08年2+2高等数学试卷+答案

2008年浙江省普通高校“2+2”PAGEPAGE4第页，共11页报考学校报考学校：_____________报考专业：______________________姓名：准考证号：密封线2008年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学》试卷题号一二三四五总分复核得分考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。得分阅卷人一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分）1．=.2．=.3.已知，则=.4.已知为二维列向量,矩阵A=(),B=(),若行列式,则.5．若矩阵A=,E为二阶单位阵,矩阵B满足,则B=.6.将3个乒乓球随机地放入4个杯子中去,杯子中乒乓球的最大数为2的概率值为.得分阅卷人二．选择题.（本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．函数在区间[-1，a]上的平均值是1，则a=().（A）-1（B）0（C）1（D）22.点是二元函数的().（A）极小值点；（B）极大值点；（C）驻点，但一定不是极值点；（D）驻点，但无法确定是否是极值点.3．函数（）是函数的一个原函数.（A）；（B）；（C）；（D）.4.设是四元非齐次线性方程组的三个解向量,且秩r(A)=3,,c表示任意常数,则线性方程组的通解X=().(A)(B)(C)(D)5.若的概率密度函数为则系数().(A)1(B)(C)(D)已知一元函数可导，二元函数可微；，，；设，求.4．（1）利用正项级数判敛方法说明级数是收敛的；（2分）（2）求出上面收敛级数的和.（7分）报考学校：_____________报考专业：______________________姓名：准考证号：密封线5．设,A=,E为三阶单位阵,报考学校：_____________报考专业：______________________姓名：准考证号：密封线6..已知在10个产品中有2个次品,现在其中任取两次,每次任取一只,作不放回抽样,求下列事件的概率:(1)两只都是次品的事件;(2)第二次取出的是次品的事件.7.设是两个相互独立的随机变量，在（0，1）上服从均匀分布，的概率密度为;求：（1）和的联合概率密度；（2）关于的二次方程有实根的概率值(已知.得分阅卷人四．应用题：（本题共3个小题，每小题10分，共30分）一帐篷，下部为圆柱形，上部覆以圆锥形的篷顶（如图所示）。设帐篷的容积规定必须是立方米，试设计出篷布用料最小的方案及求出此时的篷布用料数.(圆锥体体积计算公式是，其中是底圆半径，是圆锥高；扇形面积计算公式是，其中是扇形半径，是扇形弧长）2.设矩阵A=,其行列式,又A的伴随矩阵有一个特征值,属于的一个特征向量为求和的值.报考学校：_____________报考专业：______________________姓名：报考学校：_____________报考专业：______________________姓名：准考证号：密封线3.一工厂生产的某种设备的寿命(以年计)服从指数分布,概率密度为.工厂规定,出售的设备若在一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.得分阅卷人五．证明题：（本题共2个小题，第一小题6分，第二小题7分，共13分）1．设函数在上连续，；在内可导，且导数值处处大于零.试证：在曲线上必定存在某一种点，该种点在x轴上的投影将会平分x轴上的线段AB；其中A是曲线上过P点的切线与x轴的交点，B是x轴上的点(1,0).设A为×实矩阵,为阶单位阵,矩阵,试证明:当时,矩阵为正定矩阵.报考学校：__________________报考专业：______________________姓名：报考学校：__________________报考专业：______________________姓名：准考证号：密封线2008年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学》试卷评分标准得分阅卷人一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分）1．=.2．=12.3.已知，则=44.已知为二维列向量,矩阵A=(),B=(),若行列式,则().5．若矩阵A=,E为二阶单位阵,矩阵B满足,则B=().6.将3个乒乓球随机地放入4个杯子中去,杯子中乒乓球的最大数为2的概率为().得分阅卷人二．选择题.（本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．函数在区间[-1，a]上的平均值是1，则a=(D).（A）-1（B）0（C）1（D）22.点是二元函数的(C).（A）极小值点；（B）极大值点；（C）驻点，但一定不是极值点；（D）驻点，但无法确定是否是极值点.3．函数（D）是函数的一个原函数.（A）；（B）；（C）；（D）.4.设是四元非齐次线性方程组的三个解向量,且秩r(A)=3,,c表示任意常数,则线性方程组的通解X=(B).(A)(B)(C)(D)5.若的概率密度函数为则系数(D)(A)1(B)(C)(D)得分阅卷人三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共7个小题，每小题9分，共63分）计算.解：………….2分…………..………7分……………..…..9分2．广义积分是否收敛？如收敛，计算其值；如不收敛，说明理由。解：收敛…………..……1分…………3分………………..6分…………….7分………..…8分…………………9分3.已知一元函数可导，二元函数可微；，，；设，求。解：………...3分…….…...7分………………..8分…………….…9分4．（1）利用正项级数判敛方法说明级数是收敛的；（2分）（2）求出上面收敛级数的和。（7分）.(1);….…..1分收敛……………….…..2分(2)考虑幂级数它的收敛区间是；…..…..1分和函数，….2分,其中.…..…3分；…..4分………5分.；….6分………………7分5．设,A=,E为三阶单位阵,求.解:………………..2分,……………4分,…………………..6分报考学校：__________________报考专业：______________________姓名：准考证号：报考学校：__________________报考专业：______________________姓名：准考证号：密封线6..已知在10个产品中有2个次品,现在其中任取两次,每次任取一只,作不放回抽样,求下列事件的概率:(1)两只都是次品事件;(2)第二次取出的是次品事件.解:设为事件“第次取出的是正品”，则（1）………………..2分………………4分（2）……….7分……………………..9分7.设是两个相互独立的随机变量，在（0，1）上服从均匀分布，的概率密度为;求：（1）和的联合概率密度；（2）关于的二次方程有实根的概率(已知.解:(1)……………….1分由于和相互独立,因此和的联合概率密度为…..3分(2)方程有实根的充要条件为,即,…………….4分所以方程有实根的概率为………..6分………………..9分得分阅卷人四．应用题：（本题共3个小题，每小题10分，共30分）一帐篷，下部为圆柱形，上部覆以圆锥形的蓬顶（如图所示）。设帐篷的容积规定必须是立方米，试设计出篷布用料最小的方案及求出此时的蓬布用料数。（扇形面积计算公式是，其中是扇形半径，是扇形弧长）设圆柱高为H,圆锥高为h,圆柱底半径为R;帐篷的容积………….约束条件;…………1分..篷布用料……...2分.令……………4分求的驻点：………..….5分由（1）得；由（3）得（5）由（2）得…………………..……..…8分..代入约束条件：米；米；米;因为驻点唯一，且由实际问题意义知必有最小值，故篷布用料最小的方案是米；米；米；……...9分平方米……...10分..2.设矩阵A=,其行列式,又A的伴随矩阵有一个特征值,属于的一个特征向量为求和的值.解:………………..……..1分,…………..3分………………..5分……….6分(1)+(3)得=1,代入(2),(3)得,………………..8分所以…………….……10分3.一工厂生产的某种设备的寿命(以年计)服从指数分布,概率密度为.工厂规定,出售的设备若在一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元,调换