2022年华东师大版八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形攻克试题

八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形专题攻克

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列命题中，是真命题的是（）.A.三角形的外心是三角形三个内角角平分线的交点

B.满足的三个数“，b,c是勾股数

C.对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是矩形

D.五边形的内角和为540°

2、若菱形的两条对角线长分别为10和24,则菱形的面积为（）

A.13B.26C.120D.240

3、如图.在长方形纸片45切中，J5=12,AD=20,所示，折叠纸片，使点4落在欧边上的H处，

折痕为收，当点/在比边上移动时，折痕的端点只0也随之移动.点R0分别在边/6、上移

动，则点4在况边上可移动的最大距离为（）

A.8B.10C.12D.16

4、如图，平行四边形485的边6c上有一动点反连接明以应'为边作矩形应,6F且边我G过点

A.在点E从点8移动到点C的过程中,矩形〃£6■尸的面积（)

A.先变大后变小B.先变小后变大C.一直变大D.保持不变

5、小明想判断家里的门框是否为矩形,他应该（）

A.测量三个角是否都是直角B.测量对角线是否互相平分

C.测量两组对边是否分别相等D.测量一组对角是否是直角

6、己知在平行四边形4阅9中，ZJ=90°,如果添加一个条件，可使该四边形是正方形，那么这个

条件可以是（）

A.NA90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD

7、如图，在边长为正的正方形力腼中，点£是对角线〃'上一点，且口，43于点E连接〃£,当

乙M>E=22.5°时，EF=（）

A.1B.20-2C.V2-1D.-

8、下列说法正确的是（）

A.平行四边形的对角线互相平分且相等B.矩形的对角线相等且互相平分

C.菱形的对角线互相垂直且相等D.正方形的对角线是正方形的对称轴

9、如图，菱形3%在平面直角坐标系中的位置如图所示，ZAOC=45°,OA=g,则点。的坐标为

（）

A.(72，1)B.(1,1)C.(1,V2)D.(y/2+1，1)

10、如图，在正方形46徵中，点反点尸分别在/〃、如上，且AE=DF,若四边形3加的面积是

1,力的长为1,则正方形的边长为（）

C.非D.2有

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）

1,如图，ZACB=90°,AC=BC,〃为AABC外一点，且相＞=即,。£，AC交C4的延长线于£点，若

AE=},ED=3,则8C=______.

2、如图，已知矩形4?四中，4介=3,46=5,后是边加上一点，将庞、绕点4顺时针旋转得到

使得点〃的对应点以落在4?上，如果DE的延长线恰好经过点6,那么鹿'的长度等于

3、如图，在平面直角坐标系道加中，菱形/颔的顶点〃在矛轴上，边比'在y轴上，若点4的坐标

为(12,13),则点。的坐标是—.

4、如图，矩形1以力的对角线4G做交于点。，步在6c边上，连接物并延长交皿边于点儿若创

=1,/OMC=30°,MN=4,则矩形48缪的面积为.

5、一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为24cm和26cm,那么这个平行四边形的面积是

6、(1)它具有平行四边形的一切性质：两组对边分别平行且相等，两组对角,对角线

(2)具有矩形的一切性质：四个角都是_______,对角线相等.

(3)具有菱形的一切性质：四条边相等；对角线互相,每条对角线一组对角.

7、如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,尸为8c中点，P是线段BC上一点，设

BP=m(O<m<^,连结AP并将它绕点夕顺时针旋转90°得到线段PE,连结CE、EF,则在点〃从

点5向点。的运动过程中，有下面四个结论：①当加片2时，NEFP=135°；②点£到边BC的距离为

俄③直线EF一定经过点。；④CE的最小值为其中结论正确的是.(填序号即可)

8、如图，已知正方形力成力的边长为6,E为CD边上一点,将绕点4旋转至ZMBE,连接

EE',若£)E=2,则的长等于.

9、菱形的面积：

(1)面积=___________

(2)面积=两条对角线的长的乘积的

10、如图，在AABC中，ZACB=90°,AB=y/5,BC=1,P是线段A8边上的动点(不与点A,B重

合)，将A8CP沿CP所在直线翻折，得到连接8”,当*A取最小值时，则AP的值为

三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）

1、如图，在口力四中，对角线4G劭交于点0,£是劭延长线上一点，且△力应是等边三角形.

（1）求证：四边形46口是菱形;

（2）若/AED=2NEAD,AB=a,求四边形46。的面积.

2、正方形四切边长为6,点少在边4?上（点后与点4、6不重合），点尺G分别在边6aADk

（点6与点6、C不重合）,直线FG与应相交于点H.

图

图13

⑴如图1,若/GHD冯0°,求证：G4DE；

⑵在（1）的条件下，平移直线尸G,使点G与点4重合，如图2.联结〃尸、EF.设庐x,△颂的

面积为y，用含x的代数式表示y；

（3）如图3,若/盟＞45°,且B片2AE,求尸G的长.

3、求作：矩形48切，使它的对角线AC=a,且对角线夹角为60°.

4、如图，在平行四边形40中，BELAD,BFLCD,垂足分别为£,F,且4'=*

(1)求证：平行四边形力颇是菱形；

(2)若庞=10,48=13,求平行四边形48(力的面积.

5、如图，已知在AABC中，ZA=90°,求作正方形皿姑，使得〃，E,夕分别在仍BC,然上.

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

正确的命题是真命题，根据定义解答.

【详解】

解：A.三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，故该项不符合题意;

B.满足02+匕2=02的三个正整数。，人,。是勾股数，故该项不符合题意；

C.对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是菱形，故该项不符合题意;

D.五边形的内角和为540°,故该项符合题意；

故选：D.

【点睛】

此题考查了真命题的定义，正确掌握三角形外心的定义，勾股数的定义，中点四边形的判定定理及多

边形内角和的计算公式是解题的关键.

2、C

【解析】

【分析】

根据菱形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：：菱形的两条对角线长分别为10和24,

.••菱形的面积为:xl0x24=120,

故选：C.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的面积公式.

3、A

【解析】

【分析】

根据翻折的性质，可得为'与4。的关系，根据线段的和差，可得©C,根据勾股定理，可得

A'C,根据线段的和差，可得答案.

【详解】

解：①在长方形纸片46(6中，AB=12,AD=20,

：.B(=AD=2Q,

当。与6重合时，BA'=为=12,

CA'^BC-BA'=20T2=8,

②当。与〃重合时，

由折叠得/D=AD=20,

由勾股定理，得

CA'=y/Ab1-CD2=7202-122=16,

CA'最远是16,CA'最近是8,点/在比'边上可移动的最大距离为16-8=8,

故选：A.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键.

4、D

【解析】

【分析】

连接力反根据S△ADE=&S矩形DEG尸'S&ADE=/aABCD'推出S矩形DEGF=SQABCD,由此得到答案.

【详解】

解:连接第

•SjDE=2S矩形0EG尸'SJDE=]SOABCD'

S矩形DEGF=^oABCD，

故选：D.

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正确连接辅助线451是解题的关键.

5、A

【解析】

【分析】

根据矩形的判定方法解题.

【详解】

解：A、•••三个角都是直角的四边形是矩形，

，选项A符合题意；

B、•.・对角线互相平分的四边形是平行四边形，

二选项B不符合题意，

C、・••两组对边分别相等的四边形是平行四边形，

二选项C不符合题意；

D、・•・一组对角是直角的四边形不是矩形，

••・选项D不符合题意；

故选：A.

【点睛】

本题考查矩形的判定方法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

6、I)

【解析】

略

7、C

【解析】

【分析】

证明N8E=NCED=67.5。，则C£>=CE=VL计算AC的长，得AE=2-&，证明WE是等腰直角三

角形，可得EF的长.

【详解】

解：,••四边形ABCO是正方形，

:.AB=CD=BC=®,NB=Z4DC=90°,NBAC=NC4T>=45°,

\AC=&AB=2,

vZA£>E=22.5°,

NCDE=90°-22.5°=67.5°,

NCED=ZCAD+ZADE=45。+22.5°=67.5°,

；.NCDE=NCED,

:.CD=CE=立，

AE=>

EFA.AB,

:.ZAFE=90°,

是等腰直角三角形,

AE

3=母-1,

故选：C.

【点睛】

本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在

正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型.

8、B

【解析】

【分析】

根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理判断即可.

【详解】

解：平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，力错误；

矩形的对角线相等且互相平分，8正确；

菱形的对角线互相垂直，不一定相等，C错误；

正方形的对角线所在的直线是正方形的对称轴，〃错误；

故选：B.

【点睛】

本题考查了命题的真假判断，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键.

9、B

【解析】

【分析】

作切_Lx轴，根据菱形的性质得到妒以=也，在.RtAOCD中,根据勾股定理求出切的值，即可得

到C点的坐标.

【详解】

：作切_Lx轴于点〃,

y

则N5390。，

•.•四边形力比•是菱形，OA=g,

:.OOOA=近,

又：/4妗45°,

：.Z00>90°-ZAO（=90°-45°=45°,

：.^DOOZ.OCD,

：.CD=OD,

在欣△0G9中，叱及，CEf+Olf=O（f,

：.2OIS=2,

：.0户=3

：.OD=CD=\（负值舍去），

则点C的坐标为（1,1）,

故选：B.

【点睛】

此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和等腰直角三角形的性

质求出OD=CD=\是解决问题的关键.

10、C

【解析】

【分析】

根据正方形的性质得到4左NBA琮NAD广90°,根据全等三角形的性质得到N45户N%F,求得

N4妙90°,根据三角形的面积公式得到力=1,由勾股定理即可得到答案.

【详解】

解：：四边形4?5是正方形，

J.A&-AD,NBAE=4AD六90°,

在△力应1与△加尸中，

AB=AD

"ZBAE=ZADF,

AE=DF

：./\ABE^/\DAF(S45),

/AB&/DAF,

:.NABE+NBAO=NDARNBAO=90°,

：.ZAOB=90°,

•.•△45匡△为兄

:.SXAB方SXDAF,

：.S^ABE-S/\AOE^S/\DAF^S/\AOE,

即S/\ABO^S国边形OEDF^l,

VQ4=1,

:.BB2,

4庐yjACP+BO2=石，

故选：c.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得△4?3△物厂是解题的关

键.

二、填空题

1、2

【解析】

【分析】

过点〃作仅吐力于必，证出/%£=/施弘判定△4!匡△龙以得到〃生/3,证明四边形面是矩

形，得到龙=〃佐3,由A氏1,求出

【详解】

解：'：DELAC,

：.ZE=ZC^O°,

二CB//ED,

过点〃作〃匕3于机则乙生90°=N£,

'：AD=BD,

：.NBAD=/ABD,

'：AC=BC,

：.ACAB=^CBA,

...NDAE=4DBM,

:.△AD的XBM

:.DM=D53,

'：ZE=ZC=ZM-90°,

四边形物必是矩形，

：.CE=DM-Z,

•:止1,

：.BC=A(=2,

故答案为：2.

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，等边对等角证明角度相等，正确引出辅助

线证明侬△应必是解题的关键.

【解析】

【分析】

如图，连接应；BE',根据矩形的性质和旋转变换的性质可得：AD'=4)=3,ZAD'E=4D=

90°,利用勾股定理可得8〃=4,再运用等面积法可得：AB-AD=AE*BD,,求出再运用

勾股定理即可求得答案.

【详解】

解：如图，连接6氏BE',

:矩形力及力中，49=3,AB=5,

：.ZD=90a,

由旋转知，E'^/XADE,

：.AD'=AD=3,NAD'£=/Z?=90°,

，：D'E'的延长线恰好经过点6,

6=90°，

在Rt4ABD'中，BD'=^AB2-AD2=752-32=4,

'：SAAB*AB*AD=gAE*B〃,

ABAD5x315

/.AE=

BD---T

._________/159

在RtAADE中，DE=^AE2-AD2=J(^)2-32=-,

9

故答案为：

【点睛】

本题考查矩形的性质、旋转性质、勾股定理、三角形的面积，熟练掌握矩形性质和旋转性质，会利用

等面积法求解是解答的关键.

3、(0,-5)

【解析】

【分析】

在厦中，利用勾股定理求出/即可解决问题.

【详解】

解:-：A(12,13),

.•.勿=12,4M3,

•.•四边形加力是菱形,

在服△如C中，oc=Jc£)2-O£>2=5,

."(0,-5).

故答案为:(0,-5)

【点睛】

本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

4、4+4石##4厉+4

【解析】

【分析】

过点N作NE工BC交于点、E,由矩形力腼得。3=。£>,NOBM=NODN,根据AS4可证

4BOM以DON,故可得CE=OV=3M=1,由直角三角形30。角所对的边为斜边的一半得出

CD=EN=；MN=2,根据勾股定理求出用E,从而得出BC,由矩形的面积公式即可得出答案.

【详解】

如图，过点A，作NEL3c交于点£,

•••四边形4仇》是矩形,

：.OB=OD,4OBM=4ODN,

•?/BOM=/DON,

.・・&BOM-DON(ASA),

，CE=DN=BM=1,

NOMC=30。，

CD=EN=>MN=2,

2

；•ME=-^MN--EN2=V42-22=273，

二3c=1+2肉1=2+26，

矩形

S48co=(2+2#)X2=4+4G.

故答案为：4+4>/3.

【点睛】

本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及勾股定理，掌握相关知识点

的应用是解题的关键.

5、312cm2

【解析】

略

6、相等互相平分直角垂直平分

【解析】

略

7、②③④

【解析】

【分析】

①当P在F点的右边时，得出/£FP=NCFO=45。即可判断;

②证明出Rt^ABP^Rt^PGE(AAS)即可判断；

③根据—CDF为等腰直角三角形，得出RSGEF都是等腰直角三角形，得到NEFG=45。即可判断;

④当〃时•，CE有最小值，计算即可.

【详解】

解：•;CD=AB=2,CF=gBC=2,

.•.R/ACOF为等腰直角三角形，

:.ZCFD=45°,

当P在F点的左边时，

2EFP=180O-ZCFD=135。，

当尸在F点的右边时，

:.NEFP=NCFD=45。,

故①错误；

过点E作EG1.8C,

在RhABP和RtAPGE中,

根据旋转的性质得：AP=PE,

•/ZAPS+NBAP=ZAPB+ZEPG=90°,

；./BAP=NEPG,

Rt4ABgRtAPGE(AAS),

EG=BP=mf

故②正确；

由①中得知RLCDF为等腰直角三角形,

■.-EG//DC,

所也是等腰直角三角形，

.•.ER过点。，

不管一在8C上怎么运动，

得到aAG£F都是等腰直角三角形，

:.ZEFG=45°,

即直线EF一定经过点。，

故③正确；

RtCDF是等腰直角三角形，

当CE1./）尸时，CE有最小值，

:.ZDCE=ZECF=45°,

Rt犀EF为等腰直角三角形,

:.CE=EF,

-.-CF=2,

由勾股定理:

CE2+EF-=CF-,

故④正确；

故答案是：②③④.

【点睛】

本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰

直角三角形，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理.

8、4石

【解析】

【分析】

在正方形/刈力中，BE'=〃£=2,所以在直角三角形炉龙中，E'C=8,CE=\,利用勾股定理求得

EE'的长即可.

【详解】

解：在正方形4m9中，ZC=90°,

由旋转得，BE'=DE=2,

：.E'C=8,CE=4,

...在直角三角形£四中，

EE'=^EC2+EC2=V82+42=4x/5.

故答案为4石.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、旋转的性质与勾股定理的知识，正确的利用旋转和正方形的性质得出直角

三角形边长并正确的应用勾股定理是解题的关键.

9、底X高一半

【解析】

略

10、白石##3叵

【解析】

【分析】

根据翻转变换的性质可知比‘=。8'=1，当尔夕、C三点在一条直线上时，有最小值，根据题意

作图，过0点作〃吐8aPQLAC,得到四边形夕0。/是正方形，利用面积法求出闾的长，再根据勾

股定理求出加＞的长.

【详解】

解：•在AABC中，ZAC8=90。，AB=逐,BC=1

：.AC=ylAB2-BC2=2

由翻转变换的性质可知：BC=CB'=\,故当48'、。三点在一条直线上时，48,有最小值，

过P点作PHLBC,PQVAC,

：.乙AC*4PHe4PQO90。

四边形PQCH是矩形

•.•翻转

：.PH=PQ

四边形PQCH是正方形

设Pgx,则PIkx

'：SAABOSAAPC+SAPBC

：.-BCxAC=^BCxPH+^PQxAC

BD—xlx2=—xlxx+—xx2

222

2

解得A=1

故答案为：1\/5.

【点睛】

本题主要考查的是翻转变换的性质、线段的性质，根据题意找到"的位置是解题的关键.

三、解答题

1、（1）见解析；（2）正方形/版的面积为2

【解析】

【分析】

(1)由等边三角形的性质得RXL4G即以，/G再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可

得出结论；

(2)证明菱形/6如是正方形，即可得出答案.

【详解】

(1)证明：•.•四边形四口是平行四边形，

：.AO=OC,

•.•△力/是等边三角形，

：.EO±AC(三线合一)，

即BDLAC,

力是菱形；

(2)解：♦.•△4龙是等边三角形，

，Z£4C=60°

由(1)知，EOVAC,AO^OC

:.NAE0=/0EC=3Q：△4应是直角三角形，

"：ZAED=2,ZEAD,

夕19=15°,

：.ZDAO=ZEAO-ZEAD=45°,

•.•朝腼是菱形，

：.ZBAD=2ZDAO=90°,

菱形ABCD是正方形,

正方形ABCD的面积=疵=/.

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知

识，证明四边形力8口为菱形是解题的关键.

2、(1)见解析

⑵尸g*-3x+18(0<%<6)

⑶3亚

【解析】

【分析】

(1)如图1中，作〃6G交助于机CM交DE千点、K.只要证明四边形6肌/'是平行四边形，

△49%△〃C”即可解决问题：

(2)根据卷故》5/\比片5△的计算即可解决问题；

(3)如图3中，将△/!鹿绕点，逆时针旋转90°得到△〃&伙作.DN〃GF交BC于点、N,连接封由

△ND监△NDM〈SA。、推出小用/,由4斤6,BB=2AE,推出｛氏2,鹿4,设C忙x,则班区6-x,

EN=MN=2+x,在/△£，班中，根据励M组'+8%构建方程求出x,再在打△戊》中，求出&V即可解决

问题.

(1)

证明：如图1中，作CM"FG交AD于M,CM交庞于点K.

图1

♦.•四边形力6切是正方形,

：.AD=CD,AD//BC,ZA=ZAD(=90a,

'：CM//FG,DELFG,

.四边形。加萨是平行四边形，CMIDE,

:.CM-FG,ZCKD=90°

:./CDE+/DC的9C,ZJZ^ZCZ^90°,

4AD芹4DCM,

:AAD^ADCM(ASA),

:・C归DE,

：.DB-FG.

⑵

如图2中,

■:A百DE,AAA&/〃4氏/庐90°,

:.XADEgl\BAF〈SAS'),

：.AE=BF,

■:A斤BC,

:・B序CRx,

：.尸SXDEF^S裕彩EBCD-S4DCASXEFB

=gx(x+6)X6-gx6X『g><x(6-x)

=3x+18-3肝；/-3x

二次一3户18(0VxV6).

(3)

如图3中，将△/座绕点〃逆时针旋转90。得到XDCM.悴DN〃GF交BC于点N,连接觊

图3

则四边形〃GRV是平行四边形，

・・・N&ZgN67介