函数的奇偶性高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第5章函数概念与性质5.4函数的奇偶性在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵，六角形的雪花晶体，有倒影的山水景色·····

●怎样用数量关系来刻画函数图象的这种对称性?

实际上，对于函数f(x)＝x2定义域R

内任意一个x，都有f(－x)＝x3＝f(x).这时我们称函数f(x)＝x2为偶函数.

函数的奇偶性(1)奇偶性：奇偶性偶函数奇函数条件设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A前提f(－x)＝_______f(－x)＝________结论函数y＝f(x)是偶函数函数y＝f(x)是奇函数图象特点关于______对称关于_______对称f(x)－f(x)y轴原点(2)本质：奇偶性是函数对称性的表示方法.(3)应用：

奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(偶)函数.【思考】具有奇偶性的函数，其定义域有何特点?提示：定义域关于原点对称.例1判定下列函数是否为偶函数或奇函数：(1)f(x)＝x2－1；解：函数f(x)＝x2－1的定义域是R.

因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，

且f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，

所以函数f(x)＝－1是偶函数.(2)f(x)＝2x；解：函数f(x)＝2x

的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，

且f(－x)＝2(－x)＝－2x＝－f(x)，

所以函数f(x)＝2x

是奇函数.(3)f(x)＝2∣x∣；解：函数f(x)＝2∣x∣的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，

且f(－x)＝2∣－x∣＝2∣x∣＝f(x)，

所以函数f(x)＝2∣x∣是偶函数.(4)f(x)＝(x－1)2.解：函数f(x)＝(x－1)2

的定义域是R.因为f(1)＝0，f(－1)＝4，，所以f(1)≠f(－1)，f(1)≠－f(－1).因此，根据函数奇偶性定义可以知道，函数f(x)＝(x－1)2

既不是奇函数，也不是偶函数.例2判断函数f(x)＝x3＋5是否具有奇偶性.解函数f(x)的定义域为R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，

且f(－x)＝(－x)3＋5(－x)＝－(x3＋5x)＝－

f(x)，

所以函数y＝f(x)为奇函数.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”)

(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(

)(2)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数. (

)(3)奇函数的图象一定过(0，0). (

)✘✘✘2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是 (

)B解析：B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性.解析

C解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数.解析【跟踪训练】

A

解析2.设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)

在R上一定 (

)A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数A解析：F(－x)＝f(－x)－f(x)

＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)，

符合奇函数的定义.解析

3.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为 (

)A.1 B.0

C.－2 D.2C解析

{x∣－3＜x＜0或x＞3}解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，所以f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，

所以f(3)＝f(－3)＝0.当x＞0时，f(x)＜0，解得x＞3；当x＜0时，f(x)＞0，解得－3＜x＜0.解析

0，0

解析探究具有奇偶性的函数，其定义域具有怎样的特点?练习

B2.函数f(x)＝x2＋2x

的图象是否关于某条直线对称?

它是否为偶函数?解

f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，

由二次函数的性质可知，函数f(x)＝x2＋2x的图象关于直线x＝－1对称，∵偶函数的图象关于y轴对称∴函数f(x)＝x2＋2x不是偶函数.3.已知函数f(x)在y轴右边的图象如图所示.(1)若f(x)是偶函数，试画出函数f(x)在y轴左边的图象；(2)若f(x)是奇函数，试画出函数f(x)在y

轴左边的图象.4.对于定义在R

上的函数f(x)，下列判断是否正确?(1)若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；解若f(x)是偶函数，则对任意实数x都有f(－x)＝f(x)，所以，f(－2)＝f(2)成立，该判断正确；(2)若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；解若f(－2)＝f(2)，

但是不一定有对任意实数x都有f(－x)＝f(x)成立，不满足偶函数的定义，该判断错误；(3)若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；解若f(－2)≠f(2)，

则对任意实数x都有f(－x)＝f(x)不成立，

根据偶函数的定义可知，f(x)不是偶函数该判断正确；(4)若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数.解若取f(x)＝x3－4x，

满足f(－2)＝f(2)，

但f(x)是奇函数，该判断错误.5.证明函数f(x)＝x3－x在R

上是奇函数.证明：∵f(x)＝x3－x，定义域为R，∴f(－x)＝(－x)3－(－x)

＝－x3＋x

＝－(x3－x)＝－f(x)，∴函数f(x)＝x3－x在R上是奇函数.6.判断下列函数的奇偶性：

(3)f(x)＝2∣x∣－3.解∵f(x)＝2∣x∣－3的定义域为R，

其定义域关于原点对称，

又∵f(－x)＝2∣－x∣－3＝2∣x∣－3＝f(x)，∴f(x)＝2∣x∣－3为偶函数.7.求证：(1)f(x)＝∣x＋3∣＋∣x－3∣是R上的偶函数；解∵f(x)＝∣x＋3∣＋∣x－3∣的定义域为R，∴f(－x)＝∣－x＋3∣＋∣－x－3∣

＝∣x－3∣＋∣x＋3∣＝f(x)，

∴函数f(x)为偶函数；(2)g(x)＝∣x＋3∣－∣x－3∣是R上的奇函数；解∵g(x)＝∣x＋3∣－∣x－3∣的定义域为R，∴g(－x)＝∣－x＋3∣－∣－x－3∣

＝∣x－3∣－∣x＋3∣＝－g(x).∴函数g(x)为奇函数.习题5.4感受·理解1.下列函数哪些是奇函数?哪些是偶函数?哪些既不是奇函数也不是偶函数?(1)f(x)＝2x2－7；(2)f(x)＝x3＋5x；(3)f(x)＝5x－3.(1)f(x)＝2x2－7；解

f(x)＝2x2－7的定义域为(－∞，＋∞)，

定义域关于原点对称，∵f(－x)＝2(－x)2－7＝2x－7＝f(x)，

∴函数f(x)＝2x2－7是偶函数.(2)f(x)＝x3＋5x；解f(x)＝x3＋5x的定义域为(－∞，＋∞)，

定义域关于原点对称，∵f(－x)＝(－x)5＋5(－x)＝－x3－5x＝－f(x)，∴函数f(x)＝x3＋5x是奇函数.(3)f(x)＝5x－3.解f(x)＝5x－3的定义域为(－∞，＋∞)，

f(－x)＝5·(－x)－3＝－5x－3，

－f(x)＝－5x＋3，∴f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)＝5x－3既不是奇函数也不是偶函数.2.已知函数f(x)＝x2－2∣x∣－1，试判断函数f(x)的奇

偶性，并画出函数的图象.解函数f(x)＝x2－2∣x∣－1的定义域为R，

关于原点对称，∵f(－x)＝(－x)2－2∣x∣－1＝x2－2∣x∣－1＝f(x)，∴函数f(x)＝x2－2∣x∣－1是偶函数函数.函数f(x)＝x2－2∣x∣－1＝

＝x2－2x－1，x≥0，x2＋2x－1，x＜0，(x－1)2－2，x≥0，(x＋1)2－2，x＜0，先作出函数y＝(x－1)2－2，x≥0的图象，然后作它关于y轴的对称图象，合起来即得f(x)的图象，如图所示：

4.证明函数g(x)＝∣x∣＋x2的图象关于y轴对称.解由题意，g(x)＝∣x∣＋x2的定义域为R，

关于原点对称，且g(－x)＝∣－x∣＋(－x)2＝∣x∣＋(x)2＝g(x)，∴g(x)＝∣x∣＋x2为偶函数，图象关于y轴对称.思考·运用5.设m为实数，函数f(x)＝x2＋mx＋1是函数，求m的值.解∵函数f(x)的定义域是R关于原点对称，

又∵f(x)是偶函数，

∴f(－x)＝(－x)2－mx＋1＝x2＋mx＋1＝f(x)恒成立，

∴2mx＝0恒成立，

∵x∈R，

∴m＝0.6.已知函数f(x)＝ax3－bx＋1，a，b∈R，且f(－2)＝－1，

求f(2)的值.解∵f(x)＝ax3－bx＋1，∴f(－2)＝a(－2)3－b(－2)＋1

＝－8a＋2b＋1＝－1，解得：8a－2b＝2.∴f(2)＝a·23－2b＋1＝8a－2b＋1＝2＋1＝3.7.已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝1，求函数y＝f(x)的表达式.解设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝1.而函数y＝f(x)是R上奇函数

则f(－x)＝－f(x)＝1即f(x)＝－1

∴当x＜0时，f(x)＝－1.根据函数y＝f(x)是R上奇函数则f(－0)＝－f(0)＝f(0)

即f(0)＝0，综上所述函数y＝f(x)的表达式是f(x)＝1，(x＞0)，0，(x＝0)，－1，(x＜0).8.已知函数f(x)的定义域为R.(1)求证：函数g(x)＝f(x)＋f(－x)为R上的偶函数；解∵函数f(x)的定域为R，∴函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为R，即函数g(x)的定义域关于原点对称，

又∵g(－x)＝f(－x)＋f[－(－x)]＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，∴函数g(x)＝f(x)＋f(－x)是在R上的偶数；(2)求证：函数h(x)＝f(x)－f(－x)为R

上的函数；解∵数f(x)的定域为R，

∴函数h(x)＝f(x)－f(－x)的定义域为R，

即函数h(x)的定义域关于原点对称，又∵h(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]

＝f(－x)－f(x)＝－h(x)，

∴函数h(x)＝f(－x)－f(x)是在R上的奇数；(3)试判断：定义在R上的函数f(x)能否表示为一个函数

和一个偶函数的和.

探究·拓展9.设a为给定实数，函数f(x)的定义域为A.(1)若对于任意x∈A，都有f(a－x)－f(a＋x)＝0，问：

此函数的图象一定具有怎样的对称性?说明理由.解对于任意的x∈A，都有f(a－x)－f(a＋x)＝0，则函数y＝f(x)图象关于直线x＝a对称.理由如下：设函数y＝f(x)图象上任意一点P(x0，y0)，则y0＝f(x0)，且P关于直线x＝a的对称点为P′(2a－x0，y0)，

由f(a－x)＝f(a＋x)，用x－a取代上式中的x，

得f(2a－x)＝f(x)则，f(2a－x0)＝f(x0)＝y0，

故P′(2a－x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，

所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若对于任意x∈A，都有f(a－x)＋f(a＋x)＝0，问：

此数的图象一定具有怎样的对称性?说明理由.解对于任意的x∈A，

都有f(a－x)＋f(a＋x)＝0，

则函数y＝f(x)图象关于点(a，0)对称.理由如下：设函数y＝f(x)图象上任意一点P1(x1，y1)，则y1＝f(x1).且P1关于点(a，0)的对称点为P1′(2a－x1，－y1)，由f(a－x)＋f(a＋x)＝0，用x－a取代上式中的x，

得f(2a－x)＝－f(x)，则f(2a－x1)＝－f(x1)＝－y1，

故P′(2a－x1，－1)在函数y＝f(x)图象上，

∴函数y＝f(x)图象关于点(a，0)对称.链接映射的概念我们已经知道，函数是建立在两个非空数集之间的一种对应关系：对于集合A中的每一个实数x

，在集合B中都有唯一的实数y

和它对应.是否存在两个普通集合之间的类似的对应关系呢?例如，坐标平面内的所有点组成的集合为A，所有的有序数对组成的集合为B＝{(x，y)∣x∈R，y∈R}.让每一点与其坐标对应，则A中的每一个元素(点)，在B中都有唯一的元素(有序数对)与之对应.一般地，设A，B是两个非空集合，如果按某种对应关系f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应称为从集合A到集合B的映射(mapping)，记为f：A→B例如图所示的对应中：根据映射的定义，可以知道图中，(4)的对应是从A到B的映射(1)(2)(3)的对应不是从A到B的映射.请思考：1.假定某高中每个班级都有45位同学，每个班级学生按1~45进行编号，全校学生的姓名都不相同.设集合A＝{x∣x为某高中的学生的姓名)，B＝{x∣1≤x≤45，x∈N}，f：每个学生姓名对应学生的编号；g：

每个编号对应学生的姓名.问：f是否为从A到B的映射?g是否为从B到A的映射?2.设A＝B＝{a，b，c，d，e，···，x，y，z}(元素为26

个英文字母)，作映射f：A→B为并称A中字母拼成的文字为明文，相应的B中对应字母拼成的文字为密文.(1)mathematics

的密文是什么?(2)试破译密文ju

jt

gvooz.3.如图，小明同学在学习映射时，找到了生活中的一个实例—纽扣对应，你能再举一些生活中与映射有关的例子吗?4.映射与函数有什么区别与联系?问题与探究f(x)＋g(x)，f(x)g(x)和f(g(x))的单调性我们知道，函数f(x)＝x2与g(x)＝2x在R上都是增函数，那么，函数f(x)＋g(x)即x3＋2x

在R上是否仍是增函数?能说明理由吗?一般地，设函数f(x)，g(x)的定义域均为A，尝试探究：(1)若函数f(x)，g(x)都是增函数,试判别函数f(x)＋g(x)在定义域A上的单调性，并说明理由.又若f(x)，g(x)都是减函数，结果如何呢?试说明理由.(2)函数f(x)，g(x)都是增函数或都是减函数，判别函数f(x)g(x)在定义域A上的单调性.总结上述探究(1)(2)，你能得到哪些结论?并继续探究，将你探究的结果填入下表中(用“增函数”“减函数”“不能确定”填空)：f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)＋g(x)增函数增函数增函数不能确定增函数减函数不能确定不能确定减函数增函数不能确定不能确定减函数减函数减函数不能确定我们知道，定义在R上的函数f(x)＝2x

与定义在非负实数集上的函数g(x)＝x2都是增函数，那么函数f(g(x))是否仍为增函数?说明理由.一般地，设函数f(x)的定义域为F，g(x)的定义域为G，且g(x)的值域为F

的子集.(1)若f(x)，g(x)都是增函数，试判别f(g(x))的单调性；(2)若f(x)是增函数，g(x)是减函数，试判别f(g(x))的单调性.总结上述探究(1)(2)，你能得到哪些结论?并继续探究，将你探究的结果填入下表中(用“增函数”“减函数”“不能确定”填空)：f(x)g(x)f(g(x))增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数减