第25章 锐角的三角比全章复习攻略与检测卷（4个专题3种思想）（解析版）

第25章锐角的三角比全章复习攻略与检测卷【目录】倍速学习二种方法【4个专题】1.锐角三角函数的概念2.特殊角的三角函数值与实数的运算3.解直角三角形4.解直角三角形的实际应用【3种思想】1.数形结合思想2.方程思想3.分类讨论思想【检测卷】【倍速学习二种方法】【4个专题】1.锐角三角函数的概念1．（2023·上海·一模）在中，，，，那么的长是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出图形，利用三角函数的定义即可完成．【详解】如图所示，由正弦函数定义有：，；故选：A．【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义，已知一个角及斜边，求此角的对边，则利用正弦函数可以解决．2．（2023·上海长宁·统考一模）在中，，已知，，那么的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用锐角三角函数求出结果即可．【详解】解：如图，在中，，，，，故选C．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角的对边与斜边的比叫做该锐角的正弦是解题的关键．3．（2023·上海·一模）在直角坐标平面内，如果点，点与原点的连线与轴正半轴的夹角是，那么的值是（

）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】由锐角的余切定义，即可求解．【详解】解：如图，∵点，∴．故选∶A【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，关键是掌握锐角的三角函数定义．4．（2023·上海松江·统考一模）已知中，，，，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据勾股定理求得斜边长，进而根据三角函数的定义即可求解．【详解】解：如图∵中，，，，∴,∴，，，，故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键．5．（2023·上海崇明·统考一模）计算：【答案】【分析】因为，，，，然后代入计算式即可得出答案．【详解】，，，，原式，故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的各种三角函数值是解题的关键．6．（2023·上海·一模）计算：．【答案】【分析】把、、角的各种三角函数值代入计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了特殊三角函数值的计算，特殊三角函数值计算在中考中经常出现，准确记住、、角的各种三角函数值是解题的关键．2.特殊角的三角函数值与实数的运算7．（2023·上海宝山·一模）计算：．【答案】【分析】分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【详解】解：【点睛】本题考查了三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．8．（2021秋•静安区期末）计算：﹣+2cos245°．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：﹣+2cos245°＝﹣|﹣1|+2×（）2＝﹣+1＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．3.解直角三角形9．（2022•奉贤区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为．【分析】在△ABC中，由锐角三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由锐角三角函数求得BD．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，∴＝＝，∴AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝＝，∴BD＝＝3×＝，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键．10．（2021秋•徐汇区期中）△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是（）A．30° B．60° C．120° D．60°或120°【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC＝5，可以求出AC边上的高，再根据∠A的三角函数值可得∠A的度数，注意分情况讨论．【解答】解：当∠A是锐角时，如图，过点B作BD⊥AC于D，∵AC＝5，△ABC的面积为5，∴BD＝5×2÷5＝2，在Rt△ABD中，sinA＝＝＝，∴∠A＝60°．当∠A是钝角时，如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D，∵AC＝5，△ABC的面积为5，∴BD＝5×2÷5＝2，在Rt△ABD中，sin∠BAD＝＝＝，∴∠BAD＝60°．∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°．故选：D．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线．11．（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，tanA＝．求：（1）S△ABC；（2）∠B的余弦值．【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义设CD＝4k，则AD＝3k，从而利用勾股定理求出AC＝5k，进而可得k＝3，然后可得AD＝9，CD＝12，最后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答；（2）在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BC的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，tanA＝＝，∴设CD＝4k，则AD＝3k，∴AC＝＝＝5k，∵AC＝15，∴5k＝15，∴k＝3，∴AD＝9，CD＝12，∴S△ABC＝AB•CD＝×15×12＝90，∴S△ABC＝90；（2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12，∴BC＝＝＝6，∴cosB＝＝＝，∴∠B的余弦值为．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．12．（2023·上海·一模）如图，在四边形中，平分，，．

(1)求证：且求出的值；(2)如果，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)246【分析】（1）先利用两角对应相等判断，再利用直角三角形的边角间关系和相似三角形的性质得结论；（2）利用直角三角形的边角间关系先求出、，再利用勾股定理求出、，最后利用三角形的面积公式得结论．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，在中，∵，∴＝；（2）∵，∴＝，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴＝．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质、直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键．4.解直角三角形的实际应用13．（2023·上海·一模）如图，高压电线杆垂直地面，测得电线杆的底部A到斜坡C的水平距离长为15.2米，落在斜坡上的电线杆的影长为5.2米，在D点处测得电线杆顶B的仰角为．已知斜坡的坡比，求该电线杆的高．（参考数据：）

【答案】该电线杆的高为17米【分析】过点作垂直的延长线于点，于点，根据斜坡的坡比，米，求出的长度，然后求出和的长度，在中，求出的长度，即可求出的长度．【详解】解：如图，过点作垂直的延长线于点，于点，

则四边形为矩形，，∵斜坡的坡比，米，∴设米，则米，，解得，则米，米，米，米，在中，，设米，则米，，解得，（米），米，答：该电线杆的高为17米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是根据坡度和仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．14．（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，．

(1)请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由．(2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，）【答案】(1)不会，理由见解析(2)7米【分析】（1）先过点作，交于点，根据，，得出，再根据正切定理求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案；（2）根据的长求出，再过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，则，根据段和段的坡度，求出和的长，最后根据，即可求出答案．【详解】（1）解：过点作，交于点，

，，，不会碰到头部；（2），，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，则，段和段的坡度，，，，（米）．

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．15．（2023春·上海浦东新·九年级校考阶段练习）祖冲之发明的水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱高4尺且垂直于水平地面，碓杆长16尺，．当点A最低时，，此时点B位于最高点；当点A位于最高点时，，此时点B位于最低点．(1)求点A位于最低点时与地面的垂直距离；(2)求最低点与地面的垂直距离．（参考数据：，，）【答案】(1)点A距离地面2尺(2)点到地面之间的垂直距离约为尺【分析】（1）分别过点O作直线，作，H为垂足，分别过点B、作、，垂足分别为C、D；根据30度角所对的边是斜边的一半，可得，，即可求得；（2）根据，，求得，根据三角函数的定义，可得，即可求得．【详解】（1）分别过点O作直线，作，H为垂足，分别过点B、作、，垂足分别为C、D．

∵，∵∴，∴点A距离地面2尺；（2）∵，∴∴∴故点到地面之间的垂直距离约为0.28尺．【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【4种思想】1.数形结合思想16.如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）【分析】根据三角函数的定义和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：由题意，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，∴tan42.0°＝≈0.9，∴AD≈0.9BD，在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，∴tan36.9°＝≈0.75，∴CD≈0.75BD，∵AC＝AD﹣CD，∴15＝0.15BD，∴BD＝100（米），∴CD＝0.75BD＝75（米），答：山高CD为75米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，注意方程思想与数形结合思想的应用．2.方程思想17.（2022•徐汇区二模）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），∴BC＝2BD＝2.10（m），当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），∴BC＝2BD＝2.52m，答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m﹣2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意可得：＝，解得：x＝16000，经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．18.（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，∠BOA＝25°，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差．（精确到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？【分析】（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，然后在Rt△BOD中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，进行计算即可解答；（2）先设小杰原计划x小时完成锻炼，然后根据实际每小时的能量消耗﹣原计划每小时的能量消耗＝100，列出方程进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，在Rt△BOD中，∠BOA＝25°，∴OD＝BO•cos25°≈80×0.906＝72.48（cm），∴AD＝OA﹣OD＝80﹣72.48≈7.5（cm），∴踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为7.5厘米；（2）设小杰原计划x小时完成锻炼，由题意得：，解得：，经检验：都是原方程的根，但不符合题意，舍去，答：小杰原计划锻炼1小时完成．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3.分类讨论思想19．（2023·上海浦东新·统考二模）我们规定：两个正多边形的中心之间的距离叫做中心距，在同一个平面内有边长都为6的正三角形和正方形，当它们的一边重合时，中心距为．【答案】或【分析】分两种情况，结合正方形和正三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图，在正方形和正三角形中，连接交于点O，正三角形的中线交于点F，则点O，P分别正方形和正三角形的中心，在正方形和正三角形中，，，，∴点O，E均在的垂直平分线上，∴点E，O，P，G四三点共线，∵正方形和正三角形的边长都为6，∴．∴，∴，∴；即中心距为；如图，在正方形和正三角形中，连接交于点O，正三角形的中线交于点F，则点O，P分别正方形和正三角形的中心，在正方形和正三角形中，，，，∴点O，E均在的垂直平分线上，∴点E，O，P，G四三点共线，∵正方形和正三角形的边长都为6，∴．∴，∴，∴；即中心距为；综上所述，中心距为或．故答案为：或【点睛】本题主要考查了正方形和正三角形的性质，解直角三角形，利用分类思想解答是解题的关键．20.（2023·上海·一模）如图，在中，，，，，平分交边于点D，点E是边上的一个动点（不与B、C重合），F是边上一点，且，与相交于点G．

(1)求证：；(2)设，，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长．【答案】(1)见解析(2)y=(3)的长为1或【分析】（1）要证，只需证，只需证到，．由，平分∠ABC可证到；由可证到，问题解决．（2）作的垂直平分线交于点M，交于点N，易证，从而可以证到，可得．只需用x、y表示出、，问题就得以解决．（3）当是以为腰的等腰三角形时，可分和两种情况讨论．当时，由可得，从而可以得到x与y的等量关系，再结合（2）中的y与x的关系就可求出x的值；当时，易证，过点F作，垂足为H，则有，结合，就可得到x与y的等量关系，再结合（2）中的y与x的关系就可求出x的值．【详解】（1）证明：∵平分，∴．∵，∴．∵，，，∴．∵，，∴．∴．（2）解：作的垂直平分线交于点M，交于点N，如图2，

则有．在中，，则．∵垂直平分，∴．∴．∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．∵，，，∴．又∵，∴．∴．（3）解：①，如图3，

∵（已证），∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．整理得：．则有．解得：（舍），．②，过点F作，垂足为H，如图4，

∵，∴．∵，，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．在中，．∴．∴．∴．∴．整理得：．则有．∴，．∵，∴．综上所述：当是以为腰的等腰三角形时，的长为1或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、用因式分解法解一元二次方程、锐角三角函数的定义、三角形内角和定理、三角形的外角性质、垂直平分线的性质等知识，综合性非常强．而作的垂直平分线交于点M，进而证到是解决第二小题和第三小题的关键．21．（2023·上海·一模）已知的余切值为2，，点D是线段上一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形的另两个顶点E、F都在射线上，且点F在点E的右侧，连接，并延长交射线于点P．

(1)连接，求证：；(2)如图1，当点P在线段上时，如果的正切值为2，求线段的长；(3)连接，当为等腰三角形时，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)(3)或或【分析】（1）连接，根据余切的定义，设，则，，再根据余切的定义即可得证；（2）设，则，，先根据正切的定义可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质即可得；（3）设正方形的边长为，则，分三种情况：、、，先根据余切的定义求出的值，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质即可得．【详解】（1）证明：如图，连接，

∵四边形是正方形，∴，，∵的余切值为2，∴，设，则，∴，，∴．（2）解：由（1）可知，设，则，∴，∵的正切值为2，∴，∴，∴，∴，∵四边形是正方形，，∴，，即，解得．（3）解：设正方形的边长为，则，由题意，分三种情况：①如图，当时，为等腰三角形，

∵，∴，∴，∴，∵，∴，，即，解得；②如图，当时，为等腰三角形，

∴，，，，又，∴，∴，∵，∴，，即，解得；③如图，当时，为等腰三角形，

设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得，，∴，，即，解得，综上，当为等腰三角形时，线段的长为或或．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、正切、余切，正确求出与正方形边长的关系是解题关键．【检测卷】一．选择题（共6小题）1．（2023•崇明区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，那么cosA的值是（）A． B． C． D．【分析】利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，∴cosA＝＝，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2．（2023•嘉定区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，那么∠A的正弦值是（）A． B． C．3 D．【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，∴AB＝＝＝，∴sinA＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．（2023•杨浦区一模）已知点A（1，2）在平面直角坐标系xOy中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么cosα的值为（）A． B．2 C． D．【分析】根据题意，画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理可以得到OA的长，从而可以计算出cosα的值．【解答】解：连接OA，作AB⊥x轴于点B，则∠ABO＝90°，∵点A（1，2）∴OB＝1，AB＝2，∴OA＝＝＝，∵射线OA与x轴正半轴的夹角为α，∴cosα＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出OA的长．4．（2023•虹口区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，那么cosA的值为（）A． B．2 C． D．【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，由勾股定理，得AB＝＝．由锐角的余弦，得cosA＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边是解题的关键．5．（2022秋•静安区校级期中）如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离OP＝4，线段OP与x轴正半轴的夹角为α，且cosα＝，则点P的坐标是（）A．（3，4） B．（3，5） C． D．【分析】根据题意作x轴的垂线，根据OP＝4，且，从而求出横坐标，再求点P的坐标即可．【解答】解：过P作x轴的垂线，交x轴于点A，∵OP＝4，，∴，∴OA＝3，∴．∴点P的坐标是．故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和坐标与图形的性质，此题比较简单，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．6．（2023•松江区一模）如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a米的A、B两点处，观测对岸的标志物P，测得∠PAB＝α、∠PBA＝β，那么这条河的宽度是（）A．米 B．米 C．米 D．米【分析】根据锐角三角函数，可以得到AC＝，BC＝，然后根据AC+BC＝AB，即可得到PC．【解答】解：作PC⊥AB，交AB于点C，∵PC⊥AB，∠PAB＝α、∠PBA＝β，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴AC＝，BC＝，∵AB＝a，AB＝AC+BC，∴a＝+，解得PC＝＝，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二．填空题（共12小题）7．（2023•嘉定区一模）已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，，那么AB的长是9．【分析】根据余弦值的定义即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由cosB＝得AB＝＝＝9，故答案为：9．【点评】本题主要考查解直角三角形，解此题的关键在于利用三角比的定义求解即可．8．（2023•金山区一模）已知α是锐角，且cosα＝，那么α＝45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．【解答】解：∵α是锐角，且cosα＝，∴α＝45°．故答案为：45°．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．9．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A的正切值等于2，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为1．【分析】由锐角的正切定义，相似三角形的性质，即可求解．【解答】解：∵tanA＝，∴AB＝，∴AB＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝DE：BC，∴AD：＝1：3，∴AD＝，∴DB＝AB﹣AD，∴BD＝﹣＝1，故答案为：1．【点评】本题考查锐角的正切定义，相似三角形的性质，关键是掌握并灵活应用以上知识点．10．（2022秋•金山区校级期末）如果一个行人在斜坡为1：2.4的坡面上行走130米，则他升高了50米．【分析】根据斜坡为1：2.4，可知坡度为1：2.4，然后根据勾股定理，可以得到高为1时的斜边的长度，从而可以求得一个行人在斜坡为1：2.4的坡面上行走130米时升高的高度．【解答】解：∵斜坡为1：2.4，∴坡度为1：2.4，设升高的高度为x米，则水平距离为2.4x米，则在坡面上走的距离为：＝2.6x，令2.6x＝130，解得x＝50，即一个行人在斜坡为1：2.4的坡面上行走130米，他升高的高度为50米，故答案为：50．【点评】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，求出相应的高度11．（2022秋•金山区校级期末）平面直角坐标系内有一点P（1，2），那么OP与x轴正半轴的夹角为α，tanα＝2．【分析】过点P作PA⊥x轴于点A，由P点的坐标得PA、OA的长，根据正切函数的定义得结论．【解答】解：过点P作PA⊥x轴于点A，如图：∵点P（1，2），∴PA＝2，OA＝1，∴tanα＝．故答案为：2．【点评】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．12．（2022秋•青浦区校级期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为．【分析】根据题意和图形，可以求得AC、BC和AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ACB的形状，然后即可求得∠ABC的正弦值．【解答】解：由图可得，AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∴tan∠ABC＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13．（2023•普陀区二模）如图，斜坡AB的坡度i1＝1：，现需要在不改变坡高AH的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡AC的坡度i2＝1：2.4，已知斜坡AB＝10米，那么斜坡AC＝13米．【分析】根据斜坡AB的坡度i1＝1：和AB的值先求出AH，再根据斜坡AC的坡度i2＝1：2.4求出AC即可．【解答】解：∵i1＝1：，∴tan∠ABH＝，∴∠ABH＝30°，∴AH＝AB＝10＝5（米），∵坡度i2＝1：2.4，∴，即，解得CH＝12，∴AC＝＝13（米）．故答案为：13．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡脚问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．14．（2022秋•虹口区期中）已知△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6，那么AB的长是10．【分析】利用直角三角形的边角间关系得结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∵cosA＝＝，AC＝6，∴AB＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了解直角三角形，掌握“某角的余弦＝”是解决本题的关键．15．（2023•浦东新区模拟）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的余弦值为．【分析】利用勾股定理可求出AC、BC、AB的值，利用勾股定理的逆定理可得∠ACB＝90°，根据余弦的定义即可得答案．【解答】解：∵△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，∴，，，∵，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查网格的特征、勾股定理及余弦的定义，在直角三角形中，锐角的余弦是角的邻边与斜边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．16．（2023•金山区二模）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，tanC＝，点D是线段BC上的动点，点E在线段AC上，如果点E关于直线AD对称的点F恰好落在线段BC上，那么CE的最大值为．【分析】在直角△ABC中，根据正切函数定义得出AC＝4，利用勾股定理求出BC＝＝5．根据轴对称的性质得到AE＝AF，那么CE＝AC﹣AE＝4﹣AE＝4﹣AF，当AF取最小值时CE取最大值．根据垂线段最短得出当AF⊥BC时，AF最小．根据三角形的面积求出AF＝＝，进而求出CE的最大值．【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，tanC＝＝，∴AC＝4，∴BC＝＝5．∵点E关于直线AD对称的点F恰好落在线段BC上，∴AE＝AF．∵点E在线段AC上，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣AE＝4﹣AF，∴当AF取最小值时CE取最大值．如图，当AF⊥BC时，AF最小．∵S△ABC＝BC•AF＝AB•AC，∴AF＝＝＝，∴CE＝4﹣＝，即CE的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理，轴对称的性质，垂线的性质，三角形的面积等知识．根据题意得到当AF取最小值时CE取最大值是解题的关键．17．（2023•闵行区二模）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角α、β满足2α+β＝90°，那么我们称这个三角形为特征三角形．问题解决：如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB＝25，，如果△ABC是特征三角形，那么线段AC的长为．【分析】由题意可分：①设∠A＝α，∠B＝β，则在AB上截取一点D，使得CD＝CA，此种情况不符合题意；②设∠A＝β，∠B＝α，过点B作BE⊥AC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，然后根据三角函数及勾股定理可进行求解．【解答】解：由题意可分：①设∠A＝α，∠B＝β，则在AB上截取一点D，使得CD＝CA，如图所示：∴∠A＝∠ADC，∵，∴，∴∠CDB为钝角，故不存在2α+β＝90°；②设∠A＝β，∠B＝α，过点B作BE⊥AC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：∵△ABC是特征三角形，即2α+β＝90°，且∠A+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝2∠ABC，∴BC平分∠ABE，∴CF＝CE，∵，∴，设AF＝3x，CF＝CE＝4x，AC＝5x，则有AE＝9x，∴BE＝12x，∵AB＝25，在Rt△ABE中，由勾股定理得81x2+144x2＝625，解得：或（舍去），∴；故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握三角函数及勾股定理是解题的关键．18．（2022秋•金山区校级期末）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝，点P是斜边AB上一点，过点P作PM⊥AB交边AC于点M，过点P作AC的平行线，与过点M作AB的平行线交于点Q．如果直线CQ⊥AB，那么AP的长为．【分析】如图，设AP＝m．证明AP＝MQ＝m，根据cos∠A＝cos∠CMQ＝，构建方程求解．【解答】解：如图，设AP＝m．∵PQ∥ACMQ∥AB，∴四边形APQM是平行四边形，∠A＝∠CMN，∴AP＝MQ＝m，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝，∴AB＝＝10，AC＝＝6，∵PM⊥AB，∴AM＝PA÷cosA＝m，∴CM＝AC﹣AM＝6﹣m，∵CQ⊥AB，AB∥MN，∴CQ⊥MN，∴cos∠CMQ＝cosA＝＝，∴＝，∴m＝，经检验m＝是分式方程的解，∴AP＝．故答案为：．【点评】本题考查直解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．三．解答题（共8小题）19．（2022秋•浦东新区期末）计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式＝4×﹣2××+＝2﹣1+2＝2+1．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（2023•普陀区二模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，DE∥AC，cosC＝，AC＝10，BE＝2AE．（1）求BD的长；（2）求△BDE的面积．【分析】（1）在Rt△ACD中，由cosC＝＝，求出CD，再由DE∥AC得，即可求出BD．（2）由勾股定理求出AD，根据BE＝2AE得到S△BDE＝S△ABD，即可求出结果．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴cosC＝，∴＝，∴CD＝8，∵DE∥AC，∴，又BE＝2AE，∴，∴BD＝16．（2）在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝6，∵BE＝2AE，∴S△BDE＝S△ABD＝×AD•BD＝××6×16＝32．【点评】本题主要考查了解直角三角形，以及平行线分线段成比例定理，三角形的面积计算，熟练运用三角函数的定义是解题关键．21．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，点E是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值．【分析】（1）利用∠B的正切值先求出CD，再利用勾股定理求出AC；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．先判断EF是三角形的中位线，再求出EF、DF、AF及AE，最后求出∠EAB的正弦值．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴△ACD、△BCD均为直角三角形．在Rt△CDB中，∵BD＝6，tanB＝＝，∴CD＝4．在Rt△CDA中，AC＝＝＝2．（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF．又∵点E是边BC的中点，∴EF是△BCD的中位线．∴DF＝BF＝3，EF＝CD＝2．∴AF＝AD+DF＝5．在Rt△AEF中，AE＝＝＝．∴sin∠EAB＝＝＝．【点评】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的边角间关系以及三角形的中位线定理是解决本题的关键．22．（2022秋•嘉定区校级期末）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为17°，即∠ADC＝17°（此时点B、C、D在同一直线上）．求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）【分析】根据坡度的概念，设AB＝5x米，则BC＝12x米，根据勾股定理列出方程，解方程求解，然后根据余切的定义列出算式，求出DC．【解答】解：由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，在Rt△ABC中，i＝＝，设AB＝5x米，则BC＝12x米，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5米，BC＝12米，在Rt△ABD中，tan∠ADC＝，∵∠ADC＝17°，AB＝5米，∴，∴CD≈4.1（米），答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为4.1米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．（2023•宝山区二模）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图1），图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形BCDE和“房顶”等腰三角形ABE组成．已知BC＝4.5厘米，CD＝8厘米，AB＝AE＝5厘米．（1）求“房顶”点A到盒底边CD的距离；（2）现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段ABC的长度（即线段AB与BC的和）及矩形BCDE的面积均不改变，且sin∠ABE＝，BC＞CD，求新造型“盒身”的高度（即线段BC的长）．【分析】（1）作AH⊥CD，垂足为H，交EB于点F，根据矩形的性质得到BE＝CD＝8厘米，BE∥CD，根据勾股定理即可得到结论；（2）设AF＝5x厘米，AB＝13x厘米，根据勾股定理得到BF＝＝12x（厘米），求得BE＝24x厘米，根据矩形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：（1）作AH⊥CD，垂足为H，交EB于点F，∵四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝8厘米，BE∥CD，∴AH⊥BE．∵AB＝AE＝5厘米，FH＝BC＝4.5厘米，∴BF＝EF＝4厘米，∴AF＝＝3（厘米），∴AH＝AF+FH＝3+4.5＝7.5（厘米）答：房顶”点A到盒底边CD的距离为7.5厘米；（2）在Rt△ABF中，∵sin∠ABE＝＝，∴设AF＝5x厘米，AB＝13x厘米，∴BF＝＝12x（厘米），∴BE＝24x厘米，∵BC+AB＝4.5+5＝9.5（厘米），∴BC＝（9.5﹣13x）厘米，∵矩形BCDE的面积不改变，∴BC•BE＝（9.5﹣13x）×24x＝8×4.5，解得x＝或x＝，∴BC＝3，CD＝12或BC＝6.5，CD＝5，∵BC＞CD，∴BC＝6.5．答：新造型“盒身”的高度为6.5厘米．【点评】本题考查的是直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，要把实际问题抽象到直角三角形中，利用三角函数求解．24．（2023•普陀区一模）如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM＝30°，折射角∠DBN＝22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角∠ACM′＝60°，折射角∠ECN′＝40.5°．DE∥BC，MN、M′N′为法线．入射光线AB、AC和折射光线BD、CE及法线MN、M′N′都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米．（1）求BC的长；（结果保留根号）（2）如果DE＝8.72米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，sin22°取0.37，cos22°取0.93，tan22°取0.4，sin40.5°取0.65，cos40.5°取0.76，tan40.5°取0.85）【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得CF和BF的值，然后即可计算出BC的值；（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深．【解答】解：（1）作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，则AF∥MN∥M′N′，∴∠ABM＝∠BAF，∠ACM′＝∠CAF，∵∠ABM＝30°，∠ACM′＝60°，∴∠BAF＝30°，∠CAF＝60°，∵AF＝6米，∴BF＝AF•tan