云南省牟定县第一高级中学2022届高三上学期期末教育学业质量监测数学（文）试题

2021～2022学年上学期期末教育学业质量监测高中三年级数学试卷（文科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，，则（）A． B． C． D．3．已知曲线，则“”是“曲线是椭圆”的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．若，满足约束条件则目标函数的最大值为（）A． B．6 C．8 D．95．若样本数据，，…，的方差为32，则数据，，…，的方差为（）A．16 B．8 C．13 D．56．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用表示解下（，）个圆环所需的最少移动次数，若，且则解下6个环所需的最少移动次数为（）A．13 B．15 C．16 D．297．已知两个变量与的五组数据如表所示，且关于的线性回归方程为，则（）6.37.27.88.29.542465057A．52 B．53 C．54 D．558．已知，，，则（）A． B． C． D．9．甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离（键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离（键长）均相等，任意两个键之间的夹角（键角）均相等且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（）A． B． C． D．10．已知函数，现给出下列四个说法：①是周期函数；②有无数个零点；③是奇函数；④．其中所有正确说法的序号为（）A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④11．已知是自然对数的底数，函数的定义域为，是的导函数，且，则（）A． B．C． D．12．已知是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（）A．16 B．12 C．5 D．4第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．在等比数列中，，则的公比__________．14．已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，若该圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积为__________．15．已知奇函数在上的最大值为，则__________．16．已知双曲线（，）的左焦点为，直线与的左、右两支分别交于，两点，与轴交于点，是坐标原点．若，则的离心率为__________．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，求外接圆面积的最小值．18．（12分）某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组代表参加表彰会．（1）求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；（2）记选出的2人参加志愿者活动次数之和为，求不小于6的概率．19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，是等边三角形．（1）证明：平面平面．（2）求点到平面的距离．20．（12分）已知是抛物线的焦点，是抛物线的焦点，点在上，且．（1）求的方程；（2）若是坐标原点，直线与交于，两点，求的面积．21．（12分）已知函数，．（1）求的极值．（2）若，证明：当时，．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，长轴长为4，离心率为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）写出椭圆的一个参数方程和直线的直角坐标方程；（2）已知是椭圆上一点，是直线上一点，求的最小值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）画出的图象；（2）求不等式的解集．

2021～2022学年上学期期末教育学业质量监测高中三年级数学试卷参考答案（文科）1．B，故在复平面内所对应的点位于第二象限．2．A因为，，所以．3．C若曲线是椭圆，则解得，且，所以“”是“曲线是椭圆”的必要不充分条件．4．D画出可行域（图略）知，当经过点时，取得最大值，且最大值为9．5．B因为样本数据，，…，的方差为32，所以数据，，…，的方差为．6．B由题可知，，，，．7．D因为，所以，则．8．C因为，，所以．又，所以，则，则．故．9．A设，则由余弦定理知，，解得，故该四面体的棱长均为．该四面体底面外接圆的半径，高．故该四面体的体积为．10．A易知不是周期函数，故①不正确．由于，故②正确．，故③正确．，故④不正确．11．A令函数，则，在上单调递增．又，所以，，即，的大小不确定．故选A．12．C如图，延长到，使得．因为，所以点在直线上．取线段的中点为，连接，则．显然当时，取得最小值，且最小值为3，所以．13．或6由题可知，，解得或6．14．设该圆锥的底面半径为，则它的高为，母线长为，则它的体积，解得，故它的侧面积．15．2或因为是奇函数，所以，解得，即．当时，函数在上单调递增，则，解得．当时，函数在上单调递减，则，解得．16．由题可知，，则．设，则，解得，故是的中点，则．设的右焦点为，在中，由余弦定理知，，解得．由双曲线定义知，，则的离心率．17．解：（1）因为，所以，解得或（舍去）．又为锐角三角形，所以．（2）因为，当且仅当时，等号成立，所以．外接圆的半径，故外接圆面积的最小值为．18．解：（1）记参加了2次志愿者活动的人为，参加了3次志愿者活动的人为，，，参加了4次志愿者活动的人为，．从这6人中随机选出2人，共有，，，，，，，，，，，，，，这15种选法；其中这2人参加志愿者活动次数相同的有，，，这4种选法．故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为．（2）由（1）可知，小于6有，，这3种选法，故不小于6的概率为．19．（1）证明：设，因为是等边三角形，且，所以是的中点，则．又，所以，所以，即．又平面，平面，所以．又，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解：因为，所以．在中，，所以，则．又平面，所以．如图，连接，则，，所以．设点到平面的距离为，因为，所以，解得，即点到平面的距离为．20．解：（1）由题可知，，．因为，，所以，解得，故的方程为．（2）根据对称性，不妨令，即，直线的方程为，设，，联立方程组整理得，则，，则．点到直线的距离，故的面积为．21．（1）解：因为，所以．当时，，单调递增；当时，，单调递减．故当时，取得极大值，且极大值为，无极小值．（2）证明：因为，所以．令，则．令，则恒成立，所以在上单调递减．又，，所以，．当