2023河北版数学中考复习题3

2023河北版数学中考

§3.2一次函数

五年中考

考点1一次函数的图象与性质（10年4考）

1.（2016河北,5,3分）若厚0力＜0,则产依+/?的图象可能是)

解析选项A中火＞0力=0,选项C中水＜0力＞0,选项D中斤0力＜0,只有选项B符合题意.

2.（2014河北,6,2分）如图，直线/经过第二、三、四象限，/的解析式是产（”2）x+〃，则根的取值范

围在数轴上表示为（C）

，，1_._■__I，，，》

-2-10123-2-10123

AB

,,•],,一，,,1•.一

-101234-101234

CD

解析直线/经过第二、三、四象限，则有加-2＜0,解得加＜2,故选C.

考点2一次函数与方程（组）、不等式的关系（10年3考）

1.（2015河北,14,2分）如图，直线刀尸-*3与直线y=a（a为常数）的交点在第四象限，则a可能在

AA<a<2B.-2v〃<0

C.-3<47<-2D.-10<(7<-4

解析直线尸|x-3与y轴的交点坐标为(0,-3),若直线y-a与直线y=-|x-3的交点在第四象限,则

。＜-3,

故选D.

2.(2022河北,25,10分)如图，平面直角坐标系中，线段45的端点为A(-8,19),3(6,5).

⑴求A3所在直线的解析式；

⑵某同学设计了一个动画：

在函数〃(m彳0,这0)中，分另4输入相和〃的值，便得到射线C。其中C(c,0).当c=2时，会从C

处弹出一个光点P,并沿飞行;当厚2时,只发出射线而无光点弹出.

①若有光点P弹出，试推算机M应满足的数量关系；

②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时，线段AB就会发光，求此

时擎数m的个数.

2()

18

16

14

6

4

-10-8-6-4-2202468%

解析(1)设A3所在直线的解析式为产入5(后0),将/1(-8,19)乃(6,5)代入,得［LU?；

...AB所在直线的解析式为y=-x+l\.

⑵①把42,)=0代入广〃LV+72,得

0=2/%+%即n=-2m.

:・见〃应满足的数量关系是n=-2m.

②设光点P击中线段48上的点为（〃力），

则b=-a+11.

・•・a=11・b（539）,当b是整数时心也是整数.

二•点P在y-mx+n上,

由①得b=ma-2m,

.bb

•.m-------二=­♦

CL—2.9-b

只有当6=6,8,10,12,18时即为整数，则加的个数是5.

一题多解⑵②由①得射线CD所在直线为产加-2犯设线段AB与射线CD交于点E,则

y=~x+11,._2m+ll

2m+2+9=2+2二”为整数可取一9厂3厂1,139,即％为i;.

y=mx—2m,m+im+1m+1

1,-7,11,5,3.V-8<^<6,二x=11不符合题意，舍去.的值为-10,4-228,故整数机的个数为5.

3.（2020河北,24,10分）表格中的两组对应值满足一次函数产h+瓦现画出了它的图象为直线/,如

图所示.而某同学为观察人力对图象的影响，将上面函数中的左与。交换位置后得另一个一次函

数，设其图象为直线

⑴求直线/的解析式；

⑵请在图上尊中直线/'（不要求列表计算），并求直线/被直线/和y轴所截线段的长；

⑶设直线产。与直线//及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的

值.

EE尸

解析⑴把1尸-2；x=0,y=1代入y=kx+b,得｛j""一，解得忆;

直线/的解析式为y=3x+\,

⑵如图/为所画直线.

由k,b交换位置得直线厂的解析式为y=x+3.设直线厂与直线I交于点A,与y轴交于点。过点A

作AC_Ly轴于点C.

x=1,

联立得

y=4.

在RtAACB中,AC=LBC=4-3=L

：.AB=>JAC2+BC2=V2.

即直线/'被直线/和），轴所截线段的长为企.

⑶|或9或7.

详解:直线y=a与直线//及y轴有三个不同的交点，交点分别为（等,若点

（等1,a）与点、（a・3,o）关于点（O,a）对称,则^-^61-3=0,解得。=|；

若点GU，°）与点°力关于点（，-3,a）对称，则（。-3）=4-3,

解得所着

若点（a-3,a）与点（0,6i）关于点（得■，对称,则a-3-^-=

解得a=7.

综上,a的值为［或9或7.

疑难突破将产a代入两条直线解析式可得出直线产a与直线/,/'的交点坐标，再写出直线）=。

与y轴交点的坐标，然后结合其中两点关于第三点对称，找出关于。的等量关系求解即可.

考点3一次函数与几何知识相结合的综合应用（10年2考）

1.（2018河北,24/0分）如图，直角坐标系xOy中，一次函数尸夕+5的图象/i分别与x,y轴交于

A乃两点，正比例函数的图象人与21交于点。（皿4）.

⑴求，”的值及/2的解析式；

（2）求SAAOC-SABOC的值；

⑶一次函数产人+1的图象为自且几/2,/3不熊围成三角形淳毯写出攵的值.

解析⑴•・•C(加,4)在直线尸夫+5上，

4=$〃+5,得m=2.

设1的解析式为y=kix(k\/Q),

VC(2,4)在C上,:.4=2依,二ki=2.

二/2的解析式为y=2x.

(2)把)=0代入)=5+5,得产10,・♦.OA=W.

把x=0代入y=-$+5,得y=5,OB=5t

11

10X4=20/SAJ8OC=-X5X2=5/

SAAOC-S〉BOC=20-5=15.

⑶-涔

详解:一次函数y=kx+l的图象经过点(0,1),一次函数尸乙+1的图象为自且4/2,/3不能围成三角

形，

，当/3经过点C(2,4)时/同3不能围成三角形,2%+1=4,解得上|；

当/2,/3平行时,几瓦/3不能围成三角形后2；

当“3平行时,儿/2,/3不能围成三角形人微

思路分析(1)先求得点C的坐标，再运用待定系数法求出/2的解析式;(2)先求出。4、08的长

度，再根据点。的坐标分别求出SAAOC和SABOC,进而得出SAAOC-SABOC的值;⑶一次函数产人+1

的图象经过点(0,1)/,/2,/3不能围成三角形分三种情况:当/3经过点C(2,4)时不能围成三角

形后g；当b」3平行时不能围成三角形后2；当11,(3平行时/12,/3不能围成三角形后-点

易错警示往往忽略/3经过点C(2,4)时不能围成三角形而致错.

2.(2017河北,24,10分)如图，直角坐标系xOy中,A(0,5),直线户-5与x轴交于点。直线y=^x-

当与x轴及直线4-5分别交于点C,E点比E关于光轴对称，连接A8.

8

⑴求点C,E的坐标及直线AB的解析式；

⑵设S=S△CDE+S四边形ABDO,求S的值；

⑶在求⑵中S时，嘉琪有个想法:“将ACDE沿x轴翻折到△CD?的位置，而ACDB与四边形

ABDO拼接后可看成△AOC,这样求S便转化为直接求AAOC的面积不更快捷吗?”但大家经反

复验算，发现以人。hS请通过计算解释他的想法错在哪里.

解析⑴把＞,=0代入—2，得x=-13.

••.C(-13,0).(1分)

把x=-5代入y=--x—冬得y=-3,

88

/.E（-5,-3）.(2分)

点关于x轴对称，

设直线AB的解析式为严乙+8(#0),

则『募之解得卜=1，

l-5/c+b=3.(b=5.

...直线AB的解析式为尸4+5.(5分)

(2)CD=S,DE=DB=3,OA=OD=5,

5ACD£=1X8X3=12,58边*48。09<(3+5)X5=20,

：.S=32.(8分)

⑶当A--13时,y=|x+5=-0.2W0,

.•.点。不在直线A8上，即。三点不共线.

.,.他的想法错在将ACOB与四边形ABDO拼接后看成了△AOC.（10分）

思路分析⑴把）=0代入y=-lx-胃，解得x的值，从而得出点C的坐标，把4-5代入y=-\-胃,

8888

解得y的值，从而得出点£的坐标，进而得出点B的坐标，最后利用待定系数法求出直线48的解

析式;⑵分别求出S^CDE^S^ABDO,^^S的值;（3）把点C的横坐标代入直线AB的解析式，验

证发现点不在同一条直线上，得出结论.

考点4一次函数的实际应用（10年3考）

1.（2019河北,24,10分）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进.如图，当队伍排尾行进

到位置。时，在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为

2V(m/s),当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进.设排尾从位置。开始行进的时间为r(s),排牛与

。的距离为S式m).

-"东

0(尾)头______________

。尾友东

一甲r

⑴当丫=2时,解答：

①求S头与，的函数关系式(不写t的取值范围);

②当甲赶到排头位置时，求S头的值;在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置。的距离为S甲

(m),求S用与t的函数关系式(不写t的取值范围);

⑵设甲这次往返队伍的总时间为T(s),求T与v的函数关系式(不写u的取值范围)，并写出队伍

在此过程中行进的路程.

解析⑴①排头走的路程为2tm,则S头=2f+300.（2分）

②甲从排尾赶到排头时，有4U2/+300,得/=150.

此时,S%=2x150+300=600.（5分）

甲从排头返回的时间为(f-150)s,则S甲=600-4(7-150)=4+1200.（7分）

⑵设甲从排尾赶到排头用时为t\s,则2v/i=vn+300,

・，

••t\-_3-0-0.

v

设甲从排头返回到排尾用时为f2s,则300=2m+履,

・・・,100

tl=-v-.

（9分）

v

队伍在此过程中行进的路程是Tv=—•v=400(m).（10分）

V

2.(2016河北,24,10分)某商店通过调低价格的方式促销n个不同的玩具，调整后的单价乂元)与

调整前的单价M元)满足一次函数关系，如下表:

第1个第2个第3个第4个第〃个

调整前单价X

为X2=6^3=72X4Xn

阮）

调整后单价），

yi），2=4笫=59%孙

阮）

己知这〃个玩,更调整后的单价都大于2元.

⑴求y与x的函数关系式，并确定x的取值范围;

⑵某个玩具调整前单价是108元，顾客购买这个玩具省了多少钱?

⑶这〃个玩具调整前、后的平均单价分别为元记猜想歹与元的关系式，并写出推导过程.

解析⑴设产依+力（原0）,（1分）

依题意，得x=6,）=4；

A-=72,.y=59.

.（4=6k+b,

,,（59=72k+b,

解得6，

、b=-1.

（3分）

依题意，得%-1>2.

6

解得x冷，即x的取值范围为x聋.（5分）

（2）将4108代入j=-x-1,得y=-x108-1=89.（6分）

66

•门08-89=19（元）.

二省了19元.（7分）

（3）y=|x-l.（8分）

O

推导过程：

由（1）知y1=次卜1,”二12-L…,»尸女丁1.

666

•'y=+'2+,,•+»)

=-L-(xi+X2+,•,+xi^n-

n6

_5〜x+x+-+xi

——x---1------2------------n--1

6n

(10分)

三年模拟

53基础练

一'选择题（每小题3分洪21分）

1.（2022邯郸一模，播）如图,在平面直角坐标系中，一次函数产-2x+l的图象可能是（B）

A.①B.②C.③D.④

解析一次函数产-2x+L其中％<0力>0,由一次函数图象性质可知，一次函数图象经过第一、二、

四象限.故选B.

2.（2022秦皇岛海港一模，烟将点A（-3,-2）沿水平方向向左平移5个单位长度得到点4.若点4

在直线y=x+b上，则b的值为(A)

A.6B.4C.-6D.-4

解析•.•点A（-3,-2）沿水平方向向左平移5个单位长度得到点4,

.•.点4的坐标为（-8,-2）.

又点A'在直线y=x+b上,.•.-2=-8+"/./?=6.故选A.

3.（2022唐山路南一模，镇）一条直线>=依+"其中k+h=-2022,^=2021,那么该直线经过（D）

A.第二、四象限B.第一、二、三象限

C.第一、三象限D.第二、三、四象限

解析•.•2+。=-2022,鲂=2021,，左<0力<0,，直线旷=人+。经过第二、三、四象限，故选D.

4.（2022安徽，礴）在同一平面直角坐标系中，一次函数产依+次与）=於什。的图象可能是（》）

解析一次函数y=ax+a2的图象与y轴的交点（0,标）必在y轴正半轴上，与％轴的交点为（”（））.

一■次函数y=crx+a的图象与x轴的交点为（一，与>1轴的交点为（0图）.

,:A、B选项中两函数图象均与），轴交于正半轴,

."〉（），

.•.两函数中y均随X的增大而增大，故A、B错误.

VC>D选项中的两函数图象与y轴的交点一个在正半轴，一个在负半轴,，。（。，屋〉1.

♦•a<-1,••-a>1,0<--<1,

a

...C错误,D正确.故选D.

5.（2022石家庄模拟，僚）已知一次函数y=kx+3的图象经过点A,且y随x的增大而减小，则点A

的坐标可以是（B）

A.（-l,2）B.（l,-2）

C.（2,3）D.（3,4）

解析,/一次函数y=kx+3的函数值y随x的增大而减小,％<0,

当x=-l,y=2时,/+3=2,解得％=1>0,选项A错误;当x=l,y=-2时火+3=-2,解得七-5<0,选项B正确;

当x=2j=3时,2-3=3,解得仁0,选项C错误;当x=3,y=4时,3A+3=4,解得上》0,选项D错误，故选

B.

6.（2022石家庄质检，蟀）已知一次函数尸依+分（后0）满足自变量x每增加1个单位长度,函数值y

就增加2个单位长度,以下选项所给的一次函数图象满足这个条件的是（B）

CD

解析•一次函数产区+〃（厚0）满足自变量x每增加1个单位长度,函数值y就增加2个单位长

度,随x的增大而增大，首先排除选项C,D,选项A中自变量x每增加1个单位长度,函数值y

就增加1个单位长度，故选B.

7.（2021福建，村如图，一次函数》比+。伏>0）的图象过点（-1,0）,则不等式k（x-\）+b>0的解集是

(C)

A.x>-2B.x>-1

C.x>0D.x>l

解析将y=kx+b的图象向右平移1个单位，得产Mx-1）+。的图象（如图）,

y=kx+b的图象过点（-1,0）,

.■.y=fc(x-l)+Z>的图象过点(0,0),

，不等式k（x-1）+/J>0的解集是x>0.

故选C.

二、填空题（共3分）

8.（2022天津，得）若一次函数y=x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是

1（答案不唯一，只需方〉0即可）（写出二个即可）.

解析一次函数产x+人的图象经过第一、二、三象限，如图，由图可知。>0.

,y

y=X+6

/

_/_____.

/0X

三'解答题（共16分）

9.（2022石家庄长安质检，镇）如图，直线/i经过A（-l,0）,8（0,l）两点，已知0（4,1）,点P是线段8。上

一动点（可与点B、D重合），直线l2：y=kx+2-2k（k为常数）经过点P,交心于点C.

⑴求直线人的函数表达式;

⑵当仁-|时，求点。的坐标;

⑶在点P的移动过程中，直接写出攵的取值范围.

解析（1）设人的表达式是）=依+仇将A乃坐标代入,

得优蓝=0,解得仁;:

Zi的表达式是y=x+L

⑵当仁・|时,/2的表达式是尸|x+2-2x(-1),

即/2的表达式是y=-|x+5,

=x+1,

联立人、历得=-|x+5,

解得〈：3

ly=7^

...点C的坐标为当).

(3)..•点尸是线段BD上一动点(可与点B、。重合)，

把0(4,1)代入直线b：y=kx+2-2k,得4攵+2-2公1,解得k=-^

把8(0,1)代入直线/2：产依+2-2A,得2-2七1,解得A：=|,

二在点P的移动过程中心或k<

10.(2022廊坊广阳一模，峭)如图,正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，点A、。分别在直线

产2x和x轴上，若点A在直线产2x上运动.

⑴当点A运动到横坐标户3时,写出点C的坐标；

⑵写出41时，直线AC的函数解析式；

⑶若点A横坐标为附且满足19E3,请你求出对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积.

解析(1)当x=3时,y=2x=6,则4(3,6),/.B(9,6),/.C(9,0).

⑵时，产2JF2.'・A(L2),

，8(3,2),，。⑶。),

设直线AC的函数解析式为y=kx+b,

.(0=3k+b,

弋2=k+b,

解得C二J

.\y=-x+3,

即AC的函数表达式为y=-x+3.

⑶对角线AC扫过的四边形的形状为梯形EFCA,

当l<m<3时，由⑵得当m=l时以1,2),此时尸(3,0),

又由⑴知A(3,6),C(9,0),

，△AOC的面fe=i-1x9x6=217,AO£F的面才只=；x3x2=3,

故扫过的面积S梯形EFS=27-3=24.

答:对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积是24.

53提分练

一'选择题(每小题3分，共18分)

1.新形式(2022浙江杭州，嫩0如图，在平面直角坐标系中,已知点P(0,2),点A(4,2).以点P为旋转中

心，把点A按逆时针方向旋转60。,得点B.在/(-今0)欣-信1),牍(1,4),前2,£)四个点中,

直线经过的点是(B)

A.MiB.M2C.MiD.M4

解析•..点44,2),点玳0,2),

：.PA=4.

'：ZAPB=60°,PB=AP=4l

.,.8(2,2+2何

设直线的解析式为产履+。(原0),代入P(0,2),8(2,2+2㈣得《"2b=2+

..Jk=V3,

w=2,

，直线的解析式为y=V3.r+2.

当x=-争寸,y=-1+2=1,

.,.点跖(一今0)不在直线PB上.

当x=-V3时，产-3+2=-1,

・・.M2(-g,-l)在直线P3上.

当x=1时,)=8+2,

・・・林(1,4)不在直线P8上.

当x=2时,)=2b+2,

.•.临（2,3）不在直线PB上.

故选B.

思路分析先求点B的坐标，再由待定系数法求出直线PB的方程，最后代入坐标验证即可.

2.（2022张家口一模，幡）对于点P管彳）和直线/:尸，下列说法正确的是（D）

A.若a=/?=0,则/经过点P

B.若a=Z?=-2,则/不经过点P

C.若a>|句则点P在/上方

D.若。>比>0,则点尸在/下方

解析因为b=0时分式没有意义，所以A错误;若a=b=-2，则义=介化，故/经过点P,所以B

错误;若。=5/=2,则a〉%,但点在/下方，所以C错误;若a>b>Q^']—>刍所以点P在/下

2\33/303

方，所以D正确.

故选D.

3.（2022河北九地市一模，减）如图,正方形ABCD的顶点A.D分别在x轴/轴上，点8（3,1）在直线

l：y=kx+4上，直线/分别交x轴,y轴于点将正方形ABCD沿y轴向下平移机个单位长度后,

点。恰好落在直线/上，则机的值为（B）

A.0.5B.lC.1.5D.2

解析如图，分别过点B和点C作BM1AE交AE于点M.CNA.DF交DF于点N,则

BM=\,OM=3,

将点3(3,1)代入y=Ax+4,解得k=-l,

直线解析式为y=-x+4.

•.•四边形A8CO为正方形,

：.AD=AB=CD,

,：ZOAD+ZBAM=9Q°,ZOAD+ZADO=9Q°,

，NBAM=/ADO,

：./\AOD^ABMA,

：.0A=BM=\,AM=0D=2,

同理可证△CDNQ/\DAO,

：.CN=OD=2,DN=OA=l,

...点C坐标为（2,3）,

将点。向下平移〃?个单位后坐标为（2,3-m）,

将（2,3-加）代入y=-x+4,得3-/〃=-2+4,解得m-1.

故选B.

思路分析首先作8加，4£。/\^。/;；再证44。。且/\3取4小。9厘/\£14。从而求出点C坐标,

得出向下平移加个单位后坐标为（2,3加），代入直线EF解析式即可.

4.（2022石家庄模拟，血如图，在平面直角坐标系中,Q是直线产-3+2上的一个动点（Q在第一

象限），将。绕点P（L0）顺时针旋转90。,得到点°,连接。。，则。。的最小值为（B）

.4Vs

A.—B.V5

5

D.述

c竽5

解析过。作QM_Lx轴于点M过。作Q'N_L无轴于N,

，ZPMQ=ZPNQ'=ZQPQ'=90°l

：.ZQPM+ZNPQ^ZPQ'N+ZNPQ',

：.ZQPM=ZPQ'N,

在△PQM和△QFN中，

(zPMQ=乙PNQ'=90°,

(“PM=^PQ'N,

(PQ=PQ',

，△PQM丝△。尸N(AAS),

,PN=QM,Q'N=PM,

设Q(m,-^m+2),

/.PM=\m-1\,QM=-^m+2,

1

：.0N=3±m,

2,

OQ'2=(3—+(l-m)2=|m2—5m+10=^(/7?-2)2+5,

当〃?=2时,002有最小值，为5,

，0Q'的最小值为逐，

故选B.

难点突破利用“将Q绕点P(L0)顺时针旋转906构造全等三角形，求出旋转后Q，的坐标，然后

根据勾股定理列出含有机的表达式，并利用二次函数的性质即可解决问题.

5.(2022贵州贵阳,/的在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=〃ix+〃(a<〃2<0)的图象如

图所示.小星根据图象得到如下结论：

①在一次函数y=nvc+n的图象中,y的值随着x值的增大而增大；

②方程组已一葭？的解为tZ；3,

③方程mx+n=0的解为x=2；

④当x=0时,QX+〃=-1.

其中结论正确的个数是(B)

A.lB.2C.3D.4

解析由题图可得，在一次函数)=/忒+〃的图象中的值随着尤值的增大而减小,所以①错误;

因为函数y=ax-hb的图象与函数y=mjc+n的图象相交于点G3,2),

所以？一="的解为俨=所以②正确

(y-mx=n(y=2,

因为函数y=nvc+n的图象与x轴交于点(2,0),

所以方程mx+n-Q的解为x=2,所以③正确；

因为函数y=ax+b的图象与y轴交于点(0,-2),

所以当40时,ar+b=-2,所以④错误.

综上，结论正确的个数为2.

6.(2022石家庄新华模拟，姨)如图，在平面直角坐标系xOy中,已知点A(l,0),B(3,0),C为平面内的

动点,且满足NAC3=90。,。为直线产x上的动点,则线段CO长的最小值为(C)

A)A

A.lB.2C.V2-1D.V2+1

解析..点。在以A8为直径的圆上，

45为直径的圆的圆心为E点,如图,

U

zfoACE：Bx

连接DE交G)E于C,

•••A(l,0),8(3,0),

."3=2,

：.AE=\,

：.DC0DE-CE(当且仅当D、C、E共线时取等号)，

即DC<DE-l,

当。直线y=x时,DE最短,£>E的最小值为40E=企，

...线段CO长的最小值为a-1,

故选C.

难点突破利用NACB=90。可判断点。在以A3为直径的圆上，由于DC&DE-CE(当且仅当D、

C、E共线时取等号)，即OCSOE-1,显然DEL直线y=x时，。E最短.

二'填空题(共3分)

7.(2022保定模拟改编,#)如图,已知点A(6,4),直线1\经过点8(0,2)、点C(3,-3),且与x轴交于点

D连接A。、AC,AC与x轴交于点P.

⑴点D的坐标为噌,0)_；

⑵在线段上存在一点Q,使S“DQ=S“DG点Q的