(压轴题)高中数学必修一第二单元《函数》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．如果函数在区间上是增函数，而函数在区间上是减函数，那么称函数在区间上为“缓增函数”，区间为的“缓增区间”.若函数是区间上的“缓增函数”，则的“缓增区间”为（）A． B． C． D．2．已知函数的定义域是，则的定义域是（）A． B． C． D．3．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A． B． C． D．4．已知定义域为的函数满足：，当时，，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．5．定义，例如：，，若，，则的最大值为（）A．1 B．8 C．9 D．106．若函数对于任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．7．高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.则函数的值域为（）A． B． C． D．8．已知的图象关于直线对称，则的值域为（）A． B． C． D．9．函数的图象大致是（）A． B．C． D．10．已知且则的值是（）A． B． C．5 D．711．设f(x)､g(x)､h(x)是定义域为R的三个函数，对于以下两个结论:①若f(x)+g(x)､f(x)+h(x)､g(x)+h(x)均为增函数，则f(x)､g(x)､h(x)中至少有一个增函数;②若f(x)+g(x)､f(x)+h(x)､g(x)+h(x)均是奇函数，则f(x)､g(x)､h(x)均是奇函数，下列判断正确的是（）A．①正确②正确 B．①错误②错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确12．已知函数是奇函数，在上是减函数，且在区间上的值域为，则在区间上（）A．有最大值4 B．有最小值-4 C．有最大值-3 D．有最小值-3二、填空题13．定义在上的减函数满足，且对任意实数都有，则不等式的解集为____________.14．已知函数是上的增函数，则的取值范围是________.15．已知函数对于任意实数满足条件，若，则_________.16．已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是________.17．函数的定义域是__________．18．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．19．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式的解集是___________.20．若函数满足，当且仅当时，，则______．三、解答题21．已知函数（1）证明函数在上是减函数．（2）求函数在时的值域．22．已知函数．（1）当时，判断在上的单调性，并用定义法加以证明．（2）已知二次函数满足，．若不等式恒成立，求的取值范围．23．已知二次函数的图象经过点，且函数是偶函数.（1）求的解析式；（2）已知，，求函数在区间上的最大值和最小值；24．已知函数，.（1）若在区间上单调递增，求m的取值范围；（2）求在区间上的最小值；25．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．（1）求函数的解析式；（2）指出函数在上的单调性（不需要证明）；（3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围．26．已知函数的定义域为，如果存在区间，使得，则称区间为函数的一个和谐区间．（1）直接写出函数的所有和谐区间；（2）若区间是函数的一个和谐区间，求实数的值；（3）若函数存在和谐区间，求实数的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】求得，利用双勾函数的单调性可求出函数的单调递减区间，并求出函数的单调递增区间，取交集可得出的“缓增区间”.【详解】由二次函数的基本性质可知，函数的单调递增区间为.设，则函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，下面来证明这一结论.任取、且，即，，，则，，所以，，所以，函数在区间上为增函数，同理可证函数在区间上为减函数.因此，的“缓增区间”为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，求解本题的关键在于理解“缓增区间”的定义，结合二次函数和双勾函数的单调性求对应函数的单调区间.2．C解析：C【分析】由解得结果即可得解.【详解】因为函数的定义域是，所以，要使有意义，只需，解得。所以的定义域是.故选：C【点睛】方法点睛：复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域：解不等式即可得解；已知的定义域为，求的定义域：求出在上的值域即可得解；已知的定义域为，求的定义域：先用型二求出的定义域，再用类型一求出的定义域.3．A解析：A【分析】先求出函数的定义域，再求出函数的定义域.【详解】函数的定义域为，则，所以所以函数的定义域为，则解得函数的定义域为故选:A【点睛】对于抽象函数定义域的求解方法：(1)若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域由不等式求出；(2)若已知函数的定义域为，则的定义域为在上的值域．4．D解析：D【分析】任设，则，，根据定义可得在上为递减函数，令得，令可得，可得，将不等式化为，利用单调性和定义域可解得结果.【详解】任设，则，，所以，所以在上为递减函数，在中，令得，得，令得，所以，又，所以，可化为，所以，所以，解得或.故选：D【点睛】关键点点睛：利用定义判断函数的单调性以及求出是解题关键.5．C解析：C【分析】根据定义确定的解析式及单调性后可得最大值．【详解】由得，，所以，所以在和上都是增函数，在和上都是减函数，，，所以．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最大值．解题关键是根据新函数定义确定新函数的解析式，单调性．结合单调性易得最值．6．C解析：C【分析】根据函数单调性的定义判断出函数为上的增函数，进而可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】对任意的正实数、，当时，，不妨设，则，即，所以，函数为上的增函数，则，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】思路点睛：利用分段函数的单调性求参数范围，应该各支函数在各自的区间内利用单调性以及函数在间断点处端点值的大小关系得出参数的不等式组，从而解得参数的取值范围.7．C解析：C【分析】先求出函数的值域，再根据题干中要求即可得出的值域.【详解】，，，，，即函数的值域为，由高斯函数定义可知：函数的值域为故选：C.【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.8．B解析：B【分析】结合函数对称性与解析式可知是零点，则也是零点，由对应关系求出解析式，利用换元法和二次函数性质即可求解【详解】因为函数有两个零点，0，又因为其图象关于直线对称，所以2，3也是函数的两个零点，即，所以，令，则，所以，即的值域为.故选：B【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，换元法的应用，函数值域的求解，解题关键在于：（1）若函数对称轴为，则有；（2）换元法求解函数值域必须注意新元取值范围.9．C解析：C【分析】由时，，排除B、D；由函数在区间上的单调性，排除A，即可求解.【详解】由题意，函数有意义，满足，解得，又由当时，，排除B，D；当时，，设，则，因为，所以，即，所以函数在上单调递增，所以A不符合，C符合.故选：C.【点睛】知式选图问题的解答方法：从函数的定义域，判定函数图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；从函数的单调性（有时借助导数），判断函数的图象的变换趋势；从函数的奇偶性，判断图象的对称性；从函数的周期性，判断函数的循环往复；从函数的特殊点（与坐标轴的交点，经过的定点，极值点等），排除不和要求的图象.10．A解析：A【解析】，，，故选A.11．D解析：D【分析】可举出反例判断①错误；根据奇偶性的性质可判断②正确，结合选项可得答案．【详解】①错误，可举反例：，，，均不是增函数；但、、均为增函数；故①错误；②，，均是奇函数；为奇函数；为奇函数；同理，，均是奇函数；故②正确．故选：．【点睛】本题考查增函数的定义，一次函数和分段函数的单调性，举反例说明命题错误的方法，以及奇函数的定义与性质，知道和均是奇函数时，也是奇函数．12．B解析：B【分析】根据奇函数的性质,分析在对称的区间上单调性相同,即可找出最大值与最小值.【详解】∵是奇函数,在上是减函数,∴在上也是减函数,即在区间上递减.又∵在区间上的值域为,∴根据奇函数的性质可知且在区间上单调递减,∴在区间上有最大值3,有最小值-4.故选：B.【点睛】本题考查了奇函数的单调性和值域特点,如果性质记不熟,可以将大致图像画出.本题属于中等题.二、填空题13．【分析】由绝对值不等式可知利用中x的任意性得再利用函数的单调性解不等式即可【详解】因为任意实数都有且令则故不等式解得即又函数为上的减函数解得故不等式的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查了解抽解析：【分析】由绝对值不等式可知，利用中x的任意性得，再利用函数的单调性解不等式即可.【详解】因为任意实数都有，且，令，则，故不等式，解得，即又函数为上的减函数，解得，故不等式的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：（1）把不等式转化为的模型；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.14．【分析】函数是增函数可得且即可求解【详解】因为函数为上的增函数所以当时递增即当时递增即且解得∴综上可知实数的取值范围是故答案为：【点睛】易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数范围需满足分段函数解析：【分析】函数是增函数可得，且，即可求解.【详解】因为函数为上的增函数，所以当时，递增，即，当时，递增，即，且，解得，∴，综上可知实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数范围，需满足分段函数每部分分别单调，还应注意在分段处的函数值大小问题，这是容易漏掉的地方.15．3【分析】根据题意求得函数的周期性得出函数的周期然后利用函数的周期和的值即可求解得到答案【详解】由题意函数对任意实数满足条件则即函数是以4为周期的周期函数又由令则即所以【点睛】本题主要考查了抽象函数解析：3【分析】根据题意，求得函数的周期性，得出函数的周期，然后利用函数的周期和的值，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数对任意实数满足条件，则，即函数是以4为周期的周期函数，又由，令，则，即，所以．【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，以及函数的周期性的判定和函数值的求解，其中解答中根据题设条件求得函数的周期是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．【分析】分别讨论和时结合基本不等式和二次函数的单调性可得的最小值解不等式可得所求范围【详解】函数可得时当且仅当时取得最小值由时若时在递减可得由于的最小值为所以解得；若时在处取得最小值与题意矛盾故舍去解析：【分析】分别讨论和时，结合基本不等式和二次函数的单调性可得的最小值，解不等式可得所求范围.【详解】函数，可得时，，当且仅当时，取得最小值，由时，，若时，在递减，可得，由于的最小值为，所以，解得；若时，在处取得最小值与题意矛盾，故舍去；综上得实数a的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，考查二次函数的单调性和运用，以及不等式的解法，属于中档题.17．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为解析：【解析】由，得，所以，所以原函数定义域为，故答案为.18．f(－3)>f(－π)【解析】由得是上的单调递增函数又解析：f(－3)>f(－π)【解析】由得是上的单调递增函数，又．19．【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可得出f（x）在-50上的图象这样根据f（x）在上的图象便可得出xf（x）<0的解集【详解】奇函数图象关于原点对称作出在的图象如下：由得或由图可知或的解集为【点睛解析：【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可得出f（x）在[-5，0]上的图象，这样根据f（x）在上的图象便可得出xf（x）<0的解集．【详解】奇函数图象关于原点对称，作出在的图象如下：由得或，由图可知或，的解集为.【点睛】本题考查函数奇偶性、函数图象的综合，解题关键是根据函数奇偶性作出函数图象，利用数形结合思想求解，属于中等题.20．2【分析】根据函数满足的关系可得是以6最小正周期的周期函数根据代入解析式即可【详解】根据已知条件进而有于是显然则是以6最小正周期的周期函数∵当时则故答案为：2【点睛】本题以抽象函数为载体研究抽象函数解析：2【分析】根据函数满足的关系可得是以6最小正周期的周期函数，根据代入解析式即可.【详解】根据已知条件，进而有，于是，显然，则是以6最小正周期的周期函数，∵当时，则．故答案为：2.【点睛】本题以抽象函数为载体，研究抽象函数的结构特征，且挖掘暗含条件，巧妙地对复合函数的连续变形，体现了数学抽象，数学化归等关键能力与学科素，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）在上任意取两个实数，，且，然后怍差判断其符号即可.（2）根据（1）知在上是减函数，由取得最大值，再由确定值域.【详解】（1）在上任意取两个实数，，且，则有，又因为，所以，，所以，即，所以在上是减函数．（2）由（1）知在上是减函数，所以当时，又因为，所以，所以函数在上的值域为．【点睛】方法点睛：判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．22．（1）减函数，证明见解析；（2）．【分析】（1）在区间上为减函数，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤；（2）设，由题意可得关于的方程，解得的值，可得，由参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围.【详解】（1）当时，，函数是区间上的减函数，证明如下：设，是区间上的任意两个实数，且，则．∵，∴，，，∴，，∴函数是区间上的减函数．（2）设，则，．又∵，∴∴，，又∵，∴，∴．∵，∴，∴，又∵，∴．【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题方法如下：（1）先判断函数在上的单调性，再用定义证明，在证明的过程中，注意其步骤要求；（2）先用待定系数法求得函数的解析式，将恒成立问题转化为最值来处理，求得结果.23．（1）；（2）见详解.【分析】（1）根据二次函数过点，得到，根据函数奇偶性，得到关于直线对称，求出，得出，即可得出函数解析式；（2）先由（1）得到，分别讨论，，，四种情况，结合二次函数的性质，即可求出最值.【详解】（1）因为二次函数的图象经过点，所以，即①；又函数是偶函数，所以关于轴对称，因此关于直线对称；所以，即，代入①式可得，所以；（2）由（1），所以，因为，当时，由解得；因为，所以当时，在上单调递增；所以，；当时，在上单调递减，在上单调递增；所以，；当时，因为时，在上单调递增，则；时，在上单调递增，在上单调递增，所以，所以，；当时，因为时，在上单调递增，所以；时，，所以，；综上，函数在区间上的最大值，最小值为.【点睛】方法点睛：二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：（1）轴定区间定；（2）轴动区间定；（3）轴定区间动；不论哪种类型，解题时，都是讨论对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.24．（1）；（2）.【分析】（1）计算二次函数的对称轴，然后根据单调性可得，计算即可.（2）分类讨论，，，分别计算即可.【详解】（1）由题可知，函数开口向上，对称轴的方程为，若使得函数在上单调递增，则满足，解得，即实数m的取值范围.（2）①当即时，函数在区间单调递增，所以函数的最小值为；②当，即时，函数在区间单调递减，在区间上单调递增，所以函数的最小值为；③当即时，函数在区间单调递减，所以函数的最小值为，综上可得，函数的最小值为.【点睛】结论点睛：二次函数在区间上的最值问题：（1）动轴定区间；（2）定轴动区间；（3）动轴动区间；对本题属于动轴动区间问题需要讨论对称轴与所给区间位置关系.25．（1）；（2）增函数；（3）.【分析】（1）当时，，求出，根据奇函数得到；（2）由解析式可直接写出；（3）先根据奇函数的性质化不等式为，利用单调性脱去“f”,转化为恒成立，求出的最小值即可.【详解】（1）当时，，又是奇函数，∴∴，∴（2）由的解析式以及二次函数、分段函数的性质可知为上的增函数：（3）由和是奇函