《平方根》教学中常见的问题和策略

§6.1《平方根》教学中常见的问题和策略【摘要】《平方根》这节内容的学习对于学生而言是一个难点，在学生学习过程中出现了很多常见的问题，笔者结合这些问题，将本节内容进行相应的调整，通过与所学知识的类比和联系，并以为基本点，让学生通过对的学习来深化学生对无理数的理解和运用。最后，在学生已经理解了相关概念的基础上，再让学生学会对本节内容进行运用，符合学生学习新知识的认知心理过程，取得了较为理想的效果.【关键词】问题策略反思随着初一数学人教版新教材的投入使用，有个别章节作了相应的一些调整，例如《实数》这一章书由初二上学期调整为初一下学期学习。学生在初一上学期学习了负数以后，第二学期紧跟着又将数的范围扩充到实数，接触到非常抽象的无理数，这对于学生来说是本学期学习的一个难点。虽然本章的内容不多，篇幅不大，但在中学数学中占有重要的地位，本章内容不仅是初中阶段学习二次根式、一元二次方程及解三角形等知识的基础，也是学习高中数学内容的基础。因此，需要我们教师对于学生在学习过程中出现的问题给予重视，及时思考并在教学上作出相应的调整。问题剖析概念认知上的问题平方根的概念是中学数学的核心概念之一，也是数学学习中比较难以理解的概念之一。长期以来，为了突破这一教学难点，很多一线老师煞费苦心，想了很多的办法，但很多学生在学习过程中仍然存在以下问题：对于平方根的本质属性缺乏了解，仅仅停留在模仿、机械学习的阶段，如：学生在遇到以下问题“已知3a-1与13-5a是x的平方根，求x的值”时，在计算得出a=6之后，有的学生会直接将6作为x的值，也有的学生会直接将62去求x的值。这说明他们在概念的理解上还是比较模糊的，分不清被开方数和平方根之间的区别和联系。又如在判断“3是9的平方根”和“9的平方根是3”对于求平方和开平方这两个互逆运算关系缺乏理解，如：学生都会计算22=4，（-2）2=4，但当要求“若x2=4，则x=”时，有部分学生还是掌握不到求解的方法。对于平方根、算术平方根、算术平方根的相反数等的表示方法混淆不清，经常出现错误。如：有些学生会出现=±3，等。概念运用上的问题概念的运用对掌握和理解概念有重要作用。实际地运用概念是概念的具体化，而概念每一次的具体化，都会使概念进一步丰富和深化，使人对概念有更全面、更深刻的理解和掌握，把新知识纳入已有的概念系统。对概念的运用，要求人不但要掌握概念的内涵所包容的东西，还要求人把握有关概念相临近的、相对立的、相反的有关知识。过于单调的经验往往使概念在应用时发生困难。由于学生对概念的掌握过于呆板和狭窄，缺乏事物在变化的情况下应用概念的应变能力。所以产生了以下这些问题：能够理解一个正数的两个平方根互为相反数，但是在具体应用的问题上则不会活学活用。如前面所涉及到的这个问题“已知3a-1与13-5a是x的平方根，求x的值”,有部分学生出现这样的列式3a-1=13-5a.对于二次运算屡做屡错，如求的算术平方根，很多学生在这个问题上失了很多分，每次都说下一次一定记得了，但下一次又会出现答案为4的情况.③对于概念的变形、迁移等问题也是学生常错的问题，如求，有的学生就会直接得到-2.已知正方形的面积求正方形的边长，这是典型的求算术平方根的问题，如果已知正方形的面积为4，那么基本上所有学生都能求得边长为2，但是如果已知正方形的面积为10，那么有部分学生则会认为无法求边长。遇到小数时，对于平方根和被开方数之间的小数位数之间的关系总是理不清楚。如求时，有些学生会出现0.09的答案。教学策略课堂层面的教学策略，主要是讲教师教的策略。教师能否设计和运用有效的教学策略，对于提高学生的学习成绩具有重要意义。同时，教师也可以通过研究和掌握有效的教学策略，提高自身的素质，从而形成自己的特点和优势，使学生信服自己，引导学生在形成良好的学习习惯和品质的同时获得知识和能力的提高。为了让学生能更好地理解和接受二次根式的相关概念，并能够在此基础上更好地运用，笔者将本节内容的3个课时调整为：第1课时以讲授二次根式和算术平方根的相关概念和表示方法为主；第2课时重在了解；第3课时以概念的相关运用为主。2.1温故知新运用学生已有的知识作为基础，引导学生在复习的基础上接触新的知识点，从而让学生对于新知识不会产生恐惧心理，顺其自然地接受新知识。为了让学生更好地体会学习二次根式的必要性，笔者让他们在第一课时的学习中完成了以下的练习：第一课时：填空：填空：（1）3╳2=；（2）╳2=6；（3）乘法运算和除法运算之间存在什么关系？；（4）32=；（5）（-3）2=；（5）如果一个数的平方等于9，那么这个数是；（6）若x2=9，则x=.2.2类比教学类比思想是富于创造性的一种方法,它既是一种逻辑方法，也是一种科学研究的方法，是最重要的数学思想方法之一，在中学数学中有着广泛的应用.所谓类比法，是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法．上面所设计的练习借助类比乘法运算和除法运算的互逆运算关系，让学生体会求平方和开平方的互逆运算关系，并顺理成章地给出这种运算的命名“开平方”以及平方根的概念，再通过一组练习强化学生对这种互逆关系的理解和运用，如：填空：（1）填空：（1）∵（）2=16，∴16的平方根是，16叫做.（2）∵（）2=81，∴81的平方根是，81叫做.（3）4的平方根是，4叫做.（4）0的平方根是，0叫做.（5）-4有平方根吗？.学生在练习的过程中，不断地加深他们对开平方、平方根、被开方数这几个概念的理解，并通过练习题的设计，让他们类比被开方数分别为正数、0、负数时的不同结果，总结归纳出正数的两个平方根互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，从而得到被开方数的取值范围。在这个过程中，培养他们观察、实践、探索、发现、归纳总结的能力。在学生已经掌握了以上概念的基础上，给出算术平方根的概念，理清算术平方根和平方根之间的关系，由学生比较、归纳这两者之间的不同之处，区分出它们不同的表示方法。特别关注学生易错的一些问题，如：判断下列说法是否正确：（1）1的平方根是1；（2）-1是1的平方根；（3）0.01是0.1的一个平方根等等。2.3重点突破学生在初一上学期刚刚学习了负数，将所学的数的范围扩充到有理数。虽然正数与负数符号不同，但是它们之间还是有很多共性的，而且在生活中也可以找到一些实际运用负数的例子，如温度等，所以学生在学习负数时不存在很大的困惑。然而本章书的学习将让学生开始接触到无理数，如本节课即将学习的，没有实际生活中的例子可以作为依托来理解，比较抽象，是本节内容学习的一个难点。为了突破这一难点，帮助学生更好地理解平方根的概念，并为后面学习《实数》作好铺垫，笔者本节课重在让学生了解。具体课程流程如下：让学生填写下表：正方形的面积/cm2192正方形的边长/cm对于前面三个空的结果学生基本比较容易理解的，因为根据正方形的面积公式学生很容易与上节课所学的算术平方根联系起来，求出正方形的边长。但是当面积为2cm2时，那么边长应为cm。那也就意味着，当开方开不尽时，可以将根号保留，那么这是一个多大的数呢？带着这个困惑，和笔者和学生一起尝试运用求平方和开平方之间的互逆关系来求的大小：因为12=1，22=4，所以1‹‹2；因为1.42=1.96，1.422=2.0164，所以1.41‹‹1.42；因为1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以1.414‹‹1.415；……如此进行下去，可以得到的更精确的近似值。事实上，它是一个无限不循环小数。实际上，许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数，如等等。让学生动手尝试求的近似值，意在让他们加深对求平方和开平方两种互逆运算关系的理解，并通过亲身实践、感知这些开方开不尽的数实际上都是一个数，而且是一个无限不循环小数。掌握了这一类数的估算方法以后，要求学生完成：估计与最接近的两个整数是多少；估计与最接近的两个整数是多少。作为一个数，那么它是否与我们所学过的所有有理数一样，可以比较大小，可以进行运算呢？填空：（１）５２（２）-５填空：（１）５２（２）-５２（３）０２（４）２（３）-２（４）０（５）１+１=（６）１-１=（７）１╳１=（８）+=（９）-=（１０）╳=（１１）╳=（１２）０╳=（１３）２+３=（１４）１+=通过类比有理数比较大小的法则和有理数的运算法则，让学生了解也是一个数，也可以运用我们所学过数的相关知识来进行比较大小和进行运算，在类比的过程中又让学生体会它们的不同之处，为后面学习实数和实数的运算埋下伏笔。以为例，让学生深化对这类开方开不尽的数的理解，能够有效地帮助学生理解平方根的概念和开平方的意义，从而让他们更加得心应手地学好后面相应的内容。教学反思笔者将本节内容进行相应的调整，通过与所学知识的类比和联系，并以为基本点，让学生通过对的学习来深化学生对无理数的理解和运用。最后，在学生已经理解了相关概念的基础上，再让学生学会对本节内容进行运用，如比较大小；当开方开得尽时，被开方数的小数位数和平方根的小数位数之间存在的关系；解决实际问题等等。通过笔者几年来在《平方根》这一节书中不断地作出尝试和总结、对比，笔者发现，如果先给出算术平方根的概念后再去学习平方根，那么学生在计算平方根时会经常遗漏一项；如果学完概念后马上学习相应的应用，那么学生在还没完全掌握概念的基础上就开始要学会活学活用，对于学生来说还是存在一定的难度的。所以笔者在今年的教学中进行了以上的调整，从学生的