2023年中考数学复习：二次函数一题多问

冲刺二次函数压轴题专练(一题多问)示例

己知：抛物线经过A(-2,0),B(4,0),C(0,-4)

问1.求抛物线、直线AC、直线BC解析式

问2.在抛物线对称轴上求作一点P,使△口□□周长最小。求：点P此时的坐标及△口□□周长

问3.点D是抛物线的顶点，且抛物线上的点E(3,在X轴上有一点K,在y轴上有一点R,当四边形形

DEKR周长最小，求：点K、点R坐标。

问4.抛物线上的点P(-4,yp)、点Q(5,yQ)及X轴上的一条可移动的

线段MN(点M在点N的左侧)，且MN=2.

求：当四边形PMNQ的周长最小时，求N点的坐标。

问5.点N在x轴上，使aNAC是等腰三角形，求N点的坐标。

问6.在抛物线对称轴上是否存在点M,使4MAC是等腰三角形，求M点的坐标。

问7.在抛物线对称轴上是否存在点M,使aMAC是直角三角形,

若存在请求M点的坐标；若不存在，请说明理由.

问8.在抛物线上是否存在点M,使4MAC是直角三角形,

若存在请求M点的坐标；若不存在，请说明理由.

问9.第一象限的抛物线上是否存在点M,作MN垂直X轴于点N,

以A、M、N为顶点的三角形与AOAC相似，若存在求出点M的坐标;

若不存在，请说明理由。

问10.在抛物线对称轴上是否存在一点G,抛物线上一点H,使以B,C,G,H为顶点的四边形是平行四边形，若存

在，求出G点坐标；若不存在，说明理由。

问11.在线段BC下方抛物线上一点F,连接FB、FC,当4BCF面积最大时,

求：F点坐标及4BCF面积最大值。

问12.点P是第四象限抛物线上的点，连接PO交BC于点Q,

求：一的最大值及点P的坐标。

问13.点P是第四象限抛物线上的点，连接PA交BC于点Q,

求：一的最大值及点P的坐标。

问14.点P是第四象限抛物线上的点，连接PA交BC于点Q,连接BP,

△BPQ和aBAQ的面积分别为Si和S2.

求：，的最大值及点P的坐标。

2

问15.点P是第四象限抛物线上的点，且P点的横坐标为m,作PQ垂直于BC于点Q,作PH平行于x轴

交直线BC于点H.求：△PQH周长的最大值及点P的坐标。

（或问：△PQH面积的最大值及点P的坐标。）

问16.点P是第四象限抛物线上的点，且P点的横坐标为m,作PQ垂直于BC于点Q,

求：PQ+BQ的最大值及P点坐标。

问17.在抛物线的对称轴上是否存在点P,使|□口-匚口最大.

求P点坐标和最大值.

问18.如图，在直线x=2上取点R,使/COR=30。，点P在线段OC上.求：□□+〈□□的最小值及点

P的坐标.

问19.直线x=2交x轴于点G,取点F(2,2),取线段OF的中点K,以原点。为圆心，0K长为半径

做。。，点P是。O上的动点，连接PB、PF.求：J+□□的最小值.

问20.直线□=□□+□与抛物线交于口、口点，抛物线的顶点为□点，若求+,的值。

问21.若点M、N在抛物线上，且点M在第二象限，点N在第一象限,

□□+□,求m与n的关系.

问22.点「(/,-4)在抛物线的对称轴上，若抛物线上任意一点「到点M的距离与该点到直线y=m的距离相等,

求口的值。

问23.①点UQ,-4)、匚(3,1),若点P是抛物线U=(口2一一4任意一点，求□口

标。

②点D(6,l),若点P是抛物线Z)

的坐标。

间24.①点□(/,-4)、口(3,/),若点P是抛物线口—口一4任意一点，求|□口一口口|的最大值和点匚的

坐标.

②点D(6,l),若点P是抛物线U=|L2-一4任意一点，PN垂直于直线□=一5.求|」□一口口|的最大值和点

:的坐标.

冲刺二次函数压轴题专练(一题多问)示例解答

己知：抛物线经过A(-2,0),B(4,0),C(0,-4)

问1.求抛物线、直线AC、直线BC解析式

解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,

将A(-2,0),B(4,0),C(0,-4)»\f

(4口-2口+口=0

代入解析式得：/64-4+=0

口=一4

(_/

解得：

<□=—4

，抛物线解析式为口=扣2_□-4

设直线AC解析式为y=kx+m,

把A(-2.0),C(0,-4)代入解析式得「2+_=°

解得:(：：4

直线AC析式为y=-2x-4

同理：直线BC解析式为y=x—4

答：抛物线、直线AC、直线BC解析式分别为y=(x?—x—4,y=—2x—4.y=x—4

问2.在抛物线对称轴上求作一点P,使^□□口周长最小。

求：点P此时的坐标及△口口口周长

解：抛物线的对称轴为x=-4=1-取点A关于直线x=1的对称点为B,

连接BC,交直线x=1于点P,即点P时所求做的点.

直线BC解析式为y=x-4,

把x=1代入得y=-3,

.•.点P(1,-3),

•.•点A、B关于直线*=1对称

:.PA=PB,

APAC®AC+PC+PA=AC+PC+PB=AC+BC

在RtZ\OAC和RtZ\OBC中，OA=2,OB=4,OC=4,

由勾股定理得：AC=2V5,BC=4>/2,

，aPAC周长最小=20+475

答：点P的坐标为(1,-3),Z\PAC周长最小值2石+4近.

问3.点D是抛物线的顶点，且抛物线上的点E(3,在x轴上有一点K,在y轴上有一点R,当四边形形

DEKR周长最小，求：点K、点R坐标。

解：把x=1代入抛物线解析式y=(x2-x-4得丫=-g,

...点D(1,一》

取点D关于y轴的对称点D，(-1,一；)，点E关于x轴的对称点E，(3,|)

连接D，E，交x轴于点K,交y轴于点R,

由点D，(-1,-1)和点E，(3,|)得直线DE的解析式为y=：x

求得K(2,0),R(0,-V)

74

问4.抛物线上的点P(-4,yp)、点Q(5,yQ)及X轴上的一条可移动的

线段MN(点M在点N的左侧)，且MN=2.

求：当四边形PMNQ的周长最小时，求N点的坐标。

解：把点P(-4,yp)、点Q(5,YQ)代入解析式y=(x?-x-4得

yp=8,YQ=(

点P(-4,8)、点Q(5,g)

将点P向右平移2个单位得Pi(-2,8),做Pi(-2,8)关于X轴

的对称点P2(-2,-8),连接P2Q交X轴的点即为点N,

过点P2(-2,-8)和Q(5,，的直线解析式为丫=全-弓

当y=0时，x=^AN(泽0)

答：当四边形PMNQ的周长最小时，求N点的坐标为(卷，0)

问5.点N在x轴上，使aNAC是等腰三角形，求N点的坐标。

解法一、在Rt^OAC中，OA=2,OC=4,二由勾股定理得AC=26

①当AC=AN=26时，由A(-2,0)向左或向右平移26个单位

得N(-2-2V5,0)或(一2+26，0)

②当AC=CN=26时，则A(-2,0)与点N关于y轴对称，得N(2,0)

③当NA=NC时•，点N是AC的垂直平分线与x轴的交点，设垂足为M,

易证△AOCs^AMN,得一=一，即点=戈•得AN=5,AN(3,0)

答：点N得坐标为(一2—26，0)；(-2+2V5,0)；(2,0)；(3,0)

解法二、设N(n,0),A(-2,0),C(0,-4)

二由勾股定理得Ulj2=20,口口2=f+/6,而ULJ2=(LI+2)2=2+4口+4

①当AC=AN时，得(U+2)2=20,解得：n=-2±2V5

②当AC=CN时，得」2+/6=20,解得：n=±2,；n=-2时与点A重合，舍去。

③当NA=NC时，得1+4口+4=球+万，解得：n=3

答：点N得坐标为(一2—26，0)；(-2+2V5,0)；(2,0)；(3,0)_

问6.在抛物线对称轴上是否存在点M,使4MAC是等腰三角形，求M点的坐标。

答：存在

解：抛物线的对称轴为x=-M=1,设M(1,m),VA(-2,0),C(0,-4)

2X5

由勾股定理得」口2=9+口2,ULJ2=20,□Lj2=(LJ+4)2+/=Li2+8u+i7,

①当AC=AM时，得9+口？=20,解得：m=±E

②当AC=CM时，得了+8+17=20,解得：m=-4±VT9

③当MA=MC时，得口2+8口+17=9+d2,解得：m=-l

答：满足条件点M得坐标为(1,±\/TT),(1,-4±719),(1,-1).

问7.在抛物线对称轴上是否存在点M,使4MAC是直角三角形,

若存在请求M点的坐标；若不存在，请说明理由.

答：存在

解：抛物线的对称轴为x=-1=I,设M(I,m),

VA(-2,0),C(0,-4)

由勾股定理得口」2=9+口2,口口2=20,

U口2=(L+4)2+/=口2+8口+17,

①当AC为斜边时，有口口2+口口2=匚口2,得9+12+口2+8匚+]7=20,

解得：m1=-1,m2=-3

②当AM为斜边时，有□口2+口口2=口口2,得于+8口+17+20=9+",解得:

③当MC为斜边时，有口口2+口：]2=42,得口2+8匚+17=9+12+20,解得：m4=：

答：满足条件点M得坐标为(1,—1),(1,—3),(1>—(1,1)

问8.在抛物线上是否存在点M,使4MAC是直角三角形，

若存在请求M点的坐标；若不存在，请说明理由.

答：存在

解：设M(m,n),贝ijn=(m?—m—4=((口+2)(匚一4)

①如图当/MAC=90。时，做MN_Lx轴于点N,易证△AOCs/\MNA,

；.OA:OC=MN:AN,一

VMN=n,AN=□+2,OA=2,OC=4

2:4=n：(n+2)得：n=-；(0+2)

n=：(d+2)

解方程组

n=((1+2)(□—4)

解得［二;或｛于A点重合，不符合题意舍去)

.1.M(5,-2)

②如图当NACM=90。时，做MN_Ly轴于点N,易证△AOCs/^CNM,

/.OA:OC=CN:MN,

VMN=m,CN=匚+4,OA=2,OC=4

/.2:4=m:(L+4)得：n=，-4,

解方程组

jr

解得｛二岂或｛于c点重合，不符合题意舍去)

AM(3,-b

2

③如图当/AMC=90。时，即AC时斜边，点M在以AC为直径的圆上,

此情况不存在(圆与抛物线没有其它交点)。

答：满足条件点M得坐标为(5,(3,-|)

问9.第一象限的抛物线上是否存在点M,作MN垂直X轴于点N,

以A、M、N为顶点的三角形与AOAC相似，若存在求出点M的坐标;

若不存在，请说明理由。

答：存在

解：设M(m.n).则门=(m?—m—4=((口+2)(口—4)

:在RtZXOAC中，0A=2,0C=4,

，OA:OC=1:2,

•.•作MNJ_X轴于点N,以A、M、N为顶点的三角形与△OAC相似

；.MN:AN=1:2或MN:AN=2:1,由AN=：+2,MN=n

解得：mi=5或=8代入解析式得5=:或史=20

答：点M的坐标为(5,|)或(8,20)

问10.在抛物线对称轴上是否存在一点G,抛物线上一点H,使以B,C,G,H为顶点的四边形是平行四边形，若存

在，求出G点坐标；若不存在，说明理由。

答：存在

解：设G(1,n),H(Xu>yn),贝力」=;(UH+2)(UH-4),

VB(4,0),C(0,-4),

有①当BC与GH是对角线时，1+：2H=4+0，得匚H=3代入解析式得口,=

0-4——-解得L.=--..G,(1,—-)

②当BG与CH是对角线时，0+>[=4+1，得H=5代入解析式得口」=|

-4+-=+0解得L=-：G?(1«-；)

③当BH与CG是对角线时，4+UH=1+0,得H=-3代入解析式得口=；

0+；=□-4解得」：.G3(1.y)

答：G点坐标为Gi(1,—：)，G?(1.-!),Gj(1»])。

问11.在线段BC下方抛物线上一点F,连接FB、FC,当4BCF面积最大时,

求：F点坐标及4BCF面积最大值。

解：过点F做FE〃y轴交BC于点E,设F(口，0),E(□,U,：)

则□匚=；x2-x-4,□□

SABCF=B—□(:)(

SABCF=：x(4-0)[(x-4

=2(一依+2x)=-

*.<-1<0,・・・x=-—=2时，SABCF最大=4,□□=(x2?—2—4=-4

2x(-1)

答：F点坐标为(2,-4),△BCF面积最大值为4

问12.点P是第四象限抛物线上的点,连接PO交BC于点Q,

求：一的最大值及点P的坐标。.F

设P(U,U),E(□,□•■)\/

解：过点P做PE〃y轴交BC于点E,：i

则=；x2-X-

・・・PE//y^

JAPEQ^AOCQ

・•□□=~□~□

VOC=4,PE=□□-C=(x-4)-(；x2-x-4)=-；x2+2x

.□□YX?+2X

/.---=--------=—田12+,三1

4

,：一:<0,

O

/

X=------j-pr=2时，一最大3=LX22-2-4=-4

2x«)

答：P点坐标为(2,一4),一最大值为发

问13•点P是第四象限抛物线上的点连接PA交BC于点Q,

求：一的最大值及点P的坐标。

过占A做AF//PE轴交BC于卢F\f/

解：过点P做PE〃y轴交BC于点E,

；2□。〃一

设P(□,□□),E(□,□□)则口口==-x—x—4,=x-4I

,:AF〃PE,

:.APEQ^AAFQ

••—~....»

□□□□

AF〃y轴，把x=-2代入D=x-4得二I=一6,即F(—2,-6),

AF=6

PE=□—□匚=(x—4)—0x2—x—4)=—+2x

2

T<o,X==2时,一最大=%□=^X2—2—4=—4

2X(4)

答：P点坐标为（2,-4）,一最大值为4

问14.点P是第四象限抛物线上的点，连接PA交BC于点Q,连接BP,

△BPQ和aBAQ的面积分别为S,和S2.

求：，的最大值及点P的坐标。

2

解：做BH1PA于点H,在ABPa和aBAQ中

S1=；PQ.BH,S2=；AQ.BH

/.」=——

J2'JLi

过点P做PE〃y轴交BC于点E,过点A做AF〃PE轴交BC于点F,

设P(口，On),E(□,01)则口二,=(X2-X-4,Dr=x-4

・：AF〃PE,

△PEQS/\AFQ

•--=---，

丁AF〃y轴，把x=—2代入D=x—4得：1=一6,即F(—2,-6),

・・・AF=6

PE=□一口二=(x—4)—Qx2-x—4)=—(x)+2x

一万VO,x=­=2时,

2XH)

」=—最大=7,匚=^-x22—2—4=—4

J2□□32

答：P点坐标为（2,-4）,，最大值为1

23

问15.点P是第四象限抛物线上的点，且P点的横坐标为m,作PQ垂直于BC于点Q,作PH平行于x轴

交直线BC于点H.求：周长的最大值及点P的坐标。

（或问：△PQH面积的最大值及点P的坐标。）

解：做PE〃y轴交BC于点E,

ZPEH=ZOCB

PH〃X轴交直线BC于点H,

ZPHE=ZOBC

在Rtz^OBC中，0B=0C=4

，NOCB=NOBC=45。

二ZPHE=ZPEH=45°

二PE=PH,ZHPE=90°

PQJ_BC于点Q

:.QH=QE=QP=^LU

:.Z\PQH周长=QP+QH+PH=《山+，+,=(V2+1)PE

由题意设P(□,□□),E(口，□.)

则口=■；m2—m—4,□=m—4

PE='i—□；=(m-4)—m2—m—4)=一(in?+2m

*.*—；<0,m=-----=2时，PE最大=2,=T,X22—2—4=-4

22xJ)2

.♦.△PQH周长最大=2(V2+1)=20+2

答：P点坐标为(2,一4),ZXPQH周长最大值为20+2。

问16.点P是第四象限抛物线上的点，且P点的横坐标为m,作PQ垂直于BC于点Q,

求：PQ+BQ的最大值及P点坐标。

解：做PE〃y轴交BC于点E,交x轴于点F

则PF10B

,/在RtZXOBC中，OB=OC=4

，NOBC=45°

NOBC=NFEB=/PEQ=NP=45°

,QE=QP=0□,BE=V2Q0

PQ+BQ=QP+QE+BE=三口口+1□□+近

=&(PE+BF)

由题意设P(「，「)，E(□,口),则F(□,0),

且D=；m2-m—4,口=m—4,BF=4—m

/.PQ+BQ=V2](m—4)—Qn?—m—4)+4—口]=-'m?+V2m+4夜

-兰＜0,

...m==1时，PQ+BQ最大=些，□=-；xI2

2x(-^)22

答:PQ+BQ最大值为华，P点坐标为(1,-1)

问17.在抛物线的对称轴上是否存在点P,使|□「一口川最大.

求P点坐标和最大值.

答：存在解：连接PA

•.•点A与点B关于抛物线对称轴x=1对称

二PA=PB

若点A、C,P不在一条线上时，有|口口一口口|<

若点A、C、P在同一条线上时，有口一口口|=口口

/.<口匚

故|T1-口一」最大=门口，即点A、C、P在同一条线上

直线AC解析式为y=-2x-4,

把x=1代入y=-2x—4得y=-6

，P点坐标为（1，-6）

♦.•在RtZMDAC中，0C=4,OA=2

AC=V42+22=2V5

答：P点坐标为（1,-6）,旧□一二U|最大值为26

问18.如图，在直线x=2上取点R,使NCOR=30。，点P在线段OC上.求：□□+:□□的最小值及点

P的坐标.

解：在OR与y轴的异侧做NCOE=30。，做PF_LOE于点F,

则在RtAOPF中，PF=3OP,

RP+IOP=RP+PF

V直线x=2交x轴于点G

.•.在Rt^ORG中，/ORG=NCOR=30。，0G=2

0R=4

由两点之间线段最短及垂线段最短，可知点P在线段RE上时

RP+PF最小，则有RFLOE于点F

...在RtZXORF中，ZROF=ZCOR+ZCOE=60°,0R=4,

RF=OR«sinZROF=2>/3,OF=OR*cosZROF=2

RP+PF最小为2石，即：RP+(OP最小为26

在RtZXOPF中，NPOF=30°,0F=2

**•P点坐标为（0,——

P点坐标为（0,-竽）

答：最小值为2逐,

问20.直线x=2交x轴于点G,取点F（2,2）,取线段OF的中点K,以原点。为圆心，0K长为半径

做。。，点P是。O上的动点，连接PB、PF.求：

解：取OK的中点E,连接PO、PE、FB.

直线x=2交x轴于点G,F（2,2）,B（4,0）

GF=GB=G0=2,ZFGO=ZFGB=90°

Z.FO=FB=2V2,ZOFB=90°

:点K是OF的中点，点E是OK的中点，

OK=OP=gOF域，OE=：OK=4

OE:OP=OP:OF=1:2

ZPOE=ZFOP

WOEs△FOP

PE:PF=OE:OP=1:2

PE=1PF

/.jIJO+JU=PE+□□

V两点之间线段最短

当点E、P、B共线，即点P在线段BE上时,PE+D1最小=BE

则：在RtZXBEF中，/OFB=90°,FB=2或,FE=FO-OE=言

...由勾股定理得：BE=H即：^」口+1_儿最小=浮

答：丹□+的最小值为缘.

问21.直线□=□□+□与抛物线交于口、□点，抛物线的顶点为□点，若匚口!□□，求□+□的值。

解：•••□(/,-》，.•.设直线□□为□=□/(□-/)-5

设直线口匚为口=-/)-:，

CC1□□；.口/2=

0

□=□/(□-/)--

联立方程组得:

口=」12一口一4

口/(.一/)—■=~——4

□2-(20；4-2)0+20；+1=0

+口=2口/+2,□+/=2口/+2,1=]—7=2八

同理:匚一/二2口2；

・・・(□口一/)(口二一1)=4口口2=-4

—(+)+5=0

(□=□□+□

联立方程组得：彳

□□+匚=箱2一」-4

口2—(2口+2)匚-8-20=0

□+De=20+2,=-8-23,

-8-20-(20+2^1+5=0

：.□+□=-2.5

问22.若点M、N在抛物线上，且点M在第二象限，点N在第一象限，若MBJ_NB,过M、N的直线为1=

□□+□,求m与n的关系.

解：设直线BM为：=；（□—4）；

设直线BN为：□=M一分；MBXNB:../12=-

（□=□/（□一4）

联立方程组得：/2,

[y=-x-x—4

匚2—（2+20/）口-8+8口/=0

*,»+=2+21/,,——8+8I

同理：口口+口口=2+2口2，=-8+8^2

又:□□=4,/.□□+□□=□（□/+02）一口,

•=_（/+]2）

（+）+・〔□=一，

（」=□□+」

联立方程组得：1y=Zx2_x_4

二D2-（2+2口）匚-8-2口=0

□+□：=□+□□,—

匚（□+□□）+（-□□—口）=一口，/.□=□+□□

问23.点匚（/,-4）在抛物线的对称轴上，若抛物线上任意一,，i的距离相等,

求」的值。

解：点P的坐标（1_1口，匚），则有口口=□-J,U=：□