安徽省安庆一中、安师大附中、铜陵一中、马鞍山二中2024届高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

安徽省安庆一中、安师大附中、铜陵一中、马鞍山二中2024届高一数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．要得到函数的图象，只需将函数的图象A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位2．设方程的解为，则所在的区间是A. B.C. D.3．设点分别是空间四边形的边的中点，且，，，则异面直线与所成角的正弦值是（）A. B.C. D.4．幂函数的图象过点，则函数的值域是（）A. B.C. D.5．的值是A.0 B.C. D.16．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）A. B.C. D.7．过点和，圆心在轴上的圆的方程为A. B.C D.8．设集合，则A. B.C. D.9．如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A'DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A'不与A,F重合),则下列命题中正确的是()①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上;②BC∥平面A'DE;③三棱锥A'-FED的体积有最大值.A.① B.①②C.①②③ D.②③10．下列说法不正确的是A.方程有实根函数有零点B.有两个不同的实根C.函数在上满足，则在内有零点D.单调函数若有零点，至多有一个11．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A.若则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则12．已知，，则A. B.C. D.，二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．设函数，若函数在上的最大值为M，最小值为m，则______14．要在半径cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使弧AB的长为m，那么圆心角_________．（用弧度表示）15．已知对于任意x,y均有,且时，，则是_____（填奇或偶）函数16．已知在上的最大值和最小值分别为和，则的最小值为__________三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数（a为实常数）（1）若，设在区间的最小值为，求的表达式：（2）设，若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围18．已知函数的最小正周期为.（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象.若在上至少有个零点，求的最小值.19．已知向量，，.（Ⅰ）若关于的方程有解，求实数的取值范围；（Ⅱ）若且，求.20．在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互独立的（1）求丙答题正确的概率；（2）求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率21．已知是定义在上的奇函数，，当时的解析式为.（1）写出在上的解析式；（2）求在上的最值.22．已知（1）当时，解关于的不等式；（2）当时，解关于的不等式

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、C【解析】化函数解析式为，再由图象平移的概念可得【详解】解要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位，即：故选C【点睛】本题考查函数图象平移变换，要注意的左右平移变换只针对自变量加减，即函数的图象向左平移个单位，得图象的解析式为2、B【解析】构造函数，则函数的零点所在的区间即所在的区间，由于连续，且：，，由函数零点存在定理可得：所在的区间是.本题选择B选项.3、C【解析】取BD中点G，连结EG、FG∵△ABD中，E、G分别为AB、BD的中点∴EG∥AD且EG=AD=4，同理可得：FG∥BC且FG=BC=3，∴∠FEG（或其补角）就是异面直线AD与EF所成的角∵△FGE中，EF=5，EG=4，FG=3，∴EF2=25=EG2+FG2，得故答案为C．4、C【解析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可.【详解】设，代入点得，则，令，函数的值域是.故选：C.5、B【解析】利用诱导公式和和差角公式直接求解.【详解】故选：B6、D【解析】根据题意，设，利用函数图象求得，得出函数解析式，再利用诱导公式判断选项即可.【详解】由题意，设，由图象知：，所以，所以，因为点在图象上，所以，则，解得，所以函数，即，故选：D7、D【解析】假设圆心坐标，利用圆心到两点距离相等可求得圆心，再利用两点间距离公式求得半径，从而得到圆的方程.【详解】设圆心坐标为：则：，解得：圆心为，半径所求圆的方程为：本题正确选项：【点睛】本题考查已知圆心所在直线和圆上两点求解圆的方程的问题，属于基础题.8、C【解析】集合，根据元素和集合的关系知道故答案为C9、C【解析】【思路点拨】注意折叠前DE⊥AF,折叠后其位置关系没有改变.解:①中由已知可得平面A'FG⊥平面ABC∴点A'在平面ABC上的射影在线段AF上.②BC∥DE,BC⊄平面A'DE,DE⊂平面A'DE,∴BC∥平面A'DE.③当平面A'DE⊥平面ABC时,三棱锥A'-FED的体积达到最大.10、C【解析】A选项，根据函数零点定义进行判断；B选项，由根的判别式进行求解；C选项，由零点存在性定理及举出反例进行说明；D选项，由函数单调性定义及零点存在性定理进行判断.【详解】A．根据函数零点的定义可知：方程有实根⇔函数有零点，∴A正确B．方程对应判别式，∴有两个不同实根，∴B正确C．根据根的存在性定理可知，函数必须是连续函数，否则不一定成立，比如函数，满足条件，但在内没有零点，∴C错误D．若函数为单调函数，则根据函数单调性的定义和函数零点的定义可知，函数和x轴至多有一个交点，∴单调函数若有零点，则至多有一个，∴D正确故选：C11、B【解析】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.考点：空间点线面位置关系12、D【解析】∵，，∴，，∴．故选二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、2【解析】令，证得为奇函数，从而可得在的最大值和最小值之和为0，进而可求出结果.【详解】设，定义域为,则，所以，即，所以为奇函数，所以在的最大值和最小值之和为0，令，则因为，所以函数的最大值为，最小值为，则，∴故答案为：2.14、【解析】由弧长公式变形可得：，代入计算即可.【详解】解：由题意可知：（弧度）.故答案为：.15、奇函数【解析】赋值，可求得，再赋值即可得到，利用奇偶性的定义可判断奇偶性；【详解】，令，得，，再令，得，是上的奇函数；【点睛】本题考查了赋值法及奇函数的定义16、【解析】如图：则当时，即时，当时，原式点睛：本题主要考查了分段函数求最值问题，在定义域为动区间的情况下进行分类讨论，先求出最大值与最小值的情况，然后计算，本题的关键是要注意数形结合，结合图形来研究最值问题，本题有一定的难度三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）；（2）【解析】（1）用二次函数法求函数的最小值，要注意定义域，同时由于不确定，要根据对称轴分类讨论（2）首先用单调性定义证明单调性，可将“函数在区间上是增函数”转化为恒成立问题求即可【详解】（1）由于，当时，①若，即，则在为增函数，；②若，即时，；③若，即时，在上是减函数，；综上可得；（2）在区间上任取，（*）在上是增函数∴（*）可转化为对任意且都成立，即①当时，上式显然成立②，由得，解得；③，由得，，得，所以实数的取值范围是【点睛】本题考查二次函数在区间上的最值问题，注意要对对称轴和区间的位置进行讨论，考查单调性的应用，这类问题要转化为恒成立问题，实质还是研究最值，这里就会涉及到构造新函数的问题，本题是一道难度较大的题目18、（1）；（2）.【解析】（1）利用正余弦的倍角公式，结合辅助角公式化简为标准正弦型三角函数，根据周期求得参数，再求其单调区间即可；（2）根据函数图像的平移求得的解析式，根据零点个数，即可求得参数的范围.【详解】（1）函数最小正周期为，则，则，所以，令，解得，则函数的单调递增区间为.（2）由题意：，令，得或.所以在每个周期上恰好有两个零点，若在上至少有个零点，应该大于等于第个零点的横坐标，则.【点睛】本题考查利用正余弦倍角公式和辅助角公式化简三角函数解析式，以及求三角函数的单调区间和零点个数，属综合中档题.19、(1)(2)【解析】（Ⅰ）向量，，，所以.关于的方程有解，即关于的方程有解.因为，所以当时，方程有解，即解得实数的取值范围；（Ⅱ）因为，所以，即.当时，，由，解得当时，，由，解得.试题解析：（Ⅰ）∵向量，，，∴.关于的方程有解，即关于的方程有解.∵，∴当时，方程有解.则实数的取值范围为.（Ⅱ）因为，所以，即.当时，，.当时，，.20、（1）（2）【解析】（1）设丙答对这道题的概率为，利用对立事件和相互独立事件概率公式，即可求解；（2）由相互独立事件概率乘法公式，即可求解.【小问1详解】记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件，设丙答对题的概率，乙答对题的概率，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此是相互独立事件.根据相互独立事件同时发生的概率公式，得，解得，所以丙对这道题的概率为【小问2详解】甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为甲、乙、丙三人都回答错误的概率为21、（1）（2）最大值为0，最小值为【解析】（1）先求得参数，再依据奇函数性质即可求得在上的解析式；（2）转化为二次函数在给定区间求值域即可解决.【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，所以，即，由，得，由，解得，则当时，函数解析式为设，则，，即当时，【小问2详解】当时，，所以当，即时，的最大值为0，当，即时，的最小值为.22、（1）或；