2022年河南省开封市南郊中学高三数学理联考试卷含解析

2022年河南省开封市南郊中学高三数学理联考试卷含

解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知锐角丹石满足？㈤为=tan(,4+6),则tanB的最大值为()

质播

A.2-J1B.C.2D.A

参考答案：

D

略

5

2.已知在等比数列｛a“｝中，a,+a3=10,&+%=彳，则等比数列瓜｝的公比q的值为

()

11

A.4B.2C.2D.8

参考答案：

B

考点：等比数列的性质.

专题：计算题.

分析：先设公比为q,用a,+as除以ai+a?正好等于T进而求得q.

5

解答：解：依题意，设公比为q,由于ai+a3=10,ai+a6=4,

所以q3=a/a土百...q豆,

故选B

点评：本题主要考查了等比数列的性质.属基础题.

3.已知等比数列｛a｝前n项和为S,„则下列一定成立的是()

A.若a3>0,贝la?。13VoB.若at>0,贝i]azowVO

C.若a3>0,则SZOM〉。D.右a,>0,贝！|S2o”>O

参考答案：

考点：等比数列的性质.

专题：等差数列与等比数列.

分析：对于选项A,B,D可通过q=-1的等比数列排除，对于选项C,可分公比q>0,q

<0来证明即可得答案.

解答：解：对于选项A,可列举公比q=-1的等比数列1,-1,1,-I,…，显然满足as

>0,但aa)i3=l>0,故错误；

对于选项B,可列举公比q=-1的等比数列-1,1,-1,1-,显然满足a4>0,但

32011=0,故错误；

对于选项D,可列举公比q=-1的等比数列-1,1,-1,1…，显然满足a2>0,但

52014=0,故错误；

对于选项C,因为a3=ai?q2>0,所以a,>0.

当公比q>0时，任意a.>0,故有SzoQO;当公比q<0时，q20,3<0,故1-q>0,1-

ai(1-q)

q2013>0,仍然有S233=1a>0,故C正确，

故选C.

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命

题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.

4.已知抛物线G：,「一8ax（a>0］，直线I倾斜角是45,且过抛物线G的焦点，直线Z被抛

d_W=i

物线J截得的线段长是16,双曲线C?：/的一个焦点在抛物线G的准线上，则

直线Z与尸轴的交点P到双曲线G的一条渐近线的距离是（）

A.2B.C.D.1

参考答案：

D

-5?—，=16a=16,a=1

抛物线的焦点为（2a,0〕,由弦长计算公式有wn"50,所以抛物线的标

线方程为=8x准线方程为X=-2,故双曲线的一个焦点坐标为〔一2,0）,即C=4,所

b=Vc2—a2'='V4—1=百y—+V3at._

以，渐近线方程为，直线।方程为V=*一&所

旦=1

以点21点p到双曲线的一条渐近线的距离为Ml，选以

点睛：本题主要考查了抛物线与双曲线的简单几何性质，属于中档题.先由直线过抛物线

的焦点，求出弦长，由弦长求出。的值,根据双曲线中4瓦c的关系求出b,渐近线方程等，由

点到直线距离公式求出点P到双曲线的一条渐近线的距离.

5.已知函数/（x）=（x-a）（x-b）（其中。>6）的图象如右图所示，

则函数=的图象是（)

参考答案:

A

6.已知双曲线4-b"b2(0<b<2)与x轴交于A、B两点，点C(O,b),则aABC面积

的最大值为()

(A)1(B)2(C)4(D)8

参考答案：

B

由题意4A两点为(士■。，因此

__________y叽2

=<廿2,当且仅当b'=4一廿，即&=J5时等

号成立.故最大值为2,选B.

7.当n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为

开蛤

A、30B、14C、8D、6

参考答案：

B

当k=l时，1<3,是，进入循环S=2,k=,2时，2<3,是，进入循环S=6,k=3时

3W3,是，进入循环S=14,左=4时，4$3,否，所以退出循环，所以S=14.

8.下列函数中，在区间(°,+8)上为增函数的是().

A.y=ln(x+2)B.y=~yfx+ic>一(引

1

y=x+-

D.x

参考答案:

A

略

-y----r=1(<1>O.ft>0)

9.已知双曲线ab,过其左焦点尸作x轴的垂线，交双曲线于4,B两

点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是()

B.(1,2)C.12)D.(2,+8)

参考答案:

B

b2

2222

a+c>—•••a+ac>c-a,e-e-2<0vc>1<e<2

由题意得a选B.

10.复数z满足41*20=3+i,则z=()

1.1.

—I--frl

A.B.l+lC.5D.5

参考答案：

A

3+i(3+i)(l-2i)5-51

,z(l+2i)------——----——-l-i

由z(l-2】)3-1,贝l+2i(l+2i)(l21)5,故选A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

%)=11。&(8-加4。

II.定义在&上的函数/(X)满足1/。一1)一/。一2),”>(),则

/6)等于

参考答案：

-3

/(x)=tx+--4(teR)A/Og-)=

12.已知八"xL/OzngZWO,j/Pz

参考答案：

-8

13.极坐标系是以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴.已知直线L的参数方程

x=t

<

为：（t为参数），圆C的极坐标方程为：夕=2cosd,若直线L经过圆C的

圆心，则常数a的值为。

参考答案：

略

14.一个五面体的三视图如图所示，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯

形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为.

参考答案：

2

【考点】由三视图求面积、体积.

【专题】计算题.

【分析】由己知判断出该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的四棱锥，根据底面上底

为1,下底为2,高为2,计算出底面积，然后代入棱锥的体积公式，即可得到答案.

【解答】解：由三视图可得，这是一个四棱锥

底面是一个上下底分别为1和2,高为2的直角梯形，棱锥高为2

11

故V=1x万义（1+2）X2X2=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断几何体的形状及相关

棱长的长度是解答的关键.

15.在（1+x）（2+x）s的展开式中，X：'的系数为（用数字作答）.

参考答案：

120

【考点】二项式系数的性质.

【分析】根据(2+x)s的展开式的通项公式，计算在(1+x)(2+x)s的展开式中含X，的

项是什么，从而求出犬的系数.

【解答】解：(2+x)$的展开式的通项是

T一广k力5-kk

，+1乜54x,

所以在(1+x)(2+x)J(2+x)5+x(2+x)'的展开式中，

含丁的项为C52-X2x-120x,

所以《的系数为120.

故答案为：120.

16.一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%,则n年后这批设备

的价值为.

参考答案：

a(1-b%)"

【考点】数列的应用.

【专题】计算题；应用题.

【分析】根据题意可知第一年后，第二年后等等每年的价值成等比数列，进而根据等比数

列的通项公式求得答案.

【解答】解：依题意可知第一年后的价值为a(1-b%),第二年价值为a(1-b%)2,依

此类推可知每年的价值成等比数列，首项a(1-b%)公比为1-b%,进而可知n年后这批

设备的价值为a(1-b%)”故答案为a(1-b%)"

【点评】本题主要考查了数列的应用.解题的关键是利用已知条件求得数列的通项公式.

与黑(b€R,i为虚数单位)

17.若复数1+21的实部和虚部互为相反数，则6=—.

参考答案：

_2

【考点】复数代数形式的乘除运算.

【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数.

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部和虚部互为相反数求得b值.

2-bi(2-bi)(2-2b)-(b+4)i

【解答】解：l+2i-(l+2i)(l-2i)5,

由题意可得：2-2b=b+4,

__2

解得：b=3.

__2

故答案为：3.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是

基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.如图，在多面体A2C3EF中，底面ABC3是边长为2的菱形，ZBAD=60°,四边形

BDE尸是矩形，平面BOEF_L平面ABC£>,DE=2,M为线段B尸上一点，且。M_L平面

ACE.

(1)求的长；

(2)求二面角A-DM-B的余弦值的大小.

参考答案:

(1)1；(2)4.

【分析】

(1)根据DM,平面ACE,找出线线垂直，在平面四边形皮生。中根据垂直关系求得线

段长度；

(2)由题可知直线zc垂直于平面a/)",故可过zc与ao中点作/w垂线，找到二

面角的平面角，从而在三角形中求解角度的大小即可.

【详解】(1)记置与R/J的交点为。，连接os,如下图所示：

因为ZJMJ_平面ZEC,QEu平面Z&C,

故

又因为ZW〃口，可以确定一个平面，故卷均在平面属初中;

因为四边形ZBCD是菱形，且故可得JM)=ZA=2；

故在矩形刖初中：

因为与故可得NOMB=NEQD,

又因为ZMM=ZEDO,HD-DE-2,

…八UM=DO=-BD=\

故可得三AfllO,故可得2

即也“二】.

(2)记尼。与O"的交点为"，连接皿，如下图所示：

因为四边形Z8CD为菱形，故可得ZCLBD,

又因为平面BZ）EF_L平面ABCD,且平面^。底/口平面ABCD=BD

且NCu平面d5CD,AClJfD,

故可得ZO_L平面DMA：

由（1）可知的_LQ”,故NO曲即为二面角A-OM-8的平面角;

=—=1mZMDB二苴

在ADMT中，容易知8。2,故5

““加且=竺="OH=&

在ADHO中,又5OD\,解得5

加=与的=6

在菱形中,容易知2

▲.OH=—cAH=----

故在AB/人仅JZWW中，因为5,AO->J3,故由勾股定理可得5,

cosZOHA=—

故AH4.

二面角A-DM-B的余弦值的大小为4.

【点睛】本题考查由线面垂直求解线段的长度，以及二面角大小的求解，属综合性中档题.

19.（本题满分15分）设"鸟是椭圆C：户+户"的左、右焦点,

A、B分别为其左顶点和上顶点，耳乃是面积为6的正三角形

（I）求椭圆C的方程;

（H）过右焦点外的直线？交椭圆c于W两点，直线期、的分别与已知直线

x=4交于点F和Q,试探究以线段尸0为直径的圆与直线？的位置关系.

参考答案：

（）是面积为的正三角形

»I---△BFXF273

旦

分

4

石2

则

Xa分

2，

椭圆C的鹿为£+£=1...............。分

43

（II）根据题意可知，苜装/斜率不为0

设直线/方程为：x=my+lAf（xjyxhA^x2,j2）

由卜x+4j'=1-得：（3小少2+6p_g=。

（x=mv+1

I-6m

IJl+J2=-一~；

又设点R4/P）.g（4,y0）v同理,

6几

p,+3..10

分

(4八%》

线段PQ的中点D，2'即6-3E),

2

则D到直线？的距离为d=Wm+l.12分

95f）

以PQ为直径的圆的半径（码+3）（研+3）

9j3[+也产一4,必

*n2/i/a+3m（n+/2）+9

14分

因为d-r,所以，以&为直径的圆与直线？相切。.....................15分

略

20.已知函数f(x)=*x+1|+|x-31-in的定义域为R.

(I)求实数m的取值范围.

2____

(II)若m的最大值为n,当正数a、b满足3a+b+a+2b=n时，求7a+4b的最小值.

参考答案：

考点：基本不等式；函数的定义域及其求法.

专题：不等式的解法及应用.

分析：(1)由函数定义域为R,可得|x+l+|x-3|-m》0恒成立，设函数g(x)

=|x+l|+|x-3|,利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可;

-(6a+2b+a+2b)(—^—4——)

(2)由(1)知n=4,变形7a+4b=43a+ba+2b,利用基本不等式

的性质即可得出.

解答：解：(1)•••函数定义域为R,

/.Ix+1+|x-31-m20恒成立，

设函数g(x)=|x+l+|x-3,则m不大于函数g(x)的最小值，

又|x+l+|x-32|(x+1)-(x-3)|=4,即g(x)的最小值为4,.•.mW4.

(2)由(1)知n=4,

士(6a+2b+a+2b)(1(2(3a+b)2(a+2b))

A7a+4b=4a+2b3a+b

*2X2^^)4

3

当且仅当a+2b=3a+b,即b=2a=10时取等号.

9

...7a+4b的最小值为W

点评：本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1

法”，考查了推理能力与计