第八讲一次方程组解法应用

第八讲

一次方程组的解法和应用上海市新云台中学周文华【知识框架】消元一元一次方程三元一次方程三元一次方程组一次方程二元一次方程二元一次方程组方程（组）的应用消元【知识梳理】1.二元一次方程和它的解:含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程.使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.二元一次方程的解有无数个.2.二元一次方程组和它的解:由几个方程组成的一组方程叫做方程组.如果方程中含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是一次,那么这样的方程组叫做二元一次方程组.在二元一次方程组中,使每个方程都适合的解,叫做二元一次方程组的解.同样我们也可知道三元一次方程组和它的解的概念.3.一次方程组的解法:基本思路是消元：代入消元法和加减消元法.4.列方程组解应用题：一般审题后找出等量关系,根据需要设未知数,然后列出相应的方程解题.在解应用题的最后,要注意检验所求得的解是否符合题意.【典型例题】基础题例1.（1）下列各式：是二元1.含两个未知数2.未知数的项的次数是13.含未知数的等式二次三个未知数二次非方程正确答案：①和⑥一次方程的有

.

分母上有未知数例1.(2)下列各方程组中,哪些不是二元一次方程组,为什么？②③④⑤【典型例题】基础题①如果方程组中含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是一次,那么这样的方程组叫做二元一次方程组.②⑤不是二元一次方程组.

二次分母上有未知数【典型例题】基础题例2．在学习的过程中,老师收集到一些学生的解题,请判断下列解题方法是否正确:判断是不是方程组的解.解:把代入方程①:左边=左边=右边,所以是方程组的解.在二元一次方程组中,使每个方程都适合的解,叫做二元一次方程组的解.缺少对方程②的检验

代入方程②:左边=3,左边≠右边,不是方程②的解.所以原判断错误.

【典型例题】基础题(2)

解方程组解：由①得：y=3x-5③把③代入①得:3x-(3x-5)=53x-3x+5=55=5

所以原方程组有无数个解把③代入②得:5x-2(3x-5)=5

解得:x=5把x=5代入③得,y=10所以原方程组的解是反思:在判断辨析中要紧紧围绕基本概念和基本方法的关键要素逐一辨析.例如:元,次数等.例2．在学习的过程中,老师收集到一些学生的解题,请判断下列解题方法是否正确:循环代入错误【典型例题】基础题例3.解方程组:

（3）

消元二元一次方程组一元一次方程消元三元一次方程组解一次方程组的基本思想方法

:代入消元法加减消元法解:(1)

由②得:③

把③代入①得:

解得:把代入③得:原方程组的解是代入消元法【典型例题】基础题例3.解方程组:

方法二：加减消元法解:由②得:③由①+③得:把代入①可得所以原方程组的解是关键是消去一个未知数,转化为一元一次方程.【典型例题】基础题例3.解方程组:(2)

解:由①-②得:④把分别代入①和③可得:由③+④得:所以原方程组的解是.消元二元一次方程组一元一次方程消元三元一次方程组解一次方程组的基本思想方法

:方法二：解：①+②+③，得

④再由④分别减去①、②、③各式，得：所以原方程组的解是

整体消元法【典型例题】基础题例3.解方程组:(3)

整理得:

二元一次方程组

方法二：参数法代入③，得.③代入②得所以原方程组的解是.反思:

1.解方程组的基本思想是消元.

2.根据系数特点,采用适当方法例如:整体消元法,参数法,换元法等.例3.解方程组:(1)

（2）（3）解一次方程组的基本思想方法

:消元二元一次方程组一元一次方程消元三元一次方程组【典型例题】基础题甲的路程【典型例题】基础题例4．甲乙两人相距8km,两人同时出发.若同向而行，甲4小时可追上乙;相向而行,1小时相遇.求甲乙两人的速度各是多少?甲乙甲追上乙8km甲的路程同向：乙乙的路程乙的路程8km相向：甲【典型例题】基础题解:设甲乙的速度分别为x千米/小时,y千米/小时,根据题意得解得答:甲乙两人的平均速度分别是5千米/小时,3千米/小时.例4．甲乙两人相距8km,两人同时出发.若同向而行，甲4小时可追上乙;相向而行,1小时相遇.求甲乙两人的速度各是多少?利用线段图建立模型，确定其等量关系列方程，写出方程组的解和答据.【典型例题】基础题例5.已知关于x,y的方程组的解的和为11,求k的值.分析:用含k的式子表示出方程组的解x和y

因为所以

,

方法二：【典型例题】提高题例6.已知：关于x,y的方程组(Ⅰ)和（Ⅱ）有相同的解，求a,b的值.

解得.【典型例题】提高题例7.某玩具厂招聘工人，打出广告称:“本厂工人每天工作8小时,每月工作25天;熟练工人按计件付工资,多劳多得,按月结算;……”该厂生产三种玩具：小狗,小猪和小汽车.工人晓云一月份领工资900多元,某个时段她记录了如下表的一些数据：小狗件数（个）小汽车件数（个）小猪件数(个)总时间（分钟）总工资（元）112714.152331447.303211036.05根据表格中的数据求:(1)在这个时段内,晓云生产哪种玩具的单件工资最高;(2)在这个时段内,晓云生产每种玩具所需要的时间.解:设生产一个小狗的工资是x元，生产一辆小汽车的工资是y元，生产一个小猪的工资是z元xyz单件工资╳件数生产小狗的工资生产小汽车的工资生产小猪的工资答：在这个时段内,晓云生产小汽车获得的单件的工资最高.【典型例题】提高题例7.某玩具工厂广告称:“本厂工人每天工作8小时,每月工作25天;熟练工人按计件付工资,多劳多得,按月结算;……”该厂生产三种玩具：小狗,小猪和小汽车.工人晓云一月份领工资900多元,某个时段她记录了如下表的一些数据：小狗件数（个）小汽车件数（个）小猪件数(个)总时间（分钟）总工资（元）112714.152331447.303211036.05根据表格中的数据求:(1)在这个时段内,晓云生产哪种玩具单件的收益最高;(2)在这个时段内,晓云生产每种玩具所用去的时间.t1t2t3单件时间╳件数解:设生产一个小狗用时间t1分钟，生产一辆小汽车用时间t2分钟，生产一个小猪用时间t3分钟，【典型例题】拓展题例8.

某电视台在黄金时段的2分钟广告的时间内,计划插播长度为15秒和30秒的两种广告,15秒的广告每播1次收费0.6万元,30秒的广告每播1次收费1万元.问（1）这两种广告的播放次数有几种安排方式?（2）电视台选择哪种方式播放收益较大?15秒×次数+30秒×次数=120秒

解:设15秒的广告播x次,30秒的广告播y次,则15秒广告的时间30秒广告的时间15秒╳次数30秒╳次数收益=0.6x+y

非负整数解：收益分别为：4.8万元，4.6万元，4.4万元，4.2万元，4万元15秒广告播放8次时，收益最大费用：起步价10元10+超过里程╳单价

归纳：【典型例题】拓展题例9.某城市一种出租车,起步价是10元,三位乘客分别乘这种出租车走了2公里,9公里和14公里,车费分别为10元,19.6元和27.6元,一路顺利,没有停车等候.你能算出这种出租车起步价所允许行驶的最远路程吗?超过这个路程但行驶不到15公里时,超过部分每公里车费是多少元?（本题不考虑用计程器计费的某些特殊规定）行驶里程里程：起步里程出租车起步价所允许行驶的最远路程简称为起步里程设出租车起步里程是x公里,超过部分每公里车费是y元整理得【课堂小结】1.方程(组)的解以及一次方程组的解法;2.列方程组解决实际问题.消元二元一次方程组一元一次方程消元三元一次方程组【课后作业】1.解方程组:

2.甲乙两厂,计划在上个月生产机床360台,结果甲厂超额完成计划的12%，乙厂超额完成计划的10%，两厂共生产机床400台。上个月两厂各超额生产机床多少台？3.

运往灾区的两批货物，第一批共480吨，用8节火车车厢和