2023年黑龙江省牡丹江市普通高校对口单招数学自考真题(含答案)

2023年黑龙江省牡丹江市普通高校对口单

招数学自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（10题）

1.正方形ABCD的边长为12,PA,平面ABCD,PA=12,则点P到对

角线BD的距离为（）

A.12后

B.12应

C.6后

D.6而

等差数列中，=-5,”，=一1则%=

2.

A.3

B.8

I

3.顶点坐标为(一2,-3),焦点为F(-4,3)的抛物线方程是()

A.(y-3)2=-4(x+2)

B.(y+3)2=4(x+2)

C.(y-3)2=8(x+2)

D.(y+3)2=8(x+2)

4.AB>0是a>0且b>0的()

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.过点A(l,0),B(0,1)直线方程为()

A.x+y-l=0B.x-y-I=0C.x+y+l=0D.x-y+l=0

6.设集合={1,2,3,4,5,6,},M={1,3,5},则CuM=()

A.{2,4,6}B.{1.3,5}C.{1,2,4}D.U

7.下列函数中，在其定义域内既是偶函数，又在(-8,0)上单调递增的函

数是()

A.f(x)=x2

B.f(x)=2w

C.f(x)=log2l/|x|

D.f(x)=sin2x

8.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-l=0的距离为1,则a=()

A.-4/3

B.-3/4

C.J3

D.2

实数3与12的等比中项为

9.

A.7.5

±6

B.

C.6

10.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()

A.(x-l)2+(y-l)2=l

B.(x+l)2+(y+l)2=l

C.(x+lF+(y+1)2=2

D.(x-l)2+(y-l)2=2

二、填空题(10题)

11.设A=(-2,3),b=(-4,2),则|a-b|三。

12.己知两点A(-3,4)和B(L1),则

⑵T)'

13./展开式中，x4的二项式系数是

14.执行如图所示的流程图，则输出的k的值为

干

15.如图是一个程序框图，若输入x的值为8,则输出的k的值为

函数,/(-V)=3sin4工的最小正周期为

16.

]7.若(2]+】)3=/+4/+。/'+与/，则为+盯+与=

18.已知一个正四棱柱的底面积为16,高为3,则该正四棱柱外接球的

表面积为.

19.椭圆x2/4+y2/3=1的短轴长为_.

20.已知aABC中，ZA,ZB,NC所对边为a,b,c,C=30°,a=c=2.

则b=.

三、计算题(5题)

21.某小组有6名男生与4名女生，任选3个人去参观某展览，求

(1)3个人都是男生的概率；

(2)至少有两个男生的概率.

22.设函数f(x)既是R上的减函数，也是R上的奇函数，且f(l)=2.

(1)求f(-l)的值;

(2)若f(t2-3t+l)>-2,求t的取值范围.

23.己知直线1与直线y=2x+5平行,且直线1过点(3,2).

(1)求直线1的方程；

(2)求直线1在y轴上的截距.

24.甲、乙两人进行投篮训练，己知甲投球命中的概率是1/2,乙投球

命中的概率是3/5,且两人投球命中与否相互之间没有影响.

(1)若两人各投球1次，求恰有1人命中的概率；

(2)若两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率.

25.求焦点x轴上，实半轴长为4,且离心率为3/2的双曲线方程.

四、简答题(10题)

26.己知边长为a的正方形ABCD,PAJL底面ABCD,PA=a,求证,

PC±BD

27.求到两定点A(-2,0)(1,0)的距离比等于2的点的轨迹方程

41.____12

28.计算冷'(°2歹一行+卜赤

29.在ABC中，AC±BC,ABC=45。，D是BC上的点且ADC=60。,

BD=20,求AC的长

30.已知平行四边形ABCD中，A(-1,0),B(-1,-4),C(3,-

2)，E是AD的中点，求的远。

31.四棱锥S-ABCD中，底面ABOD为平行四边形，侧面SBC_L底面

ABCD

(1)证明：SA±BC

32.已知双曲线C：土泊—的右焦点为约20),且点写到C

的一条渐近线的距离为贬.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设P为双曲线C上一点，若|PFi|=,求点P到C的左焦点玛的距

离.

33.如图，在直三棱柱45c-4瓦。1中，已知4c,犯，M=2/C=C0=1

(1)证明：ACJ_.BC；

(2)求三棱锥6处「的体积.

34.某商场经销某种商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买，根

据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6,求3为顾客中至

少有1为采用一次性付款的概率。

Vl-2sin10cos10

35.化简coslO-Tl-smJ100

五、解答题(10题)

36.

已知数列｛t｝是等差数列，bi=l.bi+b；-...-bn)=l45.

⑴求数列｛bn｝的通项公式bn；

⑵设数歹|J｛%｝的通项an=logj1+y)(其巾a〉()且a=D记S°是数列｛aj的前n项和，试比较

Sn与!10gn+l的大小，并证明你的结论.

37.已知函数f(x)=x2-2ax+a,

⑴当a=2时,求函数f(x)在［0,3］上的值域；

⑵若a<0,求使函数f(x)=x2-2ax+a的定义域为［—1,1］,值域为［一2,2］

的a的值.

38.已知函数f(x)=log21+x/l-x.

(1)求f(x)的定义域；

(2)讨论f(x)的奇偶性；

⑶用定义讨论f(x)的单调性.

39.已知函数f(x)=sinx+cosx,x£R.

(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；

(2)函数y=f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换得到？

40.

已知向段a=(-Lcos。)，I=(sm6,2),m求38s1*一/+45必26

的值

41.

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,

在正方体中，设8c的中点为M,GH的中点为N。

（I）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）

（II）证明：直线MN//平面8。”

（III）求二面角A-EG-M余弦值

42.

设A是由〃个有序实数构成的一个数组，记作：A=（如生，|||必|||9）.其中4

（i=1.2,”卜〃）称为数组A的"元",，称为《的下标.如果数组S中的每个"元"都

是来自数组A中不同下标的"元"，则称S为4的子数组.定义两个数组

A=（«ra2.|||.«n）,B=g也也）的关系教为C（A.8）=+生仇+111+«„/?„.

〔I〕若4=（，、），8=（」，123）,设S是8的含有两个"元"的子教组，求

aAS）的最大值；

-J3

〔□〕若4=),B=Ca.b,c),且cJ++J=],S为8的含有二

个"元"的子数组，求。AS）的最大值.

43.已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=l(a>b>0)的两焦点分别FiE点P在椭圆C

上，且NPF2B=90°,|PFI|=6,|PF2|=2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在直线L与椭圆C相交于A、B两点，且使线段AB的中点

恰为圆M:x2+y2+4x-2y=0的圆心，如果存在，求直线1的方程；如果不

存在，请说明理由.

44.已知等差数列｛an｝的前72项和为Sn,a5=8,S3=6.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)若数列｛an｝的前k项和Sk=72,求k的值.

45.

一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一

次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获

得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每

次击鼓出现音乐的概率为』，且各次击鼓出现音乐相互独立.

2

(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列；

(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

六、单选题(0题)

46.函数/（x）=-3+"-x'在3）上单调递增，则a的取值范围是

（）

A.a>6B.a<6C.a>6D.-8

参考答案

1.D

连结4。交于0,由线面垂直的判定与性质

证出平面P4C,从而得到PO_LB。，可

得P。长就是点P到的距离.在R9PAO

中，利用勾股定理算出P。，即可得到点P到

8。的距离.

2.A

3.C

四个选项中，只有C的顶点坐标为（-2,3）,焦点为（-4,3）o

4.B

a大于0且b大于。可得到到ab大于0,但是反之不成立，所以是必

要条件。

5.A

直线的两点式方程.点代入方程验证.

6.A

补集的运算.CuM={2,4,6).

7.C

函数的奇偶性，单调性.函数f(x)=x2是偶函数，但在区间Goo,0)上单调

递减，不合题意；函数f(x)=2冈是偶函数，但在区间(-00,0)上单调递

减，不合题意；函数f(x)=10g21/|x|是偶函数，且在区间(-8,0)上单调

递增，符合题意；函数f(x)=sin2x是奇函数，不合题意.

8.A

点到直线的距离公式.由圆的方程x2+y2-2x-8y+130得圆心坐标为(1,

|1X0+4-1i

4),由点到直线的距离公式得d=1,u',解之得a=-4/3.

9.B

10.D

圆的标准方程.圆的半径r

=+Pda•:.圆的方程为(工一))'+《》一

1尸=2.故选D.

逐。a-b=(2,l),所以上”=逐

12.

由已知可得力(—3,4)和/3(1,1)

则至5=(4,-3)

故可得|彳3|=/16+9=5

综上所述，答案是：5

13.7

14.5

程序框图的运算.由题意，执行程序框图，可得k=l,S=l,S=3,k=2不

满足条件S>16,S=8,k=3不满足条件S>16,S=16,k=4不满足条

件S>16,S=27,k=5满足条件S>16,退出循环，输出k的值为5.故

答案为：5.

15.4

程序框图的运算.执行循环如下：x=2x8+l=17,k=l;x=2xl7+l=35,k=2

时；x=2x35+l=71,k=3时；x=2x71+l=143>115,k=4,此时满足条件.

故输出k的值为4.

16.7T/2

17.27

18.41K,由题可知，底面边长为4,底面对角线为彳企,外接球的

直径即由高和底面对角线组成的矩形的对角线，所以外接球的直径为

2r=(4V2)2+32=V41

2,外接球的表面积为

S=44厂2=417r

19.2、g椭圆的定义.因为b?=3,所以短轴长2b=2、'？

20.三角形的余弦定理.a=c=2,所以A=C=30o,B=120。,所以b2=a2+c2-

2accosB=12,所以b=

21.

解：(1)3个人都是男生的选法：Cl

任意3个人的选法：C；。

C31

3个人都是男生的概率：尸=m=2

Go6

(2)两个男生一个女生的选法：C：C：

出+*：_2

至少有两个男生的概率尸=

%3

22.解：

⑴因为耳刈=在区上是奇函数

所以f(-x)=-f(x),f(-1)=-f(1)=-2

(2)f(t2-3t+1)>-2=f(-1)

因为£仅)=在R上是减函数,t2-3t+1<-1

所以1<t<2

23.解：(1)设所求直线I的方程为:2x-y+c=0

•.•直线I过点(3,2)

6-2+c=0

即C=-4

.,•所求宜线I的方程为：2x-y-4=0

(2)；当x=0时，y=-4

直线I在y轴上的截距为-4

24.

解1记甲投球命中为事件A,甲投球未命中为事件7：乙投球命中为事件瓦乙投球未命中为事件》.则:

PG4)=；；pa)=：；p(B)="函=：

(1)记两人各投球I次,恰£1人命中为事件C.则

__12131

P(C)=P(/l).P(B)+P(/l).P(B)=-x-+-x-=-

(2)记两人各投球2次4次投球中至少有1次命中为货件D,则.两人各投球2次，4次投球中全未命中为事

件方

--一一一1122.124

P(D)=l-P(D)=l-P(/l).P(/i).P(B)*P(«)=l--x-x-x-=l--=—

ZZ33X3

25.解：

实半轴长为4

Aa=4

e=c/a=3/2,.'.c=6

.*.a2=16,b2=c-a2=20

«1

上乙I

双曲线方程为16X

26.证明：连接AC

PA_L平面ABCD,PC是斜线，BD±AC

PC±BD(三垂线定理)

27.

设中点P(X,y)由题意得

电1=2

陷，又A(-2,0),B(1,0)

，(x+2)2+y2

=2

.而+1尸+y2

得x2-4x+y2=0或(x-2)2+y2=4

28.

ii1i.412

原式=(»+(»+3X(»+1=GX2-2+、+1=5

29.在指数^ABC中，NABC=45。，AC=BC

皂

在直角AADC中，NADC=60。，CD=7AC

CD=BC-BD,BD=20

，吏AC=AC-20……«口

则3,则AC=30+10J3

30.平行四边形ABCD,CD为AB平移所得，从B点开始平移，于是

C平移了(4,2),

所以，D(-l+4,0+2)=(3,2),E是AD中点，E[(-l+3)/2,

(0+2)/2]=(1,1)

向量EC=(3-1,-2-1)=(2,-3),向量ED=(3-1,2-1)=(2,1)

向量EC*向量ED=2x2+(-3)xl=l。

31.证明：作SO_LBC,垂足为O,连接AO

,侧面SB_L底面ABCD

ASO，底面ABCD

VSA=SB.\0A=0B

又•.•ABC=45o；.AOB是等腰直角三角形

则OA±OB得SA±BC

32.(1)3双曲线C的右焦点为Fi(2,0),.*.c=2

-JL=V2

又点B到Cl的一条渐近线的距离为6,JJ+从，即以

震Q

C

解得b='J：；

J=1-/=激双曲线C的标准方程为W-二=I

22

（2）由双曲线的定义得「用-归刚=2夜

..|PFa|-V2|=2^解得色|=1/5

故点阕C的左焦点F更）距离为

33.

（1）证明：：直三棱柱从_L平面力8c-44G,Ct,平面ABC

又：BCU平面ABU.BCJLCG

...A1±BC又，4cg=c

ACcq平面/CC14

・•.BC_L平面2cq4

:ACJ_平面accM

..AC_LBC

(2)AB=2,AC=1,AC±BC,.・.BC=6

nARC1=：.S&ASC'BB\=-------1/311=-^―

三棱港4TBec的幅只片3但1326

34.

P=l-(1-0.6)3=l-0.064=0,936

35.

ei、J(sinlO-cos10

解:原式「--------一、—

cos10-vcos?100

_|sin10-coslO|_coslO-sin10_।

sinlOTcoslOOcoslO-sinlO

36.

!\=1

b、=1

（1）设数列附：｝的公差为/由题意得1000-1)-,仇=3〃-2

1()/71+J=145d=3

(2)由儿=3”-2知

5,.=loga(1+1)+!ogu(1+—尸…+k>d,(1+---------)

43M-2

=log,,[(1+1)(!+-)...(1+——)1

43/1-2

而!Io浜d+1=10加收二7.于是，比鼓S"与110gl,仇+|的大小。比较(1+1)(1+；)…(1+

不匕)与师Z的大小•

取"=1,有(1+1)=强>叫=行币

取〃=2,有(1+1)(1+5>我：V3x2+l

推测：d+i)(i+4)-(1+v-^»V^7T「)

43n-2v

①当〃=1时，已验证()式成立.

②假设〃以(应1)时(')式成立，gP(l+l)(l+-)...(K——)>麻17

43K-2v

则当〃2+1时，(1+1)(1+2)-(1+—-!—)(!+——L~-)>^/3A+|(l+—1—)

43k-23(A:+1)-23K+1

•••J3A+1尸-(，31+41

3A+1

(3442)，—(3衣+4)(34+1厂94+4

=-----------------.....-=-------r>0

(3代+1)-(3代+1)-

/.7；；(3衣+2)>V3A+4=步(&+l)+l

从而(1+1)(1+，)…(1+，一)(1+，一)>卷标亦I.即当〃"+1时，(')式成立

43k23攵1w

由①②知，(')式对任意正整蕨〃都成立.

于是，当a>l时，log*如：，当0<a<l时，log^x

37.

(1)当a-2时JCz)=>-4i+2.图

象关于丁2对称；W[0,3]，/《工)在[0,2]

上年隅城•在[2,3]上单调增".M小值为/(2)

二-2,而/(())-2./(3)—值域为[-2.2].

(/(I)=2.

(2)当一14a&0时.有即

1/3—-2・

//(I)-1-a-2.

解用a—一】：当aV-1时.

|，(a)—a-a，♦

1)=-2«(1-t-2<i4~a=-2

[…、I=>a--1♦

(/<1)=2.1l-2a+a=2

去.琮上所述a—-1.

38.(1)要使函数f(x)=log21+x/l-x有意义,则须l+x/l-x>0解得-IVxV

1,所以f(x)的定义域为{N-lVxVl}.

(2)因为f(x)的定义域为{x|-l<x<l},且f(-x>log2(l+x/l-x)-'=-log

21+x/l-x=-f(x).所以f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数.

(3)设-1<X1<X2<1,则f(x1)-f(X2)=log1+X1/1+X2=log(1+x1)(1-X2)f(1-

iwao<14>»<i>rr<M<I-<1--rI

1.■.t-

<1•所以Q<,VV■V©V

1-jr.1-

1JtA]J.I|

<0.0/<J!)</(>1>•WU/<z)玄亶艮*

X1)(1+X2)V-1<X|<X2<1■3

39.(1)函数f(x)=sinx+cosx=、/2sin(x+7i/4),「.Kx)的最小正周期是2兀，最

大值是含

⑵将y=sinx的图象向左平行移动兀/4个单位，得至ljsin(x+;r/4)的图

象，再将y=sin(x+7t/4)的图象上每-点的纵坐标伸长到原来的笈倍,

横坐标不变，所得图象即为函数y=f(x)的图象.

40.

・・a=(T.cosS)ft=(sin^,2)\[alb

•・・-sin6+2coseN()..・.tane=2

3cos,6,8sm8cose3+8ian。19

3cos'（万一8）+4siu28=3cos20+8smecos0=--------------------------=-------------=

cos2^+sm:0l-»-tan265

41.

（I）如图

（II）连接81），取8。的中点0,连接MQ

因为“、。为线段4C、8。中点，所以MQHCDHG11且MQ=:?（；//

又因N为G〃中点，所以NH=-（；H

得到NH=MQ且NH3MQ

所以四边形QA/N〃为£7

得至UQH/IMN

又因为。〃u平面8/），

所以MN//平面BDH（得证）

(Ill)连接AC,EG,过点M作MA1AC,垂足在八。上，过点K作平面A8co垂

线，交EG于点L,连接ML,则二面角A-EG-M=NMLK

因为u平面，且所以

MKAHCDAEJ.ABCDJMK±AE

又AE,ACc平面八EG所以MKI平面AEG

且Ki.uAEC；,所以MK1KL,所以三角形MKL为RT&

设正方体棱长为a,则AB=BC=KL=a,

所以用C=£,

因为NMCK=45。，三角形MCK为RT3,所以MK=MCcosZ450=-

4

y/2a

所以tanNMLK=，人=—--=>所以cos/MLK=—~—

KLa43

?J2

所以cos<A-EG-M>=cos/MLK=-------

3

42.

(I〕依据题意，当s=(—1.3)时，C(AS)取得最大值为2.

〔□〕①当()是S中的"元"时，由于八的三个"元”都相等，与3中。.Ac三个

"元"的对称性，可以只计算C(4S)=¥(“+/,)的最大值，其中，J+b-+c2=\.

由(a+b)：-a2Jrh1+2ab<2(a2^h2)<2(a2+/?-+cz)=2,

得一<tz+/?<.

当且仅当r=°,且a=〃=时ra+〃达到最大值)

于是C(A-S)=(〃+〃)=.

②当°不是S中的"元.时，计算C(A.S)=#(a+〃+C)的最大值，

由于=1,

所以(0+力+c)2=f/2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

<3(«；+/?；+c:)=3,

当且仅当"=〃=<•时，等号成立.

即当“=〃=c=^~时，“+/,+<,取彳值，此时C(A.S)=—人+c)=1.

综上所述，。(儿$)的最大值为1.

43.

(1)由椭网的定义得，2a=|PF,|+

PFtl=6+2=8.a=4又/PF.F,=90*.

:fJ2

：.(2c)=1PFt|-|PF,|=32,<-=8..*.6-=

V2

a2—c2=16-8=8A桶阀C的方程

7176+Ko=L

(2)答：存在.假设存在克线।满足电i设条件.,：

EHM：储+y2+4]-2y=0**.喇心M(—2,1)不

在工轴上.••直线/_Li轴制然不满足条件.当直

线/与二轴不垂直时,设直线/的方程为y-l=

y—1+2)

AGr+2).由丁/消去丁得(2人+

—十—=1

[168

l)xl+4Jt(2*+1)x4-2(2*+1):-16=0.△=

16-'(2A+1),-4(2公+l)[2(2i4-1)1—16]=

96公一32A+56>0恒成立.设A(工।.山八

B（孙.山）.•.*+工2=-Ah比（2t：4-；1）：线段AB

Lk十1