重难专题10 折叠问题（解析版）

2023-2024学年八年级数学上册重难点突破专题10折叠问题如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则等于（）A．69° B．67° C．66° D．42°【答案】A【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，根据三角形内角和定理求出可得答案．【详解】解：在中，，，∴，由折叠的性质可得：，∴．故选：A．如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点Q处．折痕为；再将，分别沿、折叠，此时点C、D落在上的同一点R处，则的大小为°．【答案】30【分析】由折叠的性质可得，，，，，，由平角的性质可得，，可证，由平行线的性质可得，即可求解；【详解】解：由折叠的性质可得：，，，，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：30如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，的延长线交于点．(1)如果，求的度数；(2)如果已知∠，则__________（用含的式子表示）(3)探究与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由见解析【分析】（1）由平行线性质得到的度数，再由折叠性质得到的度数，最后根据平角定义即可求出的度数；（2）由平行线性质和折叠性质得到，根据外角性质即可得到的度数；（3）由平行线性质得到和，即可推出最后结果．【详解】（1）解：，，由折叠知，，；（2），，由折叠的性质可得：，；（3），，，，．一、单选题1．如图，在中，，，点是上一点，将沿线段翻折，使得点落在处，若，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由直角三角形的两个锐角互余求得，由，求得，再由翻折的性质得，则．【详解】解：，，，，，由翻折得，，故选：B．2．如图所示，在长方形纸片中，点M为边上的一点，将纸片沿，折叠，使点A落在处，点D落在处．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据角的和差可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，由此即可得．【详解】解：，，由折叠的性质得：，，，故选：A．3．如图1，长方形中，E点在上，且．分别以、为折线，将A、D向的方向折过去，如图2，若图2中，则度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据长方形的性质与三角形内角和定理，得到，再根据折叠的性质，得到，，由，进而得到，最后根据平行线的性质，即可求出度数．【详解】解：四边形是长方形，，，，，由折叠的性质可知，，，，，，，，，故选：D．

4．如图，图①是一个四边形纸条，其中，分别为边上的两个点，将纸条沿EF折叠得到图②，再将图②沿折叠得到图③，若在图③中，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据折叠和平行的性质求出，再由三角形外角的性质求出，结合折叠和平行的性质求出，进而可求．【详解】解：由折叠可知：，，，图②中，图③中，，，，故选：C．5．如图，射线与射线平行，点F为射线上的一定点，作直线，点P是射线上的一个动点（不包括端点C），将沿折叠，使点C落在点E处．若，当点E到点A的距离最大时，的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平行线的性质得，由，当点E在上时，点E到点A的距离最大，然后可求出的度数．【详解】解：∵，，∴，∵，∴当点E在上时，点E到点A的距离最大，如图，

由折叠可知，，∴，故选B．6．如图，中，，点D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠得到，点F是点A的对应点，与交于点E，下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长交于点，根据折叠的性质可得，根据全等三角形的性质可得，，，故，根据全等三角形的平时和性质可得，根据三角形内角和可得，，即可得到．【详解】延长交于点，如图：

∵是沿所在直线折叠得到的∴∴，，∴∴∴∴∴有∵∴故选项B正确故选：B．7．如图，在四边形纸片中，，将纸片折叠，使点、落在边上的点、处，折痕为，则的结果为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据折叠的性质可求得：，，利用四边形的内角和求出，由补角的定义可求解．【详解】解：由折叠可知：，，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故选：D．8．如图，长方形中将沿翻折至处，若，，则的度数为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据长方形的性质可证得，由翻折的性质得，，可得，再由平行线的性质及直角三角形的性质，可得，，再由三角形外角的性质，可得，据此即可求解．【详解】解：∵四边形是长方形，，，，由翻折得，，，，，，，，，故选：B．9．如图，将四边形纸片沿折叠，点A、D分别落在点、处．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据得出的度数，再由四边形内角和定理得出结论．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，故选：B．10．现有一直角三角形纸片，先将共一个侻角折叠（如图1），㑛点落在斜边上的处，折痕与边交于点．再将另一锐角折疘（如图2），使也落在斜边上，折痕与交于点，量得，则点到的距离为（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】过P作与M，根据将其一个锐角∠ABC折叠，使点A落在斜边BC上的处，可得，根据将另一锐角折叠，使也落在斜边上，可得是的平分线，即可得，而已知，故，即点P到的距离为2．【详解】过P作与M，如图：∵将其一个锐角折叠，使点A落在斜边上的处，，，∵将另一锐角折叠，使也落在斜边上，∴，即是的平分线，∵，∴，∵，∴，∴，即点P到的距离为2，故选：C．二、填空题11．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，与的交点为G，点D、C分别折叠到点M、N的位置上，若，则．【答案】【分析】先根据四边形是长方形，得出，得到，再根据折叠的性质可得，，最后求出的度数．【详解】解：∵四边形是长方形，∴，∴，由折叠的性质可得，，又∵与为内错角，，∴，故答案为：．12．如图，将一张白纸一角折过去，使角的顶点落在处，为折痕，再将另一角斜折过去，使边落在内部，折痕为，点的对应点为，设，，则的大小为°．【答案】20【分析】根据角平分线的定义去计算，的度数等于与的度数的和，然后根据平角的定义，找到等量关系，列出等式化简即可．【详解】解：根据翻折可知：，，将另一角斜折过去，使边落在内部，折痕为，，，，的大小为．故答案为：20．13．如图，长方形纸片中，，，且，将长方形纸片沿直线翻折，使点C落在边上，记作点N，再将沿直线向左翻折，使点D落在射线上，记作点P，若点N，P，A三点中有一点是另外两点的中点，则的值为．【答案】3或【分析】分两种情况讨论，利用折叠的性质和矩形的性质可求解．【详解】解：∵将长方形纸片沿直线翻折，∴，将沿直线向左起折，当点D落在线段上时，如图，

∴，∵点P是的中点，∴，∴，∴；当点D落在线段的延长线上时，如图，

∴，∵点A是的中点，∴，∴，∴，故答案为：3或．14．如图，点N是四边形的边上一点，沿折叠四边形，使点C落在边上的点M处，再沿，折叠这个四边形，若点A，D恰好同时落在上的点P处，则的度数为．【答案】【分析】根据折叠的性质可得，，，可知，进一步可得得度数，再根据折叠的性质及同旁内角互补两直线平行得出，从而可得，根据折叠的性质，可知，，进一步可得的度数．【详解】根据折叠得性质，可得，，由折叠可知，，，根据折叠的性质，可知，故答案为：．15．折纸是一项有趣的活动，如图所示，一张长方形纸片，先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后若，则．【答案】【分析】由平行线的性质得到，由平角定义得到，由轴对称的性质得到：，，，求出，由直角三角形的性质求出，由对顶角的性质得到，即可求出．【详解】解：四边形是矩形，，，，，由题意得：，，，，，，．故答案为：．16．如图，在四边形中，，E、F分别是、上的点，将四边形沿直线翻折，得到四边形，交于点G，若有两个相等的角，则．【答案】或【分析】根据题意有两个角相等，于是有三种情况，分别令不同的两个角相等，利用折叠的性质和四边形的内角和列方程，最后综合得出答案．【详解】解：分三种情况：（1）当时，设，则，，在四边形中，由内角和为得：，∵，∴，解得：；（2）当时，，在四边形中，由内角和为得：，得，显然不成立，即此种情况不存在；（3）当时，同理有：，∵，∴，解得：；综上分析可知，的度数为：或．故答案为：或．17．如图，在长方形中，E点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠压平，如图，若图中，则的度数为．【答案】【分析】求的大小只需根据折叠规律、平角知识和角的和差求出大小即可．【详解】解：折叠后的图形如下：∵，∴，∴，又∵，∴，∴故答案为：．18．如图，是长方形纸片的对角线，E、F分别是边上的点，连接，将纸片沿翻折，使得A、B的对应点分别是，且点在的延长线上，与相交于点G，连接，若恰好平分，且，则的度数为°．【答案】135【分析】由折叠可知，，推出，所以，在四边形中，，推出，所以，进而求出．【详解】解：由折叠可知，，∵，∴，∴，在四边形中，，∵平分，∴，∴，∴，故答案为：．三、解答题19．如图，在中，点D是边上的一点，将沿折叠得到，与交于点F．(1)若，，求的度数；(2)若，比大，，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据折叠的性质得出，然后根据三角形的外角即可得出答案；（2）根据平行线的性质得出，根据折叠的性质得出，进而求出，再根据题意求出，即可得出答案．【详解】（1）解：∵沿折叠得到，∴，∵，，∴；（2）解：∵，，∴，∵沿折叠得到，∴，∴，∴，∵比大，，∴，∴，∴，∴．20．如图1，一张三角形纸片，点D，E分别是边上两点．研究（1）：如果沿直线折叠，使点A落在上的点处，则与的数量关系是；研究（1）：如果折成图2的形状，猜想，和的数量关系是；研究（3）：如果折成图3的形状，猜想，和的数量关系是什么，并说明理由．【答案】（1）（2）（3）【分析】研究（1）：翻折问题要在图形是找着相等的量．图1中DE为折痕，有，再利用外角的性质可得结论．研究（2）：图2中与是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论．研究（3）：图3中由于折叠与是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论．【详解】解：（1）∵沿直线折叠，使点A落在上的点处，∴，∵∴．故答案为：．（2）．理由：在四边形中，，∴∵，∴∴，∵是由沿直线折叠而得，

∴，∴；故答案为：．（3）．理由：交于点F，

∵，∴，∴，∵是由沿直线折叠而得，∴∴，∴．21．已知是一张三角形的纸片．(1)如图①，沿折叠，使点落在边上点的位置，与的之间存在怎样的数量关系？为什么？(2)如图②所示，沿折叠，使点落在四边形的内部点的位置，、与之间存在怎样的数量关系？为什么？(3)如图③，沿折叠，使点落在四边形的外部点的位置，、与之间存在怎样的数量关系？为什么？【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析【分析】（1）根据翻折的性质，可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，解答即可；（2）根据翻折的性质和平角的定义，用、表示出和，再根据三角形的内角和定理，列式整理，即可得解；（3）根据翻折的性质，可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式整理，即可得解．【详解】（1）解：，理由如下：∵点沿折叠落在点的位置，∴，∵是的外角，∴，∴；（2）解：，理由见如下：∵点沿折叠落在点的位置，∴，，∴，，在中，，∴，整理得：；（3）解：，理由如下：如图，

∵点沿折叠落在点的位置，∴，∵，，∴，即．22．如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置．(1)如图①．点落在四边形的内部，探索，，之间的数量关系，并说明理由；(2)如图②，点落在边的上方，设与交于点，直接写出，，之间的数量关系．不需要说明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）数量关系：．理由：过点作，交于点，交于点，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到，再结合折叠的性质可得数量关系；（2）过点作，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到得，再结合折叠的性质可得数量关系．【详解】（1）解：，，之间的数量关系：．理由如下：过点作，交于点，交于点，∴，∵，∴，∴，∴，∵沿折叠，点落在点的位置，∴，∴，∴，，之间的数量关系是：．（2）过点作，∴，∵，∴，∴，∵沿折叠，点落在点的位置，∴，∴，即：，∴，，之间的数量关系是：．23．图①为长方形纸带，将长方形纸带的端沿折叠成图②，点折至、点折至，(1)若，则图．中的度数是多少？(2)将纸带的端沿折叠成图③，点折至，点折至，若，用表示．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据长方形的对边是平行的，所以；在四边形中，，即可得出；（2）根据（1）的结论，分类讨论，即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴由对折可知：，在四边形中，，；（2）解：时，与（1）同理，，，则，∴．当∵，，∴由对折可知：，在四边形中，，∵，，∴．综上所述或24．在七下的学习中，我们研究了双内角平分线的夹角和内外角平分线的夹角问题，昆昆同学在自主探究的过程中又发现了一类新的问题，他的探究过程如下：【探索研究】：（1）如图1，在中，平分、平分，相交于点M，若，则______；【初步应用】：（2）如图2，在中，平分、平分，相交于点M，若将沿折叠使得点A与点M重合，若，求的度数；【拓展延伸】：（3）在四边形中，，点P在射线上运动（点P不与C，D两点重合），连接，的角平分线交于点Q，若，，直接写出和，之间的数量关系．【答案】（1）；（2）；（3）当点P在点D左侧时，；当P在D、C之间时，【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；（2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案；（3）当点P在点D左侧时，当P在D、C之间时，两种情况讨论求解即可．【详解】解：（1）∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，即，∴，故答案为：；（2）由折叠的性质可得，∵，∴，∴，∴，∴，∴同（1）原理可得，故答案为：；（3）当点P在点D左侧时，如图3-1所示，∵，∴，∵平分，平分，∴，∵，∴；

当P在D、C之间时，如图3-2所示：同理可得，，∴；

综上所述，当点P在点D左侧时，；当P在D、C之间时，．25．在直角三角形ABC中，，点D，E分别在上，将沿翻折，得到．(1)如图①，若，则______；(2)如图②，的平分线交线段于点G.若，求证．(3)已知，的平分线交直线于点G.当的其中一条边与平行时，直接写出的度数（可用含的式表示）．【答案】(1)40；(2)见解析；(3)或或或【分析】（1）先求出，再利用翻折即可得出答案；（2）根据角平分线的定义得出，设，则，根据翻折得出，再求出，即可得出结论；（3）分情况：①当，②当，③当，④当时，在的下方，⑤当时，在的下方，分别求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵翻折，∴，∴，故答案为：40；（2）解：∵的平分线交线段于点G，∴，∵，设，∴，∵翻折，∴，∴，∴，∵，∴；

（3）解：①当，如图①所示：

∴，∵，∴，∵翻折，∴，∴，∵的平分线交线段于点G，∴，∵，∴；②当，如图②所示：

∴，∴，∴，∵的平分线交线段于点G，∴，∵，∴；③当，如图③所示：

∴，∵翻折，，∴，∴，∵的平分线交线段于点G，∴，∵，∴；④当时，在的下方，如图④所示：

∴，∵的平分线交线段于点G，∴，∴；⑤当时，在的下方，如图⑤所示：

∴，∵翻折，，∴，∵的平分线交线段于点G，∴，∴；综上所述，或或或．26．如