专题12 最短路径探究之将军饮马 （解析版）

专题12最短路径探究之将军饮马【知识点睛】将军饮马模型总结：类型问题作法图形原理异侧型“两定一动”型连接ABPA＋PB的最小值为AB，两点之间，线段最短同侧型“两定一动”型作点A关于直线l的对称点A`，连接A`B，A`B与直线l的交点即为点PAP+BP=A`B，两点之间线段最短角内部“一定两动”型分别作点P关于两直线的对称点P`，P``，连接P`P``，与两直线交点即为点M、NPM+MN+PN=P`P``，两点之间，线段最短角内部“两定两动”型分别作点P、Q关于直线l1，l2的对称点P`，Q`，连接P`Q`，与直线的交点即为点M、NPQ+PM+MN+NQ=PQ+P`Q`，两点之间线段最短同侧“两定两动”型将点A向右平移a个单位到点A`，作A`关于直线l的对称点A``，连接A``B，A``B与直线l交点即为点N，将点N向左平移a分单位即为点MAM+MN+NB=a+A``B，两点之间，线段最短其他“两动一定”型最值问题模型：如图，点P、点Q分别为直线BC、直线AB上的两个动点，求AP＋PQ的最小值作点A关于直线BC的对称点A`，过点A`作A`Q⊥AB与点Q，A`Q与直线BC交点即为点PAP+PQ=A`Q，点到直线的距离，垂线段最短“造桥选址”类将军饮马模型：构造平行四边形AA`NM，则AM转化为A`N，之后再依据两点之间线段最短，连接A`B即为A构造平行四边形AA`NM，则AM转化为A`N，之后再依据两点之间线段最短，连接A`B即为A、B之间陆地距离的最小值A`A`特别地：“两动两定”型将军饮马，平行四边形的构造都是为了消除动点间的间距d，所以平行四边形的两邻边中，一边是间距d、另一边是定动线段AM或BN中的一条。【类题训练】1．如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（）A． B． C． D．【分析】作点A关于l的对出现A′，则OA＝OA′，故此AO+BO＝OA′+OB，然后依据两点之间线段最短的性质解答即可．【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点O，则点O即为所求点．故选：D．2．如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（）A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ【分析】根据两点间直线距离最短，使FEPP′为平行四边形即可，即PP′垂直河岸且等于河宽，接连P′Q即可．【解答】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽，连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E，则EF∥PP′且EF＝PP′，于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F＝PE，根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．故C选项符合题意，故选：C．3．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140° B．100° C．50° D．40°【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．4．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝60°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″的长即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB＝120°，∴∠AA′M+∠A″＝60°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×60°＝120°，故选：B．5．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（）A．a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90°【分析】延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），进而得出∠MAN的度数．【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝a，∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，故选：B．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，点P是边BC上一动点，点D在边AB上，且BD＝AB，则PA+PD的最小值为（）A．8 B． C． D．【分析】作D关于BC的对称点E，连接AE交BC于P，则PA+PD的值最小，过E作EF⊥AC交AC的延长线于F，过D作DH⊥AC于H，则DH＝EF，DH∥BC，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：作D关于BC的对称点E，连接AE交BC于P，则PA+PD的值最小，过E作EF⊥AC交AC的延长线于F，过D作DH⊥AC于H，则DH＝EF，DH∥BC，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，∴AC＝AB＝4，∠ADH＝∠B＝30°，∵BD＝AB＝2，∴AD＝6，CF＝DE＝BD＝1，∴AF＝5，∴DH＝＝3，∴EF＝3，∴AE＝＝2，∴PA+PD的最小值为2，故选：C．7．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故选：C．8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．9.6 B．8 C．6 D．4.8【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ，∴BQ＝＝9.6．故选：A．9．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】过点C作CE⊥AB于点E，作点N关于直线BD的对称点N′，连接MN′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，作点N关于直线BD的对称点N′，连接MN′∵BD平分∠ABC，N，N′关于BD对称，∴点N′在BA上，MN＝MN′，∴CM+MN＝CM+MN′≥CE，∴当点C，M，N′共线，且与CE重合时，CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，∴×4•CE＝8，∴CE＝4．即CM+MN的最小值为4．故选：B．10．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（）A． B． C．﹣2 D．﹣2【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′＝90°，由勾股定理求出M′N′即可．【解答】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′＝90°，OM′＝OM＝3，ON′＝ON＝5，在Rt△M′ON′中，M′N′＝＝．故选：A．11．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（3，3），点P为x轴上的动点，则PA+PB的最小值为（）A．2 B．2 C．5 D．【分析】点A关于x轴对称点A′（1，﹣1），连接A′B交x轴于P，则此时，PA+PB＝A′B的值最小，过A′作A′C⊥BC，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵A（1，1），∴点A关于x轴对称点A′（1，﹣1），连接A′B交x轴于P，则此时，PA+PB＝A′B的值最小，过A′作A′C⊥BC，∴A′B＝＝＝2．∴PA+PB最小值为2，故选A．12．如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（）A．24 B．24 C．12 D．12【分析】沿BC的方向将PQ和MN平移重合，即B和C点重合，点D平移至T，连接AT，即AB+CD最小，进一步求得结果．【解答】解：如图，作DL⊥PQ于L，过点A作PQ的垂线，过点D作PQ的平行线，它们交于点R，延长DF至T，使DT＝BC＝12，连接AT，AT交MN于B′，作B′C′∥BC，交PQ于C′，则当BC在B′C′时，AB+CD最小，最小值为AT的长，可得AK＝AE•sin60°＝＝2，DL＝＝4，＝6，∴AR＝2+6+4＝12，∵AD＝24，∴sin∠ADR＝＝，∴∠ADR＝30°，∵∠PFD9＝60°，∴∠ADT＝90°，∴AT＝＝＝12，故答案为：C．13．如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的纵坐标为．【分析】根据已知条件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），求得直线EC的解析式为y＝x+2，解方程组即可得到结论．【解答】解：∵∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解，得，∴P（，），故答案为：．14．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，M为AB的中点，P为BC上任意一点，则t＝PM+PA的范围是≤t≤+2．【分析】作M关于BC的对称点N，连接MN，NC，MC，连接AN交BC于点P，作AD⊥BC于点D，MN交BC于点E，则PM＝PN，NC＝MC，MN⊥BC，所以PM+PA＝PN+PA，当N、P、A共线时AN＝PM+PA最小，P与C重合时最大，再解三角形即可．【解答】解：作M关于BC的对称点N，连接MN，NC，MC，连接AN交BC于点P，作AD⊥BC于点D，MN交BC于点E，则PM＝PN，NC＝MC，MN⊥BC，∴PM+PA＝PN+PA，∴当N、P、A共线时AN＝PM+PA最小，P与C重合时最大，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，M为AB的中点，∴∠B＝30°，∴AD＝1，BD＝，ME＝NE＝，∴BE＝DE＝，∵MN∥AD，∴＝＝＝，∴PD＝DE＝，∴PA＝＝，∴AN＝，在Rt△MCE中，根据勾股定理，MC＝＝，∴t＝PM+PA最大为+2，∴t＝PM+PA的范围是≤t≤+2．故答案为：≤t≤+2．15．如图，△ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F点．如果BC＝5，AC＝12，AB＝13，则CE+EF的最小值为．【分析】过C作CF⊥AB于F，交AD于E．则CE+EF的最小值为CF，利用三角形等面积法＝，求出CF＝＝＝，即为CE+EF的最小值．【解答】解：过C作CF⊥AB于F，交AD于E，则CE+EF的最小值为CF．∵BC＝5，AC＝12，AB＝13，∴＝，∴CF＝＝＝，即CE+EF的最小值为：，故答案为：．16．在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，2）、B（2，7），在x轴上求一点C，使|CB﹣CA|最大，则点C的坐标为（﹣5，0）．【分析】由BC﹣AC≤AB可知当A、B、C三点共线时|CB﹣CA|最大，求直线AB的解析式，与x轴的交点就是C．【解答】解：由BC﹣AC≤AB可知当A、B、C三点共线时|CB﹣CA|最大，∴设直线AB为y＝kx+b，∵直线过A（﹣3，2）、B（2，7），∴，解得，∴直线AB为y＝x+5，∴当y＝0时，x＝﹣5，∴点C的坐标为（﹣5，0）．故答案为：（﹣5，0）．17．如图，∠A＝∠C＝90°，且AB＝AC＝4，D，E分别为射线AC和射线CF上两动点，且AD＝CE，当BD+BE有最小值时，则△BDE的面积为6．【分析】利用转化思想，把线段和最小转化成两点间的线段的长，从而求解．【解答】解：过点B作BE⊥CF于点N，∵∠A＝∠C＝90°，且AB＝AC＝4，∴四边形ACNB是正方形，∴AC＝CN，∵AD＝CE，∴CD＝NE△BEN≌△NDC，∴BE＝DN，延长BA到M．使得AM＝AB，则B，M关于AC对称，∴BD＝MD，∴BD+BE＝MD+DN，最小时，M，N，D三点共线，此时D为AC的中点，△BDE的面积为：0.5×（2+4）×4﹣0.5×4×2﹣0.5×2×2＝6．故答案为：6．18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（0，1），点C和D都在x轴上（C在D左侧），且线段CD＝1，连接AB，BC，AD，当四边形ABCD周长最小时，点C的坐标为（，0）．【分析】作点B关于x轴的对称点B'，连接B'C，以B'C、CD为邻边作▱B'B''DC，则B''D＝B'C＝BC，B'B''＝CD＝1，B''（1，﹣1）所以BC+AD＝B''D+AD≥AB''，即当A、D、B''在同一直线上时，BC+AD的最小值为AB''，据此解答即可．【解答】解：过A作AM⊥y轴于M，∵A（4，4），B（0，1），∴AM＝4，BM＝OM﹣OB＝4﹣1＝3AB＝＝＝＝＝5，∵CD＝1，∴四边形ABCD周长：AB+BC+CD+AD＝5+1+BC+AD＝6+BC+AD，∴要求四边形ABCD周长最小，即求BC+AD的最小值，作点B关于x轴的对称点B'，连接B'C，以B'C、CD为邻边作▱B'B''DC，∴B''D＝B'C＝BC，B'B''＝CD＝1，B''（1，﹣1），∴BC+AD＝B''D+AD≥AB''，即当A、D、B''在同一直线上时，BC+AD的最小值为AB''，设直线AB''的解析式为：y＝kx+b，将A（4，4），B''（1，﹣1）代入，，解得k＝，b＝﹣，∴直线AB''的解析式：y＝，设y＝0，则＝0，解得x＝，∴D（，0），∴OD＝，∵CD＝1，∴OC＝OD﹣CD＝﹣1＝，∴C（，0），故答案为：（，0）．19．A，B两个村庄在如图所示的直角坐标系中，那么：（1）点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（5，2）；（2）在x轴上有一条河，现准备在河流边上建一个抽水站P，使得抽水站P到A、B两个村庄的距离之和最小，请作出点P的位置，并求此时距离之和的最小值．【分析】（1）根据图象即可得到答案；（2）先求出点A关于x轴的对称点A′的坐标，连接A′B交x轴于P，此时PA+PB最小，然后根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（5，2），故答案为：（1，1），（5，2）；（2）作A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于P，则点P就是使得抽水站到两个村庄的距离之和最小，即PA+PB最小的点，A′B的长度即为PA+PB的最小值，∴PA+PB的最小值＝A′B＝＝5．20．在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4（m为常数）的图象记为G．（1）设m＞0，当G经过点（2，0）时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标．（2）判断图象G与x轴公共点的个数，并说明理由．（3）当2m≤x≤m+3时，图象G的最高点与最低点纵坐标之差为9，求m的取值范围．（4）线段AB的端点坐标分别为A（0，2）、B（7，4），当图象G与x轴有两个公共点时，设其分别为点C、点D（点C在点D左侧），直接写出四边形ACDB周长的最小值及此时m的值．【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可；（2）令y＝0，则x2﹣2mx+m2﹣4＝0，利用一元二次方程的判别式大于0解答即可；（3）利用分类讨论的思想方法分三种情形，利用函数的图象的性质分别求得二次函数的最大与最小值，依据题意列出等式解答即可；（4）利用勾股定理求得线段AB的长，利用C，D的坐标得到CD的长，则当AC+BD取得最小值时，四边形ACDB的周长最小，将点B向左平移四个单位得到B′（3，4），作点B′关于x轴的对称点B″（3，﹣4），连接B″C，利用将军饮马模型即可求得AC+BD的最小值AB″；利用勾股定理计算得到AB″，则四边形ACDB周长的最小值可求，利用待定系数法求得AB″的解析式，令y＝0即可求得C点坐标，则m值可求．【解答】解：（1）∵G经过点（2，0）∴4﹣4m+m2﹣4＝0，解得：m＝0或4．∵m＞0，∴m＝4．∴此函数的表达式为y＝x2﹣8x+12．∵y＝x2﹣8x+12＝（x﹣4）2﹣4，∴此函数图象的顶点坐标为（4，﹣4）；（2）图象G与x轴公共点的个数为两个，理由：令y＝0，则x2﹣2mx+m2﹣4＝0，∴Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4）＝4m2﹣4m2+16＝16＞0，∴方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0由两个不相等的实数根，即抛物线图象G与x轴有两个公共点；（3）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m）2﹣4，∴抛物线的顶点为（m，﹣4）．①当m＜﹣3时，由于2m＜m＜m+3，则m﹣2m＞m+3﹣m，∴当x＝m时，函数y取最小值﹣4，当x＝2m时，函数y取最大值为m2﹣4，由题意得：m2﹣4﹣（﹣4）＝9，解得：m＝±3，均不符合题意，舍去；②当﹣3≤m≤0时，则2m≤m≤m+3，且m﹣2m≤m+3﹣m，∴当x＝m时，函数y取最小值﹣4，当x＝m+3时，函数y取最大值为5，由题意得：5﹣（﹣4）＝9，符合题意，∴当﹣3≤m≤0时符合题意；③0＜m＜3时，m＜2m＜m+3，∴当x＝2m时，函数y取最小值m2﹣4，当x＝m+3时，函数y取最大值为5，由题意得：5﹣（m2﹣4）＝9，解得：m＝0，不合题意，舍去，综上，m的取值范围为：﹣3≤m≤0；（4）令y＝0，则x2﹣2mx+m2﹣4＝0，解得：x＝m+2或m﹣2，∵点C在点D左侧，∴C（m﹣2，0），D（m+2，0）．∴CD＝（m+2）﹣（m﹣2）＝4．如图，AB＝＝，当四边形ACDB的周长最小时，即AC+BD最小．将点B向左平移四个单位得到B′（3，4），则BB′＝4，BB′∥CD，∴CD＝BB′＝4，∴四边形B′CDB为平行四边形，∴B′C＝BD，∴BD+AC＝AC+B′C．作点B′关于x轴的对称点B″（3，﹣4），连接B″C，则B″C＝B′C，由将军饮马模型可知：此时BD+AC＝AC+B′C＝AC+B″C＝AB″，AC+BD取得最小值为AB″．∴AB″＝＝3，∴四边形ACDB的周长的最小值为：AB+CB+AB″＝4+3；设直线AB″的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴直线AB″的解析式为y＝﹣2x+2，令y＝0，则﹣2x+2＝0，∴x＝1，此时C（1，0），∴m﹣2＝1，∴m＝3．∴四边形ACDB周长的最小值为4+3+，此时m的值为3．21．如图，直线l∥m，在直线l，m上分别取点M，N，使MN⊥线l，连接AM，MN，BN，当AM+MN+BN最小时，求点M，N的位置．【分析】把A向下平移MN的长度，则A1B与l2的交点就是N的位置，据此即可作出．【解答】解：过A作AA1⊥l，且AA1＝MN，连A1B，交m于N，过N作MN⊥m交l1于M，连AM，则AM+MN+BN最小．22．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是α+β＝180°；②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是8；（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；②线段BC、DC、CE之间的数量是CE＝BC+CD．【分析】（1）①先证∠CAE＝∠BAD，再证明△ABD≌△ACE，得出对应角相等∠ABD＝∠ACE，即可得出结论；②根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；（2）①如图2，根据等式的性质就可以得出∠CAE＝∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出结论；②根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）①α+β＝180°；理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC∴∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，故答案为：α+β＝180°；②由①知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，AD＝AE，∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，当AD⊥BC时，AD最短，即四边形ADCE周长的值最小，∵点A到直线BC的距离是3，∴AD＝AE＝3，∴四边形ADCE周长的最小值是2+3+3＝8