2023年高考数学大招5内切球半径秒杀公式

大招5内切球半径秒杀公式

大招总结

方法1:锥体的内切球半径r=(W为锥体体积，S为表面积.

一般可用等体积法,即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等.

第一步:先画出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步:设内切球的半径为r,建立等式：

^P-ABC=^O-ABC+^O-PAB+^O-PAC+^O-PBC=

^P-ABC=~^SVABC.『+个SvPAB.〃+PAC,T+]SYPBC.〃=](SVA8C+S\/PAB+S\PAC+SypBc).几

第三步：解出厂=31一48c

So-ABC+SQ-PAB+SO-PAC+^O-PBC

方法2:锥形的内切球半径,也可用相似三角形来求.

如图,三棱锥P-ABC是正三棱锥,求其外接球的半径.

第一步:先作出内切球的截面图，旦，分别是两个三角形的外心;

第二步:求出=gc。,P。=尸”一r,PD是侧面YABP的高;

CFPC

第三步：由NPOEKPDH,建立等式：——=——，解出r.

DHPD

典型例题

（例1.）（2020-新课标III）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最

大的球的体积为o

解方法1:因为圆锥内半径最大空呼型该圆锥的内切球，如图，圆锥母线6s=3,

底面半径5C=1,则其高SC=4BS2-BC2=2拒，不妨设该内切球与母线切点

D,令OD=OC=r,由VSOD^VSBC,贝U,即——=-,解得

OSBS2y[2-r3

r=,V——7rP=1^万,故答案为：1^万.

2333

方法2:圆锥的高人=2后,丫=4/?=4工肛=1+31=4万,「=史=】但，内切球

33S2

体积V=3乃厂3》.

33

例2.如图，已知球。是棱长为1的正方体A6cO—A4GR的内切球，则平面ACD,

截球。的截面面积为（）

71B.£C,旦兀D.2兀

A.

~6363

解：根据题意知，平面ACDt是边长为V2的正三角形，故所求截面的面积是该正三角

5[7

形的内切圆的面积，则由图得，AC。内切圆的半径是—xtan30=—,则所求的截

26

面圆的面积是万x逅x^=工.故选A.

666

例3.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，若

四棱锥M-ABCD为阳马，侧棱平面ABCD,且MA=BC^AB=2,则该阳

马的内切球表面积为()

A.24乃-1C.12〃D.24夜乃一16万

1Q

解：由已知可得四棱锥M-ABCD的直观图如右所示：其体积V=-x2x2x2=—,其

33

表面积S=2X2+2XLX2X2+2X、2X"万'=8+4夜，故四棱锥M-ABCD的

22

内切球半径R=—=2-72,故该阳马的内切球表面积为4万R?=244-16岳，故选

S

A,

例4：如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器中，

再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度，则球的体积为

()

500乃866431372万2048万

A.cm3B.cmC.D.cm3

3333

解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M,则圆心M为正方体上底面正方形的中心.

如图，设球的半径为R,

根据题意得球心到上底面的距离等于（R-2）cm,而圆M的半径为4,由球的截面圆性

质，得/?2=（/?-2）2+42,解得R=5,

AjrA-rrSDDTF

该球的体积V=—K=一X53=--cn?.故选A.

333

例5：（2021-河南模拟）在三棱锥A-BCD中，

AB^CD=4,AC^BD=AD=BC=3,则该三棱锥的内切球的表面积为0

4%.r373万

A.---B.177rC.—D.—

524

解：如图，在长方体AHDG-EBFC中，设EC=c,EB=b,EA=a,则

a2+b2=16,c2+。2=9,a2+c2=9..\a=b=2vc=1,

j11Q

故四面体ABCD的体积V=ahc-4x-x-abc=-abc=-.四面体ABCD的表面积

3233

22

S=45ABC=4x；x4x>/3—2=8>/5,

根据等体积可得-=-x8V5xr,r=^,

335

2

4兀

该三棱锥的内切球的表面积为47rxT

故选A.

例6.（2021-新乡二模）正四面体ABCD的棱长为1,点P是该正四面体内切球球面上

的动点，当PA-PD取得最小值时，点P到AD的距离为（）

3五-巫>76—V32yf2—y/3y/2

--------D.-------C.--------D.---

1212124

解四面体ABCD是棱长为1的正四面体,

底面BCD外接圆的半径为

甘什m11..A/3V6V2

/.其体积Vv=-x—xlxlx——X——=——,

322312

设正四面体内切球的半径为r,

贝4x-x-xlxlx—xr=^-,得V6

r=——

3221212

如图，取AD的中点为E,

2-2

贝ijPA.PD=（PE+EA）・（PE+ED）=PE+PE、EA+ED）+EAED=PE一二.则当

PE的长度最小时，PAPD取得最小值，

设正四面体内切球的球心为O,可得OA=OD=®,

4

2_72

球心。到点E的距离d=JoT-A炉=

一4'

球。上的点P至UE的最小距离为d-r=显一显J五一口.

41212

即当PAPD取得最小值时，点P到AD的距离为故选A.

12

例7.（2021-甘谷县一模）早期的毕达哥拉斯学派学者注意到用等边三角形或正方形为表面可

构成四种规则的立体图形,即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和

多面角都全等.已知正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，共有12个顶点，

(15+5或③

30条棱，20个面，正二十面体的体积公式为V（其中。为棱长），己知

12

一个正二十面体各棱长之和为305则该正二十面体内切球的半径为（）

3+石3+V5°3+63+75

24612

解：由题可知，正二十面体的棱长a=百，设正二十面体内切球的半径为

1C（15+5君）3+x/s

2

r,20x-x^axr=A------------L,a\解得「=牛4,故选民

34124

例8.（2021秋-景德镇期末）拱尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形

攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.

以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正

四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱雉的内切球半径与底面边长比为（）

t/

>/3„近

D.c立D.V3

3----------------42

解：设底边边长为a,正四棱锥的高为A,则斜高为,所以侧面积为

4x—xa,即为4x—x(2.=3a2,解得h=6a.

设正四棱锥的内切球半径为r,

由等积法可得-xi/2x/?=-x46f2xr,

33

所以r=4=也”，即£=立.故选B.

44a4

自我检测

1.已知一个正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为3友的正方形，则

该正四面体的内切球的表面积为。

A.6万B.547C.127rD.48乃

2.已知棱长都相等的正四棱锥的侧面积为16石，则该正四棱锥内切球的表面积为（）

3.已知在三棱锥S-ABC中，SA=