13.2 画轴对称图形（解析版）

2023-2024学年八年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）13.2画轴对称图形1.理解和掌握轴对称和轴对称图形的画法；2.坐标系中点的对称性及其特征。1.轴对称(轴对称图形)的性质(1)关于某条直线成轴对称的两个图形全等，对应线段、对应角相等，只要是对应的部分就全等。(2)对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。(3)对应线段所在的直线若相交，则交点在对称轴上。【理解与拓展】成轴对称的两个图形的性质应注意以下两点：①成轴对称的两个图形沿对称轴折叠能够相互重合，所以它们一定是全等的，但全等的两个图形不一定是轴对称图形。②成轴对称的两个图形能够重合，所以它们的周长、面积也相等，但周长或面积相等的两图形不一定成轴对称。2.轴对称(轴对称图形)对称轴的画法如果两个图形成轴对称，那么对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。3.关于某直线成轴对称的两个图形之间的关系(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，所得图形与原图形全等。(2)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点。(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。4.画已知图形关于某条直线的轴对称图形(1)依据：如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。据此，我们通过作出已知点的对称点的方法作出已知图形的轴对称图形。(2)方法①选：在原图上选择一些关键点。②作：过这些点分别作已知直线(对称轴)的垂线，并在垂线上找到一些点(截取)，使得这些点到对称轴的距离分别与在原图上选择的一些关键点到对称轴的距离相等，从而得到已知点的对称点。③连：顺次连接这些对称点，得到的图形即为已知图形的轴对称图形。5.关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点在平面直角坐标系中，点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)，即横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)，即横坐标互为相反数，纵坐标相同。技巧关于坐标轴对称点的坐标关系：关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点可以简单记为“关于谁对称谁不变”，理解为关于x轴对称，横坐标x的值不变；关于y轴对称，纵坐标y的值不变。6.点P(x，y)关于直线x=m、直线y=n对称的点的坐标轴对称是关于某条直线的对称，在平面直角坐标系中，除了关于x轴、y轴对称，图形还能关于平行于x轴、y轴的任意一条直线对称，并且坐标变化规律也不尽相同。但是，不论关于任何一条直线对称，它们都成轴对称，都具备轴对称的性质，我们仍然能根据轴对称的性质，发现其中规律，画出轴对称图形，得出对应点的坐标。规律点(x，y)关于直线x=m对称的点的坐标关系是：两对称点横坐标之和等于2m，即所求点的横坐标x₁=2m-x，纵坐标不变；关于直线y=n对称的点的坐标关系是：横坐标不变，两对称点纵坐标之和等于2n，即所求点的纵坐标y₁=2n-y。7.平面直角坐标系中的轴对称(1)意义：根据平面直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，可以作出一个图形关于x轴、y轴的对称图形。(2)方法：先求出已知图形中一些特殊点关于x轴(或y轴)的对称点的坐标，描出这些点，并顺次连接，就可得到这个图形关于x轴(或y轴)的对称图形。题型一求对称轴的条数下列图形中，对称轴最少的对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据图形逐个判断出对角线条数比较即可得到答案；【详解】解：由图像可得，A一条对称轴，B四条对称轴，C五条对称轴，D三条对称轴，故选A；1．下列图形对称轴条数最多的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先分别找到每个选项中图形的对称轴的条数即可解答．【详解】解：A．图形有5条对称轴；B．图形有3条对称轴；C．图形没有对称轴；D．图形有4条对称轴；所以对称轴条数最多的是A．故选：A．2．下列轴对称图形中，对称轴的条数四条的有（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据轴对称的性质，分别找出图中的轴对称的条数，即可求解．【详解】解：轴对称图形中，对称轴的条数四条的只有图形（1），（2）；图形（3）是无数条；图形（4）是两条；图形（5）是七条．故选：B．题型二镜面对称问题某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌的部分号码为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据镜面对称的性质，平面镜中的成像与现实中的事物恰好左右颠倒，并关于镜面对称，由此可得题中图形在现实中的样子.【详解】根据镜面对称的性质可得，题中图形在现实中的图形为故选：C.1．小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（

）A．21∶10 B．10∶21 C．10∶51 D．12∶01【答案】C【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为．故选：C2．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】镜面对称的性质：平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，据此判断即可．【详解】解：实际时间最接近8时的时钟，在镜子里看起来应该是4点，所以图C所示的时间最接近8时．故选：C．题型三画轴对称图形如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题：(1)在图中作出关于轴对称的，点与、与对应，并写出点、的坐标．(2)求的面积．【答案】(1)画图见解析，、(2)【分析】（1）根据轴对称的性质，画出，根据坐标系写出点、的坐标；（2）根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解．【详解】（1）解：如图所示，即为所求，、；

（2）的面积为．1．如图，在的正方形网格中，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．(1)在图中作出关于直线l对称的（要求A与，B与，C与相对应）(2)在直线l上找一点P，使得的周长最小【分析】（1）分别作出点A、B、C关于直线l对称的点，然后顺次连接；（2）连接与l的交点即为点P，此时的周长最小．【详解】（1）解：所作图形如图所示；

；（2）解：点P即为所求的点．由轴对称知，又的长为定值，∴的周长为，∴当共线时，的周长最小．2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上．(1)直接写出顶点A，B，C的坐标；(2)在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点，，的坐标．【答案】(1)，，(2)画图见解析，，，【分析】（1）根据图形直接写出点的坐标即可；（2）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解．【详解】（1）解：由图可知：，，；（2）如图所示，即为所求，，，；

一、单选题1．点关于轴对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标为．故选：B．2．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，则的值为（

）A． B． C．1 D．0【答案】C【分析】关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此求出m和n，再代入求值．【详解】解：与关于轴对称，，解得，，故选C．3．正方形的对称轴的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据正方形的对称性解答．【详解】解：正方形有4条对称轴．故选：D．4．若点与点关于轴对称，则的值为（

）A．4 B． C．0 D．2【答案】C【分析】根据关于轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数可得、的值，再计算即可．【详解】解：∵点与点关于轴对称，，，解得，．所以．故答案选：C．5．有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（）A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个【答案】A【分析】根据有5个数字的“数字对称”牌照，第一个数与第五个数相同，第二个数与第四个数相同分析，分以8开头和以9开头两类，只考虑第二个数和第三个数，即可求解；【详解】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况．同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况，所以最多可制作200个．故选：A．6．如图，在中，平分，E，P分别是，上的动点，连接，．若，，则的最小值是（

）A．3 B．6 C．10 D．12【答案】B【分析】过点C作交于点P，过点P作，此时最小，再利用，求出的长度，即为的最小值．【详解】解：过点C作交于点P，过点P作，

∵平分，，，，∴此时最短，最短距离为的长，∵，，，，，最小值为6．故选：B．7．如图，，为内一点，为上一点，为上一点，当的周长取最小值时，的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，作点关于的对称点，与交点为，与交点为，连接交于两点，则，，由题意知，当四点共线时，的周长最小，由，，可知，，则，根据，计算求解即可．【详解】解：如图，作点关于的对称点，与交点为，与交点为，连接交于两点，则，，

由题意知，当四点共线时，的周长最小，∵，，∴，∴，∴，∴，故选：C．8．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点B坐标是，则经过第2023次变换后点B的对应点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】观察图形不难发现，每四次变换为一个循环组循环，用2023除以4，根据余数的情况确定最后点B所在的象限，然后根据关于坐标轴对称的点的变化规律解答．【详解】点B第一次关于x轴对称后在第三象限，点B第二次关于y轴对称后在第四象限，点B第三次关于x轴对称后在第一象限，点B第四次关于y轴对称后在第二象限，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵余3，∴经过第2023次变换后所得的B点与第三次变换的位置相同，坐标为．故选：D二、填空题9．在平面直角坐标系中，若点和点关于y轴对称，则＝．【答案】【分析】关于y轴对称的点的特征是纵坐标不变，横坐标变为相反数，据此解得a，b的值即可解题．【详解】解：∵点和点关于y轴对称，∴，解得：，则．故答案为：．10．如图，点是内部的一点，，，，分别是，上的两个动点，则周长的最小值．【答案】9【分析】设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，当点M、N在上时，的周长最小．【详解】分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．

∵点P关于的对称点为C，∴；∵点P关于的对称点为D，∴，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴．∴的周长的最小值=．故答案为：9．11．在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示,这时的时间应是．【答案】【分析】在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，由此可解．【详解】解：题中所给的“”与“”成轴对称，这时的时间应是．故答案为：．12．剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F坐标为，则的值为．【答案】1【分析】利用轴对称的性质构建方程组，求出m，n，可得结论．【详解】解：∵，关于y轴对称，∴，解得，，∴，故答案为：1．三、解答题13．把点向上平移4个单位，所得的点与点关于轴对称．(1)求的值；(2)写出线段上任意一点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平移规则，得到的坐标，再根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可．（2）根据两点的横坐标相同，得到轴，得到线段上任意一点的横坐标均为3，即可．【详解】（1）点向上平移4个单位，所得的点，∵点与点关于轴对称，∴，∴；（2）∵，，∴轴，∴线段上任意一点的坐标为：．14．如图，已知网格上最小的正方形的边长为1．(1)作关于x轴对称的图形（不写作法）；(2)求的面积；(3)在y轴上找一点P使得最小．【答案】(1)见解析(2)；(3)见解析【分析】（1）分别作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可；（2）用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积进行求解即可；（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

；（2）解：；（3）解：如图所示，点即为所求．，15．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．(1)的面积为__________．(2)画出关于轴的对称图形；再画出沿轴向右平移个单位长度后再向下平移个单位得到的；(3)若上有一点，经过上述三次变换后，点的对应点的