在△?!比1中，AB=AC,N小100°,BD平-分NABC,试说明小觎

【难度】★★

【解析】在BC上截取防=应1,联结DF,

在8C上截取联结。E

•••3。平分NABC,BF=BA

:.^ABD=AFBD(SAS),:.ZDFB=ZA=\m0,

・•.ZDFC=180°-100°=80°.

・・・A3=AC,ZA=100°ZC=ZABC=1(180°-100°)=40°,

:./DBC=20。

・；BE=BD,ND5C=20。，/.ZBED=ZBDE=80°,

/.ZDFE=ZFED,:.DF=DE

vZFED=80°,ZC=40°,/.Z£DC=40°,:.ZEDC=ZC

DE=EC,AD=EC，/.BC—AD+BD.

【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意辅助线的合理添加.

例7.已知：如图，AB-AOBE,⑺为△/比'中边上的中线，试说明。工区

2

【难度】★★★

【解析】证明：延长切到凡使D尺Q),连接BF,

L

■:CD为4ABC中4?边上的中线，J.BD-AD

•:DF-CD,ZADC=/BDF,

：.^ADC=^BDF

；・BF=AC=BE,ZABF=ZA=T8U—ZABC=NCBE,

：.ZCBF=ZABF+ZABC=180-ZABC=ZCBE,

又,/BC=BC,：.CBF/CBE,

CE=CF,

•/CD=-CF,

2

：.CD--CE.

2

【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意倍长中线辅助线的运用.

模块三：构造等腰三角形

知识精讲

利用等腰三角形的“三线合一”的性质构造等腰三角形

例题解析

例1.如图，△/玄中，NABC、/C48的平分线交于点P,过点尸作应〃幽分别交必AC

于点。、E,求证：DE=BD^AE.

【难度】★

【解析】证明：BP、AP平分ZABC.ZCAB

NCBP=ZABP,ZCAP=NBAP,

•;DE//AB,NDPB=ZPBA,NEPA=NPAB

:.NCBP=NDPB,ZCAP=ZEPA,BD=PD,PE=AE,

■：DE=DP+PE,:.DE=BD+AE

【总结】考查“平行线与角平分线得到等腰三角形”的基本模型的运用.

例2.如图，△叱中，/切42/凡以，如于点/，问：DF、AD,四间有什么样的大小关

系？

【难度】★★

【答案】DF+AD^AE

【解析】证明：在AE上取点B，使他=4),连接外

D

A

・；FA1.DE,;.FD=FB,；,NFBD=/D=2NE,

­/ZFBD=NE+ZBFE，.tNE=/BFE,

，BE=BF,，BE=DF,:.AE=AB+BE=AD+DF

【总结】考查等腰三角形的性质的应用.

例3.如图，△力比中，4ABO24C,力〃是比'边上的高，延长股到点反使废劭，试说明

A户FC.

【难度】★★

【解析】证明：・.・施：=3。，.♦.NE'=N5OE

・.•NABC=NE+NBDE=2NBDE,Z.ABC=2ZC

?.ZC=NBDE,・・・NBDE=/CDF

:.NC=NCDF,DF=FC

・・・AD为8C边上的高

/CDF+ZADF=ZADC=90°,ZC+ACAD=90°

ZCAD=ZADF,:.DF=AF,AF=FC

【总结】考查等腰三角形的性质的应用.

例4如图，△力比'中，AB-AQ和应两条高交于点4,且4屋配.试说明力年2物

A

HE

B

D

【难度】★★

【解析】•・・A。、BE为高,ZAEH=ZBEC=ZBDH=90°

・；/BHD=ZAHE,/EAH=/EBC,

•：A打BE,「.△AEH=△BEC(AS.A),/.AH=BC

vAB=AC,ADLBC,:.BC=2BD,:.AH=2BD.

【总结】考查等腰三角形的性质的应用.

例5.如图，已知N4除3NC,Z1=Z2,BELAE,试说明/华力庐2跳:

【难度】★★

【解析】证明：延长3E交AC于点M

vBE±AE,ZAEB=ZAEM=90°,

vZl=Z2,:.ZABE=ZAME,

/.AB=AMf-BE1AE,BM=2BE,

・•.AC-AB=AC-AM=CM,

・・•NAMB=NC+NMBC,ZABC=3ZC

ZABC=NABM+NMBC=ZAMB+NMBC

3ZC=Z.AMB+Z.MBC=2NMBC+ZC

..NMBC=NC,:,CM=BM

:.AC-AB=BM=2BE

【总结】考查等腰三角形的性质的应用，注意根据题目条件构造等腰三角形.

随堂检测

L如图，在中，N/4C%90°,AG-AE,BC-BF,则N成片()

A.60°B.45°

C.30°D.不确定

A

E

B

【难度】★★

【答案】B

【解析】­,-ZACB=90°,ZA+Z8=90°

•：AC=AE,NACE=NAEC,;BC=BF,NBCF=NBFC

ZAEC=NB+ZECB,ZBFC=NA+ZFCA

NFCA+NECF=NECB+ZB,NECF+NECB=NFCA+ZA

2NECF=NA+N8=90°，:.NECF=45°

故选B.

【总结】考查等腰三角形的性质的运用，注意角度间的关系.

2.如图，在中，〃是8c边上一点川土即，AB-AOCD,求/物C的度数.

【难度】★★

【答案】ZBAC=108°.

【解析】-：AD=BD,:.ZB=ZBAD,

.-AB=AC=DC,:.NB=NC,ZCDA=ZCAD

■.■ZCDA=ZB+ZBAD,Z.CDA=2ZB,/.ZCAD=2ZB

ZB+ZC+ZBAC=180°,5ZB=180°,/.ZB=36°

ZBAC=108°

【总结】考查等腰三角形的性质.

3.如图，已知在△四C中，4〃是a'边上的中线，£是/〃上一点，旦除AC,延长出■交4C

于凡试说明

【难度】★★

【解析】证明：延长AD至G,使。G=A£),