2021年广东省高考数学模拟试卷（一）（一模）（东莞一模）

2021年广东省高考数学模拟试卷(一)(一模)(东莞一

模)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.已知集合”=｛用―7<3%—1<2｝,7=｛%比+1>0｝,则"0%=()

A.(-2,4-00)B.(-1,1)C.(-oo,l)D.(-l,+oo)

2.若复数z满足(z—l)(l+i)=2—23贝U|z|=()

A.V2B.V3C.5D.V5

3.已知函数旷=e*的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，贝U/(2e)=()

A.2e2B.2eC.1+ln2D.21n2

4.函数/'(x)=cos2x+6cosC-x)(xe[0,勺)的最大值为()

A.4B.5C.6D.7

5.已知数列｛cin｝的前"项和％=2n一1,则数列｛logza"的前10项和等于()

A.1023B.55C.45D.35

6.已知a,6是两个正数，4是2a与16b的等比中项，则下列说法正确的是()

A.M的最小值是1B.。〃的最大值是1

C.工+，的最小值是[D.：的最大值是

ab2ab2

7.《算数书少是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如

其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长

L与高江计算其体积V的近似公式V«白产儿用该术可求得圆率的近似值现用该

OO7r

术求得兀的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值

为9,则该圆锥体积的近似值为()

A.V3B.2V3C.3V3D.3

8.若(7+或一2)3(x+a)2(a>0)的展开式中一的系数为3,则a=()

A.1B.1C.V2D.2

二、多选题(本大题共4小题，共20.()分)

22

9.已知曲线C：3嬴+£=1(机力一1,且机中一4),则下列结论正确的是()

A.若曲线C为椭圆或双曲线，则其焦点坐标为(±75,0)

B.若曲线C是椭圆，则m>一1

C.若m<-1且mK-4,则曲线C是双曲线

D.直线kx-y-k=O(keR)与曲线C恒有两个交点

10.已知/(x)是定义在R上的奇函数,f(x)的图象关于x=1对称,当xe(0,1]时,/(x)=

-X2+2X,则下列判断正确的是()

A.f(x)的值域为(0,1]B.的周期为2

C./(x+1)是偶函数D./(2021)=1

11.已知函数f(x)=cosx+则下列说法正确的是()

A.若函数f(%)的最小值为-5,则；1=2

B.若#e(0(),则“e(0,1)使得/Q)=4成立

C.若4=V3.vxe[0,§都有|f(x)-叫<1成立，则僧e(1,2)

D.若函数人为在(0,今上存在最大值，则正实数;I的取值范围是(0,百)

12.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微事实上，很多代数问

题可以转化为几何问题加以解决,例如，与，(x-砌2+⑶一b)2相关的代数问题,

可以转化为点4Q,y)与点B(a,b)之间的距离的儿何问题.结合上述观点，对于函数

/(%)=V%24-4%+5+V%2—4%4-5,卜列结论正确的是()

A.f(x)=6无解B./Q)=6的解为％=±卓

C./(x)的最小值为2岔D./(%)的最大值为2遥

三、单空题(本大题共4小题，共20.()分)

13.已知同=1,@=3，且|为一石|=2,则|五+21|=.

14.某圆形广场外围有12盏灯，如图所示，为了节能每天晚上12时尸

关掉其中4盏灯,则恰好每间隔2盏灯关掉1盏的概率是./6

15.斜率为企的直线过抛物线C：y2=2px(p>o)的焦点，且与C交于A,B两点，

若依B|=3V2，则p=,△4。8(。为坐标原点)的面积为.

16.在四面体ABCD中，AB=AC=BC=AD=CD=2,二面角B—2C—D为120。,

则四面体A8CQ的外接球的表面积为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.记又为数列｛册｝的前"项和，已知的=1,.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

第2页，共21页

（21）

（2）若刈=。”+—）；；，.+,设数列｛%｝的前n项和为7n，证明:Vn6N*,7；<；.

从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.

条件①：=nan—n24-n,nEN

2

条件②：nSn+1=（几+l）Sn+n4-n,nG/V*；

条件③：JSn+i=y[S^+1,nEN

18.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知Q•si九4+Q•s讥C•cosB+b・

sinC•cosA=b-sinB+c-sinA.

(1)求角8的大小；

(2)若b=3乃，c=3近，点。满足4。=|>4B+：AC,求△ABD的面积.

19.如图，在四棱锥P-/BCD中，平面P/B1平面A8CO,BC//AD,Z.BAD=90°,

PA=AD=2AB=4BC=4,PC=V21.

(1)证明：PA_L平面A8CQ；

（2）线段AB上是否存在一点M,使得MC与平面尸。所成角的正弦值为等？若

存在，请求出空的值；若不存在，请说明理由.

p

20.已知椭圆C：5+，=l(a>b>0)的离心率为右过椭圆C右焦点并垂直于x轴

的直线PM交椭圆C于尸，”(点尸位于x轴上方)两点，且△OPM(O为坐标原点)的

面积为|.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线/交椭圆C于4,B(48异于点P)两点,且直线PA与PB的斜率之积为一：，

求点P到直线/距离的最大值.

21.已知函数/(x)=Inx—ax+l(aGR).

(1)讨论函数/(%)的零点个数；

(2)设%1，冷是函数f(%)的两个零点，证明:+不+2elna>0.

第4页，共21页

22.在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗

击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能

力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，”争分夺秒、保质保量”成为

口罩生产线上的重要标语.

(1)在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成

成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检

,已知批次/的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为B=2，P2=^.

①求批次/成品口罩的次品率Pi.

②第四道工序中红外线自动检测为次品的口罩会被自动淘汰，合格的口罩进入流

水线并由工人进行抽查检验.已知批次/的成品口罩红外线自动检测显示合格率为

92%,求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品的概率(百分号

前保留两位小数).

(2)已知某批次成品口罩的次品率为p(O<p<1)，设10。个成品口罩中恰有1个不

合格品的概率为S(p),记9(p)的最大值点为po,改进生产线后批次J的口罩的次品

率Pi=Po.某医院获得批次/,J的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用.经统计，正

常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示,

求Po,并判断是否有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？

核酸检测R阳性

核酸检测呈阴性

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>k)0.0500.0100.0050.001

k3.8416.6357.87910.828

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：：M={x|-2<%<1],N={x\x>—1},

:.MUN=(-2,+co).

故选：A.

可求出集合M,N,然后进行并集的运算即可.

本题考查了描述法和区间的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】。

【解析】解：由(z-1)(1+i)=2-2i,

2

zg<2—2i(2-2i)(l-i)2-2i—2i+2i—4in.

得zT=TTT=石苟而广…由z——=下=-22,

Az=1—2l,

则|z|=y/12+(-2)2=V5.

故选：D.

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

3.【答案】C

【解析】解：因为函数丫=蜻的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，

所以y=/(尤)与y=e”互为反函数，

故/'(x)=1nx，所以/(2e)=In(2e)=ln2+Ine=1+ln2.

故选：C.

利用图象关于直线y=x对称，求出旷=蜻的反函数即为y=f(x),将x=2e代入y=

f(x)求解即可.

本题考查了函数图象的对称性问题，主要考查了反函数的应用，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：函数/(X)=cos2x+6cos—x)=1—2sin2x+6sinx=—2(sinx-|)2+

|+1=-2(sinx-|)2+y,

由于％W[0(],

b^sinxG[0,1],由于函数/'(x)的对称轴为会

当sin%=1时、/(%)取得最大值/(X)mox=/(^)=5,

故选:B.

直接利用三角函数的关系式的变换和二次函数的性质的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，二次函数的性质，主要考查学生的运算

能力和数学思维能力，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查数列的通项公式的求法，同时考查对数的运算和等差数列的求和公式，考查运

算能力，属于中档题.

由数列递推式：n=l时，ax=S1；当nN2时，a”=-S"_i，可得an,求出logz。”=

log^"-1=n-1,再由等差数列的求和公式计算即可得结果.

【解答】

n

解：数列｛an｝的前n项和Sn=2—1,

可得的=S]=2-1=1；

当n>2时，an=S”-Sn-i

=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,

对n=1也成立.

所以即=2nt.

11

所以log2ati=log22T=n-1,

则数列｛logz%｝的前10项和为：

0+1+2+…+9=[x(l+9)x9=45.

故选C.

6.【答案】B

【解析】解：因为2a•16b=42,所以4畀2b=42,

所以a+4b=42274ab，可得abW1,当且仅当a=4b时等号成立，

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所以油的最大值为1,故A错误，B正确.

因为C+》,①+府)1=](1+4+?+?之；(5+2V4)=

故上+：的最小值为三无最大值，故C和。都错误.

ab4

故选：B.

由已知利用等比数列的性质，基本不等式得abWl,即可判断A,B；利用基本不等式

即可判断C,D,即可得解.

本题主要考查了等比数列的性质，考查了基本不等式的应用，属于中档题.

7.【答案】A

【解析】解：圆锥的体积U=工兀(上)2/1=工二八as2/h，解得7rB3,

3、2n’12n36

则设所求圆锥的底面直径与母线长为>0),则底面半径为:，

则S=兀(|)2+2兀/=[7rx2ss=%解得％=2,

设高为h,则V=|(|)2?r/i—|TTJX2—(|)2=?兀xV3.

故选：A.

根据圆锥的体积公式先求出兀的近似值，然后根据圆锥的表面积公式建立等式求出底面

半径，最后根据体积公式进行求解即可.

本题主要考查了圆锥的体积公式以及表面积公式，同时考查了转化能力和运算求解的能

力，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：(x2+^-2)3(x+a)2=(%->6.(%2+2ax+a2)(a>0),

而(X-的展开式的通项公式为4+1=C，(―1)『•一-2r,

故(X-》6.(X2+2ax+。2)的展开式中小的系数为盘+2ax0+a2-(-C^)=15-

6Q2=3,

则Q=VL

故选：c.

式子即(x-；)6.(x2+2ax+a2)(a>0),再利用二项展开式的通项公式，求得力的系

数，根据/的系数为3,求得a的值.

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题.

9.【答案】AB

【解析】解：若曲线表示椭圆，4+m>1+m,.1.a2=4+m>0,h2=1+m>0,

则nt>—1,

即椭圆焦点在x轴，则c2=a2—X=3,得c=百，此时焦点坐标为(土行,0),

若曲线表示双曲线，由(4+m)(l+瓶)<0,得

此时双曲线的标准方程为之——匕=1,

4+m-1-m

则a2=4+m,b2=-1-m,即焦点在x轴，则c2=a2+/=3,得c=百，

此时焦点坐标为(土6,0),故A正确；

若曲线表示椭圆，,.•4+m>l+77i,a2=4+m>0,b2=1+m>0,则m>—1,

故8正确；

若曲线表示双曲线，由(4+m)(l+?n)<0,得-4<?n<-l,故C错误；

由/ex-y-k=0得k(x-1)一y=0,得｛；=［一°，得x=l，y=0,即直线过定点

当曲线为双曲线时，—此时a?=4+m6(0,3),

当m=-2时，。2=2,此时右顶点为(VXo),在点M(l,0)的右侧，

此时直线不一定有两个交点，故。错误.

故选：AB.

根据双曲线和椭圆方程的特点分别进行判断即可.

本题主要考查椭圆和双曲线的图像和性质，结合圆锥曲线的方程特点求出a,b,c是解

决本题的关键，是中档题.

10.【答案】CD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,当x6(0,1］时，/(x)=-x2+2x,此时0</(x)Wl,

又由/(x)是定义在R上的奇函数，则〃0)=0，且当xe［-l,0)时，一1</(x)<0,

故在区间［—1,1］上，-1</(%)<1,4错误，

对于B,函数“尤)图象关于直线x=1对称，则有f(2—x)=/(x),

又由/'(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)=-/(-X)=-/(2+%),

则有/(x+4)=-f(x+2)=/(x),故f(x)是周期7=4的周期函数，B错误；

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对于C,/(x)的图象关于x=1对称，则函数/(x+1)的图像关于y轴对称，f(x+l)是

偶函数，C正确，

对于£>,/(x)是周期T=4的周期函数，则/(2021)=/(1+4x505)==。正

确，

故选：CD.

根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案.

本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的周期性、奇偶性的性质以及应用，属于

中档题.

11.【答案】CD

【解析】解：对于A,函数/1(无)=cosx+Asinx=+¥sin(x+<p)，其中ta”=/,

因为函数f(x)的最小值为一5,所以一五”=一5,解得；1=±2甚，故4错误；

对于B,右函数/(%)=cosx+Asinx=A,

cosx1+tan^2

则a=----x=-1H-----X

1-sinx1-tan-l-tani

22

X

-

因为xe(O《)，所以：e(0,9,tan；e(0,l),12

27

?^€(2，+8),此时；ie(i,+8),

22

所以不存在；Ie(0,1)使得/O)=2成立，故B错误；

对于C,若a=%,贝|J/O)=2sin(x+》，

因为x6[0,§,所以x+'e碎,g],/(X)e[1,2],

|/(x)-m|<1<=»-1</(%)—m<l<=>m-1</(%)<m+1,

因为Wxe[0申都有|/(x)-m|<1成立，

所以产二：；，解得l<m<2,即me(1,2),故C正确；

对于。，/(%)=Vl+22sin(x+(p)»其中tern。=%

因为函数/⑺在(0《)上存在最大值，

所以0<]<9+今即

所以temp£(3，+8),ie(―,4-oo),

3A3

AG(0,V3).故。正确.

故选：CD.

/■(x)=V1+A2sin(x+(p)>由一，1+42=一5,即可求解2的值，即可判断选项4；由

/(X)=cosx+Asinx=A,可得”=-1+.2与结合％e(。，)从而可得4的取值范围，

即可判断选项B,求出/(x)的值域，将不等式恒成立转化为关于，〃的不等式，求解即可

判断选项C；/(x)=Vl+A2sin(x+(py其中tan<p=[,由己知可得<]<9+g,

从而可求tan<p的取值范围，即可求得；I的范围，从而判断选项。.

本题主要考查命题真假的判断，三角恒等变换以及三角函数的性质，考查转化思想与运

算求解能力，属于中档题.

12.【答案】BC

B关于x=1对称点为C(2,2),

则|P川+\PB\=\PA\+\PC\>\AC\,当A,P,C三点共线时，/(x)最小，此时f(x)=

\AC\=J(2+2■+(2-0)2=V16+4=V20=2通，/(x)无最大值，

故C正确，力错误，

故选：BC.

根据两点间距离公式，结合椭圆的定义和性质分别进行判断即可.

本题主要考查命题的真假判断，结合两点间的距离公式，利用椭圆的定义和性质是解决

本题的关键，是中档题.

13.【答案】7

【解析】解：根据题意，|砧=1,@=3,且|弓一如=2，

则有|日_或2=22+/一2五万=10—2五不=4,变形可得己方=3,

则|行+2加|2=方2+4y+4方不=49>

第12页，共21页

故|Z+2习|=7，

故答案为：7.

根据题意，对|万一石|=2变形可得日不的值，又由|五+252=/+432+4日不，计

算可得答案.

本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题.

14.【答案】3

【解析】解：将12盏灯依次编号为1,2,3...,12,

从12盏灯中关掉4盏灯，共有C》=工二=495种方法，

每间隔2盏灯关掉1盏共有3种情况，即关掉1,4,7,10或2,5,8,11或3,6,9,

12,

所以恰好每间隔2盏灯关掉1盏的概率为六=士，

495165

故答案为：意.

lob

先对12盏灯依次编号，然后求出总的情况，然后再对所求事件的情况分类讨论即可求

解.

本题考查了古典概型以及概率计算公式，涉及到分类讨论思想，考查了学生的运算能力,

属于中档题.

15.【答案】夜渔

2

【解析】解：由抛物线的方程可得焦点尸的坐标名,0),准线方程为％=一今

设2Q1，%),B(x2)y2),由题意设直线AB的方程：y=&(x-/

联立a"5),整理可得：/—2px—乙=0,

(y2=2px4

可得+&=2p,%i%2=一

所以丫1+%=V2(Xi+%2-P)=夜P，%丫2=-J22P2%1%2=-J2p2+4p2p2,

\AB\=/+外+P=3p=3V2,所以p=V2,

SAAOB=1|0F|■\yi-y2\JOi+、2)2-4yly2=|-y'J2P2+4p2=争

故答案为：V2,渔.

2

由抛物线的方程可得焦点的坐标，由题意可设直线A8的方程，与抛物线联立求出两根

之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长|4B|的值，由题意可得p的值，代入面积公

式可得三角形的面积.

本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合，属于中档题.

16.【答案】等

【解析】解：如图,

由已知可得，△ABC,△4CD为等边三角形，

取AC的中点G,连接3G,DG,则BGJ.4C,DGLAC,

NBGD为二面角BGD的平面角，大小为120。，

设△力BC的外心为E,△ACD的外心为凡

分别过E,尸作所在面的垂线，相交于O,则。为四面体ABC。的外接球的球心，

由已知求得EG=FG=-BG=—，

33

在AFFG中，求得EF=h+l-2x^x^x(-i)=l.

73333k27

EF12x/3

则℃=而石=逅=可，

2

可得四面体ABCD的外接球的半径R=OB=V0G2+BG2-20G-BG-cos60°

=h+3-2x^xV3xA=已

y]332y3

••・四面体ABCD的外接球的表面积为47rx(甘=等.

故答案为：等.

由题意画出图形，找出四面体外接球的球心，求解三角形可得外接球的半径，再由球的

表面积公式求解.

本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能

力，是中档题.

2

17.【答案】解：(1)若选条件①：Sn=nan-n+n,①；

2

当九N2时，Sn_]=(n-—(71—l)+(7i—1)(5),

第14页，共21页

①-②得：（九-l）an=（n-l）an_i+2（n-1）,

所以Qn-an_i=2（常数），

故数列｛an｝是以&=1为首项，2为公差的等差数列；

所以以n=2n-1（首项符合通项），

所以an=2n-1.

2

选条件②：nSn+i=（几+l）Sn+n+n,①；

2

（n-l）Sn=nSn_x+（n-l）+（n-1）②，

①—②得：—an_1=2（常数），

故数列｛a黯是以％=1为首项，2为公差的等差数列；

所以an=2n-1（首项符合通项），

所以an=2n-1.

选条件③：底二=向+1，ne/V*.

所以国；一店=1（常数），

所以数列｛图｝是以1为首项，1为公差的等差数列.

所以=n,

整理得土=必，

22

故时=Sn-Sn_i=n-（n-I）=2n-1,

证明：（2）由于an=2n—1,

听以b__________42__________4n_1_______1.

月T弘n-（2an+i_1^2an+1+l_1）­（4n_1）（4n+i_1）­3一”+1”，

则7；=&+与+…+%=[G_V一e+…+念―=久卜?

【解析1（1）选①②时，直接利用递推关系求出数列an-an-i=2,进一步求出数列的

通项公式,选③时.，利用底匚-医=1（常数），进一步求出数列｛、际｝是以1为首项，

1为公差的等差数列，最后求出数列的通项公式.

（2）利用（1）的通项公式，进一步利用放缩法和裂项相消法的应用求出结果.

本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法

在数列求和中的应用，放缩法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

18.【答案】解：（1）•••a,sinA+a-sinC-cosB+b-sinC-cosA=b-sinB4-c-sinA,

••・sinA•sinA+sinA-sinC-cosB+sinB•sinC-cosA=sinB-sinB+sinC♦sinA,

WflsinA•sinA+sinC^sinAcosB+sinBcosA)=sinB•sinB+sinC•sinA,

：•sinA-sinA+sinCsin^A+B)=sinB-sinB+sinC-sinA,

sin27l+sin2C—sin2^=sinAsinC,

即彦+c2-b2=QC,

由余弦定理得cosB=I，

由3为三角形内角得B=1

(2)由(I)/4-c2—fa2=ac,

・•・Q2+18-2x3A/2x|a=54,

整理得a?—372a—36=0,

解得，a=6位，

-AD=-AB^-AC,

33

------»------>-----»2.一+1-----»-----»1----->-----»1-----»

・•・BD=AD-AB=-AB-V-AC-AB=-(AC-AB)=-BC,

333'J3

二。在8C上，且为靠近8的三等分点，

S4ABe=[cccsinB=x6夜x3V2x-^=9V3，

=x

S^ABD-gSuBC39v5—3y/3.

【解析】(1)利用正弦定理及余弦定理对己知进行化简，即可求解；

(2)由(1)可求小然后结合三角形的面积公式即可求解.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题.

19.【答案】(1)证明：•••平面PAB1平面ABCZ),平面PABn平面ZBCD=AB,^BAD=90°,

AD_L平面PAB,

•：PAu平面PAB,AD1PA,

在直角梯形A8CQ中，2AB=4BC=4,

•••AC=7AB2+BC2=V22+l2=V5，

vPA=4,PC=V21,PA2+AC2=PC2,即P4_L4C,

又=AD,4Cu平面ABC。，

PA1平面ABCD.

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(2)解：以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，

则2(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,4),C(2,l,0),£)(0,4,0),

AB=(2,0,0),PC=(2,1.-4),PD=(0,4,-4),

设而？=XAB>AG[0,1],则M(2；l,0,0)

MC=(2-2九1，0),

设平面PS的法向量为记=(%y,z),则俗案;,即｛第%3=°，

令y=l,则％=I，z=1,An=(|J,1),

与平面PCC所成角的正弦值为等,

式2-2；1)+1

4221./-

-------=COS<九，而>1=1器

171f^+l+lx7(2-2A)2+l

化简得万—解得

1684+1=0,a=4

故线段回上存在点M满足题意，且皆=%

【解析】⑴由平面PAB1平面ABCD,推出4。，平面PA8,有力。，P4再由勾股定

理的逆定理证明P41AC,最后由线面垂直的判定定理，得证；

(2)以4为原点建立空间直角坐标系，设宿=；1而，AG[0,1],求得平面PC。的法向

量有，由等=|cos〈元，MC>\，求出;I的值后，即可得解.

本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定

理或性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立

(e=—c——1

所以由题意可得[13且，2=。2-匕2,解得.2=4,b2=3,

-,c---=一

、2ci2

所以椭圆的方程为：式+片=1;

43

(2)由(1)可得P(l,|),设4Qi，yi),B(x2ly2-),

设直线/的方程为：y=fcx+m,

y=kx+m

x2y2_且整理可得：(3+4k2万2+8kmx+4m2—12=0,

{丁+T一

△=647n2k2—4•(4忆2,|_3),(4血2_j2)>0,

口.-8km4m2—12

=xx

且1+X2'l2=---h

/23…+4k,21/3+4/c2

.色=—3,整理可得：(7i-1)(71-1)=-；(^-1)(%2-1)«

整理可得(9+fc2)%i%2+KO-|)-|](X1+%2)+⑺一|)2+[=0,

整理可得242+4m2—3m+6km—^=0,即(k+TH—|)(2/c+4m+3)=0,

o

fc+m--=0或2/c+4m+3=0,

若k+m-|=0,则直线方程为：y-|=fc(x-l),直线恒过N(l,|),与P点重合,

若2/c+4m+3=0,则直线方程为：y+：=k(x-g),

所以直线恒过定点QG，》

所以P到直线/的距离的最大值为|PQ|的值为](1_#+[|_(_,2=苧

所以点P到直线/距离的最大值迤.

4

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【解析】(1)由离心率和三角形OPM的面积即a,6,c之间的关系求出“，人的值，进

而求出椭圆的方程；

(2)设直线/的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出直线PA,PB的斜率之

积，由题意可得参数的值，即求出直线/过的定点T的坐标，进而求出尸到直线/的距

离的最大值为|P7\.

当a=1时直线y=ax-1与y=?x相切于一点，即一个零点；

当a>1时直线y=ax-1与y=Inx没有交点,,即无零点.

综上可知，当a>l时，/(x)无零点；

当a=1或aW0时，f(x)有且仅有一个零点；

当0<a<l时，/'(x)有两个零点.

(2)因为/(x)有两个零点，由(1)可知0<a<l,

故令a=},则/'(x)=+1,故/(x)的最大值为/1(e)=1,

所以/(x)W/(e)=1.则有，nx-4-1<1,

所以故In衿总所以-2曲。行,

、2

要证+超+2elna>0,即证与+x2>->—2elna,

因为修，是函数/(X)的两个零点，

所以to-a?tl-O)解得喧=。3-与),

L1LX2—a%2十1一U4】

2(%2%])

即证久1+%2>

不妨设。</<如则喧>鬻浸=号

令”瓷>1,则证mt>22,

X1t+1

令/i(t)=1,

贝