2023年高考数学第39讲 怎样用向量法求空间的角和空间的距离

第39讲怎样用向量法求空间的角和空间的距离

一、知识概要

1线段定比分点公式

在空间直角坐标系中，线段片鸟的端点坐标为片（毛,加4）,£（芍,必，22），点0（工，％2）分片6

所成的比为2，则x=,y=M+4%z=4+乜（）+-1），特别地，当a=1,即点P是

线段［鸟的中点时，x=五三，y=江区,z=兔土幺.

222

2三角形的重心

ABC三顶点坐标依次为4（内,如4）,3（工2，丁2,22），。（多，％，23）,则其重心6的坐标为

（%+々+工31+%+%Z1+Z2+Z31

I393?3J,

3空间向量求空间角、空间距离公式的归纳

ABCD

⑴求异面直线A8与CQ的夹角e-cos8=——n——.（2）求直线,与平而。所成角

AB^CD

PM-n\

^.|sin^|=（其中〃为平面a的法向量,M为/与a的交点,P为/上不同于M的任一

点）.

（3）求二面角夕|cos4="4（%,为分别为两个平面的法向量）.

\PM-n\

（4）求点P到平面a的距离=其中为为平面a的法向量,M为a内任意一点）.

（5）求点A到直线I的距离d.d=（其中B是/上任意一点,d是直线/的

方向向量）.

(6)求异面直线a,b的距离d.d=1处寻(其中A是直线a上任意一点,B是直线b上任

意一点,CD是异面直线a与b的公垂线段,“//CD且〃J_a,〃_L6.

二、题型精析

删1如图3-146所示，在四棱雉P—A8CZ)中，尸£＞!■平面与平面A3E＞所成的角为

60，在四边形A3C£＞中,/AOC=/0AB=90,AB=4,CO=1,AO=2.求异面直线R4与

8c形成的角的余弦值.

图3-146

【策略点击】

利用空间向量求两条异面直线所成的角通常有两种方法：①纯向量法；②向量坐标法。这两种

方法都需要运用两向量的夹角公式，两直线方向向量的夹角为锐角时，该角即为两条异面直线

所成的角，两直线方向向量的夹角为钝角时，其补角为两条异面直线所成的角，若异面直线a,6

的方向向量依次为4，乩,为方便可直接利用公式©0$。=卜0$4,4|=七4求之.

1邛帼

【解法一】

(纯向量法)：PA=DA—DP,BC=BA+AD+DC^-4DC+AD+DC=AD-3DC,

:.PABC=(DA-DP^AD-3Z)C)=-DA2=-22=-4,

又\PA=4,|fiC|=722+32=V13,

PABC_-4

/.cos<PA,BC>=

|PA||BC|-4V1313

PA与BC所成的角的余弦值为巫

【解法二】

(向量坐标法)建立如图3—147所示空间直角坐标系.

NADC=NDAB=90,AB=4,CD=1,AD=2,:.A(2,0,0),C(0,l,0),B(2,4,0).

由尸£>_L平面ABC。,得N7VLD为a与平面AB-CO所成的角,.•.NPA£>=6().

在Rt„A40中，由AD=2,得PD=2GP((),0,2石).

PA=(2,0,-2x/3),BC=(-2,-3,0)

_2x(-2)+0x(-3)+卜26卜0岳

..cos^/^4,BC>=----------------------------=------.

4V1313

，E4与BC所成的角的余弦值为巫.

13

［例2］如图3-148所示，已知三棱柱ABC-AMG的侧棱与底面垂直，

AAi=AB=AC=\,ABlAC.M是CQ的中点，N是BC的中点，点尸在人片上,且满足

⑴证明:PN_L4W.

(2)当A取何值时，直线PN与平面ABC所成的角6最大?并求该角最大值的正切值.

(3)若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45，试确定点P的位置.

图3-148

【策略点击】

对于第⑴问，以A8,AC,A4,分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-孙z,求出各点的坐标及

对应向量的坐标,易判断PNAM=O，即PN1AM;对于第(2)问，可设出平面A6C的一个法向

量,这样易表达出sin夕然后利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系,求出满足条件

的2值,进而求出此时3的正切值;对于第(3)问，平面PMN与平面ABC所成的二面角为45，则

平面PMN与平面ABC法向量的夹角为45，代入向量夹角公式，可以构造一个关于力的方程，解

方程即可求出对应的4值，进而确定出满足条件的.点尸的位置.

本例是以立体几何、空间向量为载体的探究性问题,涉及线线垂直的证明，求动态下线面角的最大

值,由已知二面角确定点的位置，属于组合探究型、结论探究型、条件探究型及信息迁移型问题,

关联的知识多，解题技巧强，能够很好地训练学生应用能力和创新能力，提升数学核心素养。

【解】

⑴证明:如图3—149所示，以AB,AC,⑨分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系4—取z，则

O」,,），从而PN—11j,AM=fO,l,~j-

222

x

y

003-149

PNAM=(；-4)xO+；xl-lx；=(V.PN1AM

⑵显然平面ABC的一个法向量为«=(0,0,1)则

TT

于是问题转化为二次函数求最值，而0,-.>

2

当。最大时,sin。最大，即tan。最大(。=工除外)，由(1)式知,

2

当4=g时，(sin6)max=^^，(tane)max=2•

(3)已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为45，即可得到平面ABC的一个法向量为

力=丽=(0,0,1).

设平面PMN的一个法向量为m=(x,y,z),由⑴知MP二九一1，5.

%+z=02/1+1

2V=-------X

4r2-3

m-NP=0,

由，得《,解得4

m-MP=0,

z_2(i)

Ax-y+—z=04—A

3

令工=3,得加=(3,24+1,2(1—%)).

m-n|2。-刈V21

于是由cos</n,n>\=:旨=/二一,解得力=—上.

|制川j9+(2/l+l)2+4(l—几了22

故点P在qA的延长线上，且AF\=~.

【例3】

如图3-150所示，四边形ABCD是直角梯形，NABC=90,SA1.平面

ABCD,SA=AB=BC=1,AD=-.

(1)求线段SC的长；

(2)求AB与SC所成的角；

(3)求平面SCD与平面SAB所成二面角的大小；

(4)求AB与SC的距离；

(5)求3点到平面SDC的距离；

(6)若E为SC上一点，当E处于什么位置时,DEH平面SAB?

93-150

【策略点击】

本题涉及求线段长、异面直线所成角、二面角、异面直线间的距离、点面距离以及探索E在什

么位置时线面平行(即线面角为零)，可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求解。

【解】

⑴如图3-151所示，以AZ),A3,AS为x,y,z轴，以A3为单位长度,建立空间直角坐标系，则有

A(0,0,0),明,0,0),C(l,1,0),5(0,1,0),5(0,0,1),

2

图3-151

；,O,O),SC=(l,l,—l),AB=(O/,O)

AD=

|SC『=SC=(SA+AB+BC)2

222

=SA+AB+BC+2SA-AB+2SA-BC+2AB-BC=|SA|2+|AB|2+|SC|23.

.-.|sc|=73.

ABSC1s/3

⑵AB=(0,1,0),SC=(l,l,-l),cos<AB,SC>=

网冈1x733

/.AB和SC所成角为arccos——工

3

g,0,0)是平面s钻的法向量.

(3)有AD=

设平面SCD的法向量为〃，并设〃=(%,y,z).

1

X+y0

由oc=1；,i,o)so=(g1,o,-i)得.n-DC=0,2

2n•SD—

0,—x—z=0.

2

ADn=逅，从而a=arccos逅

cosa=i----；—

AD\\n33

⑷设与AB和SC均垂直的法向量为n，并设n=(x,y,z),

由AB=(O,l,O),SC=(l,l,—l)得

n-AB=0,[y=0,_./、

<即arl4"八令Ax=1,测y=z=0,(I,

n-SC=0,[x-z=Q,

在A3和SC上各取一点，如A和S,则向量AS=(0,0,1)在”方向上的投影的长度即为所求，所

JASn1V2

以d=---|〃-|--=--1-x--7-2=—2-

(5)由⑶知平面SCD的法向量为n=1,,在平面SDC上取一点，如C,则向量BC在法

22)

向量八上的投影长度即为所求.

BCn1V6

(1,0,0),."=

\n\j

(6)设E点分SC所成的比为人则

BCn3=Y5.(6)设E点分SC所成的比为A，则

比=(1,0,0),."=

同j

0+1x42

T+7,

0+1x4

%—,若DE//平面S48,则

1+A1+A

0+1x42

Ze1+2-1+2

A_J_21

DE=mAS+nAB.^=(0,0,m)+(0,n,0)

1+22'l+4'l+4

21

0,

1+A2Z=1

2

?HP*zn=—

1+A2

11

-----=m.n=­

1+A2

，当上为SC中点时，DE//：平面5AB.

方法提炼

1向量法解题

由于向量有几何法和坐标法两种表示，它的运算也因为这两种不同的表示而有两种方向.因此用

向量法解题，理论上讲总有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法.

在具体解题时，要善于从不同的角度考虑问题.

(1)在运用向量法求空间的角和空间的距离时必定会涉及平行问题和垂直问题(特别是线线垂直),

共面问题的证明，线段的长度即向量模的计算.

(2)求异面直线所成的角.可直接运用向量的数量积公式，但注意线线角不超过三，而两向量的夹角

2

是

⑶求线面角.先找出角，而要找出角，得先找出斜线在平面内的射影，再借助于三角形求线线角(即

斜线与其射影所成角),当直线/垂直于平面。时,其在平面内的射影为一个点即垂足，此时所成角

为上,

2

(4)求二面角，先找平面角，转化为求线线角,若用向量法解，则可通过两个半平面的法向量的夹角,

再求夹角的补角.

(5)用向量方法求点面距离.可找出点在平面内的射影的坐标，转化为两点间的距离或求向量的模,

也可找出平面的一个单位法向量,通过向量在单位法向量上的射影的绝对值来求.

当然，用向量方法解题，特别要注意几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系,尽量使运算简

单化.

2用空间向量求空间角的解题思路

(1)异面直线所成角.利用直线的方向向量转化成向量所成的角.

(2)线面角的求解策略.

1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补

角）；

2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜

线和平面所成的角.特别提醒:斜线与平面所成的角是指这条斜线与它在平面内的射影所成的锐

角.

（3）二面角的求解策略.

1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的

大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；

2）分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的

大小就是二面角的大小.

3向量法求空间角的解题程序

第一步:识图.

分析几何体，找到确定几何体底面和高的条件，根据所学知识，厘清图形中的数量关系.

第二步:建系设点.

寻找题目中有三条直线两两垂直的特征，建立空间直角坐标系,从而确定点的坐标.

第三步:求向量坐标.

用终点坐标减去起点坐标写出所需要的向量坐标.

第四步:计算或证明.

利用证明两个非零向量垂直的充要条件和向量夹角的余弦公式进行计算和证明.

4向量法求空间距离的解题程序

向量法求空间距离的解题程序可参照向量法求空间角的解题程序，但思路相对简单，解法固定.

5球面距离

关于球面距离的计算自有一套立体几何的求解方法，通常不用向量法，但作为空间距离的一种，归

纳在一起,供读者参考.

三、易错警示

【例】

如图3—152所示，四棱锥S-ABCD中.底面ABCD为矩形，Ml底面

ABCD,AD=6,DC=SD=2,袅M

在侧棱SC上,ZABM=60.

(1)证明:M是侧棱SC的中点;

(2)求二面角S-A〃一8的大小.

图3T52

错解一：对条件=6()量化时写成cos<AB,BM>=”吗甚至写成

|AB||BM|2

……AMBM1

cos<AM,BM>=।---n-----1=—

|AM||BM|2

错解二:在用空间向量解块立体几何问题时，点的坐标、平面的法向量、两向量的夹角等运算出现

大量错误.

【评析及正解】

在应用向量数量积公式时忽视“两向皇共起点”这一基本要求且基本运算不过关.

正确的解法如下：

解:分别以DA,DC,DS为x,y,z轴，如图3-153所示建立空间直角坐标系D-xyz，则

/1(V2,0,0),B(A/2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2).

图3-153

⑴设何（0,a,/?）（a>0力>0）.则BA=（0,—2,0）,=（-0,a-2,b）,SM

=（0,。为一2）,5。=（0,2,-2）,由题意得

-2(<i-2)_1

cos<BA,BM>=-22

2,即(2xy/(a-2)+b+22

SM/SC-2a=2(/?-2)

解之得a=1,6=1,即"(0,1,1).

.•.M是侧棱SC的中点.

⑵由⑴得股(0』,1),^4=(夜,—1,—1卜又45=(—&,0,2),43=(0,2,0),

则"A=。，且n2-MA=0

,

ii2-AB=0

即/&%-弘-4=0,"及々-%-2=0

即1L且1，

[一岳1+24=0,〔2%=0

分别令下=x2=y/2，得y=1,>2=o,Z]=1,z?=2，即勺=(0,1,1)，叼=(0,0,2).

2+0+2瓜

/.cos/i,tiy=-------f=r-——.

2xV63

二面角S-AM—3的大小为乃一arccos^^

3

四、难题攻略

例如图3-154所示，在四棱柱ABCO-AfiGA中.底面是边长为1的菱形，侧棱长为2,且侧棱垂

直于底面.

⑴耳。与4。能否垂直?请证明你的结论；

jr7T

（2）当/A/C在上变化时，求异面直线AG与AB1所成角的取值范围.

【破难析疑】本题若从立体几何方法入手，则需要作出异面直线线。与a。,44与AG所成的

角认及相应的计算,有点难以把握.如果建立空间直角坐标系，用向量坐标表示，则可完全程序化,

从而简化了思维过程、降低了难度.当然，建立恰当的直角坐标系，尽量利用己知条件中线线垂直、

线面垂直关系，有利于各点坐标的表示，这一点非常重要.本题中由于上、下底面菱形是不完全确

定的图形,若引进/AgG=2。为参变量，则所要解决的空间图形问题可以转化为三角函数问

题,采用换元法后，又转化为一般的代数函数问题，可运用函数的性质，特别是函数在区间上的单调

性求解，本题把几何代数融为一体，颇能检验解题者的“功力”.

解：以片为原点，建立空间直角坐标系4一孙z,如图3—155所