幂函数高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第6章幂函数指数函数和对数函数6.1幂函数试考察下列问题：(1)正方体的边长为x，体积为y，则y＝x3.(2)若某放射性物质每经过1年,其剩留量是原来的x倍，则质量为1的这种物质经过100年后，其剩留量应为C＝x100.

(3)如果某人驾车在ts内行进了1km，那么该车的平均速度为v＝t－1km/s.●函数y＝x3，C＝x100，v＝t－1具有什么共同特征?这些函数的表达式是一个指数幂的形式，底数是自变量，指数是常数，这样的函数称为幂函数.一、幂函数的概念一般地，我们把形如__________的函数称为幂函数，其中______是自变量，________是常数.y＝xαxα下面我们结合第5章讨论的函数的基本内容，如函数的定义域值域、图象、单调性、奇偶性等，来认识一些幂函数的性质.二、常见幂函数的图象与性质解析式y＝xy＝x2y＝x3y＝x

图象

定义域RRR______________值域R_______R______________奇偶性___函数___函数___函数___函数_______函数

{x|x≠0}[0，+∞)[0，+∞){y|y≠0}[0，+∞)奇偶奇奇非奇非偶解析式y＝xy＝x2y＝x3y＝x

增区间____________无________减区间无________无________________无定点______

R[0，+∞)R[0，+∞)(－∞，0)(－∞，0)，(0，+∞)(1，1)(1)本质：幂函数的图象是函数的图形表示，幂函数的性质是根据函数图象总结得到的.(2)应用：①求定义域；②求值域；③比较大小；④求单调区间.【思考】在区间(0，＋∞)上，幂函数有怎样的单调性?提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当α＞0时，y＝xα

是增函数；当α＜0时，y＝xα是减函数.例1写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：解：函数y＝x3的定义城是R.因为对任意的x∈R，－x∈R，

且都有(－x)3＝(－1)3x3＝－x3，

所以由奇函数的定义知，函数y＝x3是奇函数.(1)y＝x3；(2)y＝x；

(3)y＝x－2.

思考函数y＝x3，y＝x，y＝x－2的单调性如何?

在同一坐标系内画出幂函数y＝x2，y＝x3，y＝x的图象，如图6-1-1所示

观察图象，可以发现这3个函数有如下共同特性：(1)函数的图象都过点(0，0)和(1，1)；(2)在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是增函数.一般地，对于函数y＝xα，当α＞0时，也具有上述两条性质.例2试比较下列各组数的大小：(1)1.13，0.893；解：因为函数y＝x3在区间[0，＋∞)上是增函数，

又1.1＞0.89，所以1.13＞0.893.(2)2.1，2，1.8；

解：因为函数y＝x

在区间[0，＋∞)上是增函数，

又2.1＞2＞1.8，所以2.1＞2＞1.8.

在同一坐标系内画出幂函数y＝x－1，y＝x－3，y＝x的图象，如图6-1-2所示.

观察图象，可以发现，这3个函数有如下共同特性：(1)函数的图象都过点(1，1)；(2)在第一象限内，函数的图象随的增大而下降函数在区间(0，＋∞)上是减函数.一般地，对于函数y＝xα，当α＜0时，也具有上述两条性质.1.辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”)(1)幂函数的图象必过点(0，0)和(1，1). (

)(2)幂函数的图象都不过第二、四象限. (

)(3)y＝x

与y＝x

定义域相同. (

)

【基础小测】✘✘✘

C解析：只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式.解析

D解析：由于f(x)为幂函数，所以m2－3＝1，m＝±2，

当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上为减函数，

不符合题意，

当m＝－2时，f(x)＝x2

在(0，＋∞)上为增函数，

符合题意.解析【跟踪训练】

B

解析

C解析

3.判断大小：2.3________2.4.(填“＞”或“＜”)

＜解析解析：因为y＝x

为[0，+∞)上的增函数，

且2.3＜2.4，所以2.3＜2.4.

4.已知幂函数f(x)＝xm2＋m＋1(m∈N*)的图象经过点(2，8).(1)试确定m的值；

(2)求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围.解由题得2m2＋m＋1＝8⇒m＝1或m＝－2(舍).

信息技术GeoGebra(简称GGB)是一款用于大中小学数学教与学的免费开源软件，主界面包括代数区、绘图区、3D绘图区、表格区等.代数区除了可以进行数值计算，还可以进行符号运算(如因式分解、求方程的根等)；绘图区可以作出各种平面几何图形或函数的图象；3D绘图区能够作出空间三维图形；表格区具有类似Excel的功能，可以像Excel那样进行操作.用GGB作函数y＝xa

的图象，可以直接在“输入”框中键入“y＝x^a”后，确认“创建滑动条：a”.拖动滑动条就能直观地观察函数y＝xa的图象变化情况(图6-1-3).练习1.分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：(1)y＝x4；解令f(x)＝x4，它的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，所以函数y＝x4为偶函数；

(2)y＝x；

(3)y＝x－3；

(4)y＝x.

3.画出函数y＝x

的图象，并指出其单调区间.

解：函数图象如图，单调递增区间为(－∞，＋∞).4.试比较下列各组数中两个数的大小：(1)2.2，2.3；

解：由幂函数的性质，y＝xa(x＞1，0＜a＜1)单调递增，

故2.2＜2.3.

(3)1.2，1.3；

解：由幂函数的性质，y＝xa(x＞1，a＜0)单调递减，

故1.2＜1.3.

(4)0.25，0.35.解：由幂函数的性质，y＝xa(0＜x＜1，a＞0)单调递增，

故(0.2)5＜(0.3)5.习题6.1感受·理解1.分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：(1)y＝x5；解令f(x)＝x5，则f(x)的定义域为R，

且f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数；(2)y＝x；

(3)y＝x；

(4)y＝x.

2.比较下列各组数中两个数的大小：(1)5.23，5.24；

解∵y＝x

在[0，＋∞)内是增函数，5.23＜5.24，∴5.23＜5.24.

(2)0.26－1，0.27－1；解∵y＝x－1在[0，＋∞)内是减函数，0.26＜0.27，∴0.26－1＜0.27－1.(3)1.4，1.7；

解∵y＝x

在[0，＋∞)内是减函数，1.4＜1.7，∴1.4＞1.7.

(4)(－0.72)3，(－0.75)3.解∵y＝x3在R内是增函数，

－0.72＞－0.75，∴(－0.72)3＞(－0.75)3.3.画出函数y＝x

的图象，并指出其奇偶性、单调性.

解

函数图象如图.函数是偶函数，在[0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0]上为减函数.4.在同一坐标系内画出下列函数的图象，并加以比较：(1)y＝x，y＝x；

解

y＝x

在定义区间[0，＋∞)上是增函数，

y＝x在定义区间(－∞，＋∞)上是增函数和奇函数，

它们图象都过点(1，1)，在区间(0，1)上，y＝x的图象在y＝x

的图象上方；

在区间(1，＋∞)上，y＝x

的图象在y＝x

的图象下方；

(2)y＝x－1，y＝x－2.解

y＝x－1

在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，且图象过点(1，1)，函数的图象在第一象限和第三象限，函数是奇函数；y＝x－2在区间(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，图象过点(1，1)，且图象在第一象限和第二象限函数是偶函数；在区间(0，1)上，y＝x－2

的图象在y＝x－1的图