函数极限的概念

第三章函数极限§1函数极限概念

§2函数极限的性质§3函数极限存在的条件

§4两个重要极限§5无穷小量与无穷大量阶的比较

3.1函数极限关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：一、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.1、定义：2、另两种情形:3、几何解释:例1证分析

例2

证明

0

X

0

当|x|

X时

有|f(x)

A|

例3证明证故不妨设|x|＞1，而当|x|＞1时二、自变量趋向有限值时函数的极限先看一个例子这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时，f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x→1时f(x)的极限。1xyo4典型形式与定义因果定量刻画之一：远近刻画远近的工具——距离因果定量刻画之二：越来越近刻画越来越近——动态刻画越来越越来越逻辑刻画目的：越来越近根据：一致性任意近的“标准”ε：在某个适当的范围：一致地有左边1、定义：2、几何解释:注意：函数极限的演示dd目的：对任意的e>0,要找d>0，使得0<|x-x0|<d时，有|f(x)-A|<e.即A-e<f(x)<A+e.哈哈,d找到了!dd这样的d也能用,看来有一个d符合要求,就会有无穷多个d符合要求!

例4

证明

因为

e>0

d>0

当0

|x-x0|

d时,都有|f(x)-A|

|c-c|

0

e,

e>0

d>0

当

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

分析:|f(x)-A|

|c-c|

0.

e>0

d>0

当0

|x-x0|

d时,都有|f(x)-A|

e.

分析

|f(x)

A|

|x

x0|

e

当0

|x

x0|

d时

有

d

e

因为

e

0

证明

只要|x

x0|

e.要使|f(x)

A|

e

e>0

例5

|f(x)

A|

|x

x0|

e>0

d>0

当

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

分析

|f(x)

A|

|(2x

1)

1|

2|x

1|

例6

因为

0

证明

|f(x)

A|

|(2x

1)

1|

2|x

1|

e

e>0

d>0

当

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

e>0

当0

|x

1|

时

有

/2

只要|x

1|<e/2

要使|f(x)

A|<e

分析

注意函数在x=1是没有定义的

但这与函数在该点是否有极限并无关系

证明

因为

e>0

=e

当0

|x

1|

d时

有

例7

e>0

只要|x

1|

e

要使|f(x)

A|<e

e>0

d>0

当

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

例8证例9证明证不妨设注在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对|f(x)－A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在x=x0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一下。3.单侧极限:例如,x的运动形态及关系：固定点左极限右极限证必要性，,由,,使得当时，

有，特别地当时，有，故.同理当时，也有,故.充分性，,由，

,,使得当时，

有.令,当时，有，.故使得当时，有，，又由左右极限存在但不相等,例10证无穷远点与有限点的关系●●●●●这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点演示表明：在直线上无论x是趋于，还是趋于，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点——顶点！●●●●●演示表明：由于在圆周上看，顶点和A点本质上是一样的，因此x0处的运动和无穷远处的运动也是一样。因此6种函数极限的种类：24极限定义举例：思考题思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.函数极限的统一定义(见下表)过程时刻从此时刻以后过程时刻从