复合函数的定义域和解析式

复合函数的定义域和解析式一、复合函数的定义设是到的函数，是到上的函数，且，当取遍中的元素时，取遍，那么就是到上的函数。此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数。二、复合函数的定义域：⑴复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。⑵称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。⑶与表示不同的复合函数。例1．设函数，求．⑷假设的定义域为，那么复合函数中，．注意：的值域．例2．⑴假设函数的定义域是[0，1]，求的定义域；⑵假设的定义域是[-1，1]，求函数的定义域；⑶定义域是，求定义域．点评：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．解答：⑴函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．函数的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数的值域为[0，1]．∴，∴，即，∴函数的定义域[0，]．⑵函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．的定义域是[-1，1]，∴A=[-1,1]，即-1，∴,即的值域是[-3，1]，∴的定义域是[-3，1]．点评：假设的定义域为，那么的定义域就是不等式的的集合；假设的定义域为，那么的定义域就是函数的值域。⑶函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．的定义域是[-4，5),∴A=[-4,5)即，∴即的值域B=[-1，8〕又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的函数，而,从而的值域∴∴∴∴的定义域是[1，〕．例3．函数定义域是〔a,b〕，求的定义域．解：由题，，，当，即时，不表示函数；当，即时，表示函数，其定义域为．说明：①的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：的定义域为，求的定义域。实际上是中间变量的的取值范围，即，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。②的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：假设的定义域为，求的定义域。实际上是直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，那么的范围即是的定义域。三、求有关复合函数的解析式例4．①求；②，求．例5．①，求；②，求．点评：求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。求的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。换元法就是先设，从中解出〔即用表示〕，再把〔关于的式子〕直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得。例6．①是一次函数，满足，求；②，求．点评：⑴当函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。⑵假设抽象的函数表达式，那么常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量，如、等，必须根据等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出。注：求函数的定义域的主要依据有：⑴当为整式或奇次根式时，R；⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0〔即≥0〕；⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0〔如，中〕。⑸当是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的，它的定义域应是使各局部都有意义的自变量的值组成的集合，即求各局部定义域集合的交集。⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情