2023届福建省仙游高三考前热身数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数/（x）=2cos?x+（sinx+cosx）2-2的一个单调递增区间是（）

579乃

4'48'88'8T'T

2.已知A3C中,AB=2,BC=3,ZABC=60°,BD=2DC,AE=EC,贝！IADBE：（

DC

3.已知双曲线C：3-斗=l（a>0力>0）的左，右焦点分别为6,K，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的

点，直线P。，2外分别交双曲线C的左，右支于另一点若归耳|=3归周，且NM6N=6（）,则双曲线的离

心率为（）

/7T1/71

4.已知函数/（x）=Asin|5+7一a（0<a<A）在区间0,—有三个零点再，x2,x3,且王〈々〈与，若

\67|_3切_

%+2%+W=学，则“X）的最小正周期为（）

712兀47

A.-B.-C.万D.----

233

21

5.如图，在AA5C中，AN=—NC,P是BN上一点,若AP=，A3+—AC,则实数，的值为（）

33

N

2213

D.

3564

6.设复数z满足z-（l+i）=2i+l（i为虚数单位），则复数z的共轨复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2x+y>4

7.设x,满足-1,则2=犬+丫的取值范围是（）

x-2y<2

A.[-5,3]B.[2,3]C.[2,4W)D.(-oo,3]

关于函数/(x)=_sin[xj在区间g,%的单调性,

8.下列叙述正确的是（)

12/

A.单调递增B.单调递减C.先递减后递增D.先递增后递减

9.函数/（x）=[x-一卜nx（TTVXK万且xwO）的图象是（）

10.如图所示，为了测量A、8两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C的北偏西45。的方向上，8

在C的北偏东15。的方向上，现在船往东开2百海里到达E处，此时测得3在E的北偏西30。的方向上，再开回。处,

由C向西开2几百海里到达。处，测得A在。的北偏东22.5。的方向上，则A、3两座岛屿间的距离为（）

A

A.3B.372C.4D.472

11.已知三棱锥P—ABC中，AABC是等边三角形，45=46,~4=/>。=2逐,巳4_15。，则三棱锥。一48。的

外接球的表面积为()

A.254B.757rC.80乃D.100万

12.已知集合A={x|x>—1},集合8={X|X(X+2)<。}，那么AB等于()

A.{x|x>-2}B.{x|-l<x<0}C.{x|x>-l}D.{x|-l<x<2}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

V-2V2

13.已知双曲线C:^—#=1(。乃>0)的左右焦点为片，尸2,过工作x轴的垂线与C相交于A3两点，与),轴

相交于。.若则双曲线C的离心率为.

14.已知数列{4}满足：％=1,%M=：a；+〃?(〃eN*),若对任意的正整数〃均有4<4,则实数”的最大值是

8

15.已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为9万和15乃，则该圆锥的体积为

16.如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1,若向量a、力、c满足(2。+活)・c=(),则实数，的值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1

17.(12分)已知函数/(x)=5〃9r-(a+l)x+lnx,a£R.

(1)当a=0时，求曲线/(x)在点(2,7(2))的切线方程；

(2)讨论函数/(x)的单调性.

18.(12分)已知正实数a,匕满足a+b=4.

14

(1)求一+：的最小值.

ab

、225

(2)证明:1丫

a+—T

aJ7

19.(12分)某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据

(1)根据频率分布直方图，求这8()个零件尺寸的中位数(结果精确到0.01)；

⑵若从这80个零件中尺寸位于［62.5,64.5)之外的零件中随机抽取4个，设X表示尺寸在［64.5,65］上的零件个数,

求X的分布列及数学期望£X；

(3)已知尺寸在［63.0,64.5)上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率.现对生产

线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个.企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已

知每个零件的检验费用为99元.若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中,

企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用.现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验

费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.

20.(12分)已知数列｛%｝为公差为d的等差数列，d>Q,4=4,且％,4，%依次成等比数列，2=2"".

(1)求数列也｝的前〃项和S.；

2b,、

(2)若%=—~,求数列｛%｝的前〃项和为T„.

,»+】

x-2cosc

21.(12分)选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系双？中，曲线G：\°为参数)，在以平

y=2sintz

面直角坐标系的原点为极点、x轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系X。)'取相同单位长度的极坐标系中，曲线。2：

psin(0--)=1.

(1)求曲线G的普通方程以及曲线G的平面直角坐标方程；

(2)若曲线G上恰好存在三个不同的点到曲线G的距离相等，求这三个点的极坐标.

1,

22.(10分)已知/(x)=x-5(lnx)——左lnx-1(ZeR).

(1)若/*)是(0,+8)上的增函数，求人的取值范围；

(2)若函数/(x)有两个极值点，判断函数零点的个数.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简/(x)表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求

得了(x)的单调区间，由此确定正确选项.

【详解】

因为f(x)=2cos2x+(sinx+cosx)2-2

=l+cos2x+l+sin2x-2=A/2sin|2x+—由f(x)单调递增，则2%左一工42x+工42%r+工(左eZ),解得

k4J242

37rIT

k7t-^-<x<k7t+^(左eZ),当左=1时，D选项正确.C选项是递减区间，A,B选项中有部分增区间部分减区间.

OO

故选：D

【点睛】

本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合

思想，应用意识.

2.C

【解析】

以区4,3。为基底，将AD,BE用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.

【详解】

22

BD=2DC,BD=-BC,AD=BD-BA=-BC-BA,

AE=EC,:.BE=-BC+-BA,

ADBE=(^BC-BA)(-BC+-BA)

322

111.0

=.BC——BCBA——BA

362

=1,——1x2cx3°x—1=—1.

622

故选:C.

【点睛】

本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.

3.D

【解析】

本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可.

【详解】

结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO,而月。="。，结合四边形对角线平分，可得四边形P耳M与为

平行四边形，结合NMKN=6()°,故行=60°

22

对三角形片加工运用余弦定理，得到，F.M+F2M-F,F^2-MF,MF2-C^AF}MF2

而结合忸耳|=3|尸闾,可得|M制=a,|g|=3a,%=2c,代入上式子中，得到

片+9/一4c2=3/,结合离心率满足e=£,即可得出e=£=也，故选D.

aa2

【点睛】

本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难.

【解析】

^7'TV57乂

根据题意，知当x=—时，a)x+—=—,由对称轴的性质可知％+工2=—和工2+工3=——，即可求出卬，即可求

369623693a)

出“X)的最小正周期.

【详解】

解：由于/(x)=本m(0%+3]-“(0<4<4)在区间0,三有三个零点X1,x2,x3,

当x="•时,71571

COXH--

6T

JlJIJI

・••由对称轴可知X],%满足+a+口%2+7=1x2,

2兀

即Qn为+%)=—・

369

L.F.L,兀兀3兀crr8兀

同理七满足①此2~^-----69XiH----------X2即羽十为二---，

6629369

10兀_5兀

/.X]+2%+%3(0=2,

3(o3

所以最小正周期为：丁=q=兀・

故选：C.

【点睛】

本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.

5.C

【解析】

—2—

由题意，可根据向量运算法则得到(1-/n)AB,从而由向量分解的唯一性得出关于，的方程，求出

，的值.

【详解】

由题意及图，AP=AB+BP=AB+mBN=AB+m[^AN-AB^=mAN+AB,

_29__2__

又，AN=-NC,所以AN=gAC,AAP=~mAC+(1-/n)AB>

\-m-t

—151

又+所以<21，解得机=己，f=—,

3-m=-66

[53

故选C.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.

6.D

【解析】

先把z-(l+i)=22+l变形为z="l,然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出得到其坐标可得答案.

【详解】

由z.(l+i)=2i+l,得2=誓(2z+l)(l-z)3+i31.

解:-----------=--1-1

(l+z)(l-z)222

—31.

所以Z==其在复平面内对应的点为,在第四象限

22

故选：D

【点睛】

此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

7.C

【解析】

首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中z的取值范围.

【详解】

2x+y>4

由题知x,>满足，x-yN-1,可行域如下图所示,

x-2y<2

可知目标函数在点A（2,0）处取得最小值,

故目标函数的最小值为2=犬+»=2,

故2=》+丫的取值范围是［2,+8）.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题.

8.C

【解析】

7T

先用诱导公式得/（元）=-sin%--=cosX+g，再根据函数图像平移的方法求解即可.

I6I3）

【详解】

7C的图象可由V=cosx向左平移g个单位得到，如图所示"（x）在,兀）上先

函数/(x)=-sinXH----

33\/

递减后递增.

故选：c

【点睛】

本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.

9.B

【解析】

先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况，即可得解.

【详解】

由题可知“X）定义域为［一肛0）。（0,司，

二/（x）是偶函数，关于y轴对称,

，排除C,D.

“X）在（0,左）必有零点，排除A.

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质，属于中档题.

10.B

【解析】

先根据角度分析出NCBE,44c的大小，然后根据角度关系得到AC的长度，再根据正弦定理计算出的

长度，最后利用余弦定理求解出A3的长度即可.

【详解】

由题意可知：ZAC5=60°,ZADC=67.5°,ZACD=45°,ZBCE=75°,NBEC=60°,

所以ZCBE=180。-75°-60。=45°,ZDAC=180。-67.5°-45°=67.5°,

所以ND4C=NADC,所以CA=CD=2a,

BCCE＞所以BC=26,义立~=,

又因为

sinNBECsinNCBE2

所以A8'>]AC2+BC2-2ACBC-cosZACB=^24+6-2x276x76x1=372.

故选：B.

【点睛】

本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键.

11.D

【解析】

根据底面为等边三角形，取BC中点可证明8CJ_平面RV0,从而8CJ_R0,即可证明三棱锥尸-ABC为

正三棱锥.取底面等边AABC的重心为O,可求得P到平面A8C的距离，画出几何关系，设球心为。，即可由球的性

质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.

【详解】

设M为8C中点，AABC是等边三角形，

所以AA/LBC,

又因为Q4_L3C,且PAAM=A,

所以BC_L平面则BCJ.PM,

由三线合一性质可知PB=PA=PC,

所以三棱锥P-ABC为正三棱锥，AB=473,PA=PB=PC=2逐，

设底面等边AA8C的重心为。'，

22।_________

可得AO'=§AM=§X6=4，po,=y]pA2-AO,2=120-16=2,

所以三棱锥P-ABC的外接球球心在面ABC下方，设为。，如下图所示：

由球的性质可知，平面ABC,且尸,0,0在同一直线上，设球的半径为R,

在Rt^AOfJ中，AO?=AO'2+OO'2>

即R2=16+（R—2）2,

解得R=5,

所以三棱锥P-ABC的外接球表面积为S=4〃霜=4%x25=100〃，

故选：D.

【点睛】

本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高,

属于中档题.

12.A

【解析】

求出集合8,然后进行并集的运算即可.

【详解】

VA={x|x>-1},B={x|-2<x<0）,

/.AB={x|x>—2}.

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.6

【解析】

由已知可得A£=AB=也，结合双曲线的定义可知|A用—恒鸟|=£=2〃，结合，从而可求出离心

率.

【详解】

解：|^O|=\F/J\,ODHF2B,：.\DF\=\DB\,又.AO_Lg,贝！j|A制=|A@=2|A段.

A27A2A2

■\AF.\=—f/.AFX=AB=——,:.\AFl\-\AFJ=—=2a9即〃=2/=。2—〃2

aaa

解得c=9即e=>/3.

故答案为：V3.

【点睛】

A2

本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系，分析出MKI=幺•关于圆锥曲线的问题，

一般如果能结合几何性质，可大大减少计算量.

14.2

【解析】

根据递推公式可考虑分析。，用一，再累加求出关于。“关于参数牡〃的关系，根据表达式的取值分析出加W2,再用数

学归纳法证明m=2满足条件即可.

【详解】

因为4+1一%=:d一4+机=：(4一4)2+加一22机—2,

OO

累加可得为=q+Z(%+i——1).

k=\

若机>2,注意到当"—”时,W—2)(〃—1)->,不满足对任意的正整数〃均有%<4.

所以/”W2.

当加=2时,证明：对任意的正整数〃都有。<4<4.

当〃=1时，4=1<4成立.

假设当n=k\k>1)时结论成立，即0<见<4,

则0<以+i=2+:才<2+,x42=4，即结论对n=k+\也成立.

由数学归纳法可知，对任意的正整数”都有0<%<4.

综上可知,所求实数，〃的最大值是2.

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查了根据数列的递推公式求解参数最值的问题,需要根据递推公式累加求解，同时注意结合参数的范围问题

进行分析.属于难题.

15.12乃

【解析】

依据圆锥的底面积和侧面积公式，求出底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式

求出体积。

【详解】

设圆锥的底面半径为r,母线长为/,高为〃，所以有

nr1-9-,[r=3,------,------

'1<解得I/=yJl2-r1-,5?-32=4

乃〃=154/=J

故该圆锥的体积为V=L〃=工万X32X4=12»。

33

【点睛】

本题主要考查圆锥的底面积、侧面积和体积公式的应用。

16.--

2

【解析】

根据图示分析出a、b>c的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出，的取值.

【详解】

由图可知：a=(l,2),8=(3,l),c=(4,4),所以2a+仍=(2+3r,4+r),

又因为(2a+rA)-c=(),所以8+12r+16+4r=0,

3

所以f=一2

2

,3

故答案为：-

2

【点睛】

本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算，难度较易.已知。=(王,凹),。=(々，%)，若则有

xix2+yiy2=0.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)x+2y+2-21n2=0；(2)当a,0时,/(幻在(0,1)上单调递增，在(1,+<乃上单调递减；当0<。<1时,/1)

在(0,1)和(,+8)上单调递增，在11,J上单调递减；当a=1时,/*)在((),+8)上单调递增；当a>1时,/(x)在

(0,3)和(1,叱)上单调递增,在\,1]上单调递减.

【解析】

(1)根据导数的几何意义求解即可.

⑵易得函数定义域是(0,+8)，且f'(x)=(以-1)«上1).故分4,0,o<a<1和“=1与a>1四种情况，分别分析得极值

x

点的关系进而求得原函数的单调性即可.

【详解】

(1)当a=0时,/.(>)=-x+\nx,f\x)=-1+',则切线的斜率为f'(2)=

x22

又/⑵=-2+In2，则曲线/(%)在点(2,/(2))的切线方程是y-(―2+In2)=—；(x-2),

即龙+2y+2-21n2=0.

1,

(2)f(x)=-ax2-(a+l)x+\nx的定义域是(0,m).

ax2-(«+l)x+l(ar-l)(x-l)

f(x)=ax-(a+［)+—=----------------=--------------.

XXX

①当4,0时,3-1<0,所以当xe(0,l)时，八x)>0；当xe(l,+a))时，八x)<0,

所以/a)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减；

②当0<a<l时,：>1,所以当xw(0,D和时J'(x)>0；当时J'(x)<0,

所以/a)在(0,1)和+8)上单调递增，在［1,：)上单调递减；

③当a=1时-=1,所以/'(x)..0在(0,+8)上恒成立.所以“X)在(0,+8)上单调递增；

a

④当时

a

所以和(1,+a))时J'(x)>0；xe(｝』］时J'(x)<0.

所以f(x)在(0,J和(1,y)上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当%0时,/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,y)上单调递减；当0<a<1时,/⑺在(0,1)和,+8］上单调递

增，在［1,：)上单调递减；当a=1时,/(X)在(0,+8)上单调递增；当a>1时,/(幻在［0,力和—上单调递增，在

上单调递减.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论，需要根据题意求函数的极值点，再根据极值点的大小关

系分类讨论即可.属于常考题.

9

18.(1)一；(2)见解析

4

【解析】

(1)利用乘“1”法，结合基本不等式求得结果.

(2)直接利用基本不等式及乘“1”法，证明即可.

【详解】

14

(1)因为。+〃=4,所以一+丁=

ab

因为a>0,b>0,所以史..4(当且仅当幺=生，即时等号成立),

abab33

所吟lb4a19

5+—+—…Tx(5+4)=：

ab44

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理论证能力，属于中档题.

19.(1)63.47；(2)分布列见详解，期望为3；(3)余下所有零件不用检验，理由见详解.

7

【解析】

(1)计算［62.0,63.0),［63.0,63.5)的频率，并且与0.5进行比较，判断中位数落在的区间，然后根据频率的计算方法,

可得结果.

(2)计算位于［62.5,64.5)之外的零件中随机抽取4个的总数，写出X所有可能取值，并计算相对应的概率，列出分

布列，计算期望，可得结果.

(3)计算整箱的费用，根据余下零件个数服从二项分布，可得余下零件个数的期望值，然后计算整箱检验费用与赔偿

费用之和的期望值，进行比较，可得结果.

【详解】

(1)尺寸在［62.0,63.0)的频率:

0.5x(0.075+0.225)=0.15

尺寸在［63.0,63.5)的频率：0.5x0.750=0.375

且0.15<0.5<0.15+0.375

所以可知尺寸的中位数落在［63.0,63.5)

假设尺寸中位数为x

所以0.15+(%-63.0)x0.750=0.5=>x«63.47

所以这8()个零件尺寸的中位数63.47

(2)尺寸在［62.0,62.5)的个数为80x0.075x0.5=3

尺寸在［64.5,65.0］的个数为80x0.100x0.5=4

X的所有可能取值为1,2,3,4

贝UP(X=1)=普=看P(X=2)窄嘿

p(X=3)=-^-=—,p(X=4)=3」

'，仁35'，窗35

所以X的分布列为

X1234

418121

P

35353535

(3)二等品的概率为0.5x(0.075+0.225+0.100)=0.2

如果对余下的零件进行检验则整箱的检验费用为

4=100x99=9900(元)

余下二等品的个数期望值为89x0.2=l7.8

如果不对余下的零件进行检验,

整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值为

[=11x99+500x17.8=9989（元）

所以々>鸟，所以可以不对余下的零件进行检验.

【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用，掌握中位数，平均数，众数的计算方法，中位数的理解应该从中位数开始左右两边

的频率各为0.5,考验分析能力以及数据处理，属中档题.

1

20.（1）S=2n+'-2（2）

n22"+2-2

【解析】

(1)利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差4=1,从而求出=2",再利用等比数列的前〃项和公

式即可求解.

(2)由(1)求出c“，再利用裂项求和法即可求解.

【详解】

(1)4=4,且％,a3,%依次成等比数列，.■.d=。口9,

即：（4—4）2=（4—3d）（4+5d）,d>0,:.d=\,

bn=T"=2",

・同=当=2'人2；

11

（2）Qcn=-^-%S“+i-S“

s..s“+is„-s„+1s.s„+1

1111,111111

------1-------pLH----

=+2

5,S2S2S3S.S“+]S[S"+]22"-2'

【点睛】

本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前〃项和公式、裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.

一岛+2=();(2)巾，与，巾,：］,小,？.

21.（1）x2+y2=4,x

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【解析】

⑴把曲线G的参数方程与曲线。2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程；(2)利用图象求出三个点的极径与极角.

【详解】

x=Icosa、.

解：(1)由1C,消去参数a得/+,2=4,

y=2sina

即曲线G的普通方程为V+丁=4,

又由0sin[e-看)=1得夕(sinOcos^■—cosOsin2]=1

即为x-+2=(),即曲线。2的平面直角坐标方程为x-百y+2=()

|2|1

「j______!_!____=1=二"

(2):圆心0到曲线X—&y+2=0的距离“7^^了—2,

如图所示，所以直线》-有>+4=()与圆的切点A以及直线x-6y=()与圆的两个交点B,C即为所求.

,：OA1BC,则无直线l的倾斜角为三，

即A点的极角为红，所以3点的极角为2工-工=工，C点的极角为主+工=卫，

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