2021年广东省深圳市罗湖区布心中学中考数学模拟试卷八（附答案详解）

2021年广东省深圳市罗湖区布心中学中考数学模拟试卷

(8)

B.(0,5)

C.(0,亨)

D.(0,V55)

2.已知在平面内不同的两点A(a+2,4)和8(3,2a+2)到％轴的距离相等，贝心的值为

()

A.-3B.-5C.1或—3D.1或一5

3.如图，将矩形力BCD沿”折叠，使点。落在BC边的点E处,

过点E作EG〃CD交4尸于点G,连接DG.给出以下结论：

@DG=DF-,②四边形EFCG是菱形；(3)EG2=^GFx

AF-,④当4G=6,EG=2而时，BE的长为蓝有，其中

正确的编号组合是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

4.如图，在四边形ABCC中,/W〃BC,NB=60。/。=90。,AB=4,4----

4。=2,点「从点8出发，沿8-4-。-＞。的路线运动到点6；,Y

过点P作PQ1BC,垂足为Q.若点P运动的路程为X,△BPQ的面8T-----'C

积为y,则表示y与x之间的函数关系图象大致是()

5.如图，在边长为1的小正方形网格中，点4B,C,。都在这些

小正方形上，AB与CD相交于点0,则tan乙400等于（）

16

3

D.6

7.如图，两根竹竿4B和4。斜靠在墙CE上，量得N4BC=a,

乙ADC=0,则竹竿与2D的长度之比为（）

tana

A,诉

Bsi―

•sina

csina

C・sinfi

Dcos/?

*cosa

8.如图，在矩形ABC。中，。为AC的中点，E尸过。点且

EF14c分别交。。于E,交4B于E,点G是4E的中点,

S.Z.A0G=30°,则下列结论：（l）DC=30G；

（2）0G=：BC；（3）四边形AECF为菱形；（4）S-OE=

3s幽影ABCD•其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共14小题，共42.0分）

第2页，共35页

9.如图，点4(2,1)在反比例函数y=$的图象上，过4作ABly轴于B,在反比例函数

图象上找一点P,使PH_LAB于H,若P、H、4三点组成的三角形与△408相似，

则P点的坐标是.

10.如图，E,F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足

AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交4G于点H.若正

方形的边长为4,则线段。“长度的最小值是.

11.RfABCZCB=90。，点。-B中点且8=争如果RfABC面积为1,则它周

长为______

12.如图，在平面直角坐标系中，点4、B的坐标分别为(4,0)、

(0,2),点C为线段上任意一点(不与点4、B重合).CO_L

。4于点。，点E在DC的延长线上，EF_Ly轴于点尸，若点C

为DE中点，则四边形ODEF的周长为.

13.如图，RtAABC中，ZC=90°,以斜边4B为边向外作

正方形4BDE,且正方形对角线交于点。，连接OC,已

知4c=3,OC=6VL则另一直角边BC的长为.

B

14.如图，点M是正方形ZBCD内一点，AMBC是等边三角形,

连接AM、MD.对角线8。交CM于点N,现有以下结论：

（T）AAMD=150°；@MA2=MN-MC；③器=百；

④受也=智，其中正确的结论有（填写序号）.

15.如图，在RtA4BC中，^BAC=90°,乙B=60°,AB=2,

点E为BC上任意一点（不与点B,点C重合），连接EA,以EA,

EC为邻边作平行四边形B4DC,连接DE,则DE的最小值

为.

16.如图，在RtA/lBC中，/.ABC=90°,AB=3,BC=4,点E是△ABC内一点，且

^BEC=90°,连接AE,则线段4E的最小值为

17.如图，在5x2的正方形网格中，点4P,B为格点,

则乙4PB=.

18.矩形4BCD中，AB=5,4。=4,点E是射线4。上的一个动点，把△B4E沿BE折

叠，点4对应点4'落在射线DC上，则4E的长为.

19.如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据,

计算这个密封纸盒的表面积为cm?.（结果可保留根号

）.

20.如图所示，若△4BC内一点P满足NP4C=ZPB4="CB,则点P为AABC的布洛

卡点，三角形的布洛卡点是法国数学家长数学教育家克洛尔于1816年首次发现，

但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国

军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名.问题：已知在等腰直角三角形DEF中,

/.EDF=90°,若点、Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1,贝l]EQ+FQ=.

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D

----------BE

图1图2

21.如图，以AABC的边AB、4c为边往夕卜作正方形ABEF与正方形ACGD,连接BD、CF、

DF,若4B=2,AC=4,则BC?+。尸2的值为

22.甲、乙两车从4地出发，匀速驶向B地.甲车以80Mn〃的速度行驶1人后乙车才沿相

同路线行驶.乙车先到达8地并停留1八后，再以原速按原路返回，直至与甲车相

遇.在此过程中，两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间无(八)之间的函数关系如图

所示，则m=.点”的坐标.

三、计算题(本大题共1小题，共6.0分)

23.已知一次函数y=mx+n(m*0)与反比例函数y=

三(k丰0)的图象相交于力(一2,3)、C(3,p)两点，过4作x轴

的垂线交x轴于8.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)求点C坐标;

(3)求一次函数的表达式;

(4)求三角形40M的周长.

四、解答题(本大题共6小题，共48.0分)

24.如图，已知Rt△ABC的顶点4是一次函数y=x+zn与反比例函数y=9的图象在第

一象限内的交点，且SAAOB=3.

(1)该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？若能确定，请写出它们的

解析式；若不能确定，请说明理由.

(2)如果线段AC的延长线与反比例函数的图象的另一部分交于。点，求^C。。的面

积.

(3)请判断△4。。为何特殊三角形，并证明你的结论.

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25.已知反比例函数y=?的图象经过点4(—2,1),一次函数丁=/^+6的图象经过点

C(0,3)与点4且与反比例函数的图象相交于另一点B.

(1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式；

(2)求点B的坐标；

(3)求三角形OAB的面积；

(4)在尤轴是否存在一点P使A04P为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若

不存在，请说明理由.

22

za-5a+2］《、.a-4其中。=春・

26.先化简，再求值:(--------11)—z----,

'a+2'a2+4a+4

27.如图1,已知点。在四边形4BCC的边ZB上，且04=OB=0C=0。=2,0C平分

乙B0D,与BC交于点G,AC分别与BD、0D交于点、E、F.

(1)求证：0C“AD；

(2)如图2,若DE=DF,求祭的值；

⑶当四边形486的周长取最大值时，求器的值.

28.如图，正方形4BCD的顶点4、B分别在％轴和y轴上，DC的延长线交y轴于E,CB的

延长线交x的负半轴于F.

⑴求证：4ABF三4BCE；

(2)连接EF,若EF=Sa,OF=1,OB=2,求正方形4BC0的边长；

(3)在(2)的条件下，动点P从点4出发沿x轴正方向向右移动，当4P为多少时，△PAD

为等腰三角形？

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29.一只不透明的箱子里有三种不同颜色的球，其中2个白球，1个红球，3个黄球，它

们除颜色外均相同.从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅

匀后再摸出一个球，求两次摸出的球颜色相同的概率.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查一次函数图象上的点的特征、两点之间线段最短问题、勾股定理，解题的关键

是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题.

本题利用两点之间，线段最短，构造全等，结合三角形的知识利用转化思想可以求解.

【解答】

解：如图，过点C作CF〃y轴，并使得CF=AB,

在'=亨》+>/4中，当y=0时，x--3,

•••B(-3,0),

•••C(3,0),

・•.A48C为等腰三角形，

:.Z.BAO=Z.CAO,

■■CF〃y轴，

:.乙FCE=Z.CAO,

••Z.FCE=/.BAD,

在△BAD与△FCE中，

•AD=CE

乙BAD=乙FCE,

.AB=CF

：.^BAD=^FCE(SAS),

EF—BD,

BD+BE=EF+BE,

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•••尸为定点，CF=4B=y/AO2+BO2=，9+55=8.

二当E点在BF的连线上时（图中E'位置），EF+BE最短，即8。+BE最短（两点之间，线

段最短），

此时4点在上（图中H'位置），0H（即图中。"'）为4BC尸的中位线，

;此时0H=gCF=4,

二此时H（0,4）,

故选A.

2.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查了点的坐标的相关知识；用到的知识点为：至仕轴（或y轴）的距离相等的点的纵

坐标（或横坐标）相等或互为相反数.

根据不同的点A（a+2,4）和8（3,2（1+2）到x轴的距离相等，得到4=|2a+2|,a+2K3,

即可解答.

【解答】

解：•••不同的两点A（a+2,4）和8（3,2。+2）到x轴的距离相等，

・•・4=\2a+2|,

a=-3或1,

又1a+2=3,

解得a=-3,

故选A.

3.【答案】D

【解析】解：vGE//DF,

・•・Z-EGF=Z-DFG.

・・•由翻折的性质可知：GD=GE,DF=EF,Z,DGF=Z.EGF,

:.乙DGF=Z-DFG.

•••GD=。/7.故①正确；

・•・DG=GE=DF=EF.

・•・四边形EFDG为菱形，故②正确;

如图1所示：连接DE,交ZF于点。.

•••四边形EFDG为菱形，

GFA.DE,0G=OF=-GF.

2

vZ-DOF=Z.ADF=90°,Z-OFD=Z.DFA,

DOF~AADF.

"S=DF,即DF2=FO-4F.

•••FO=2-GF,DF=EG,

...EG2=：GFYF.故③正确；

如图2所示：过点G作GHJ.DC,垂足为H.

■■EG2=1GF-AF,AG=6,EG=2而，

20=|FG(FG+6),整理得：FG2+6FG-40=0.

解得：FG=4,FG=-10(舍去).

•••DF=GE=2V5>AF=10,

AD=y]AF2-DF2=4V5.

vGH1DC,AD1DC,

：.GH//AD.

•••△FGH~AFAD.

GHFGGH4

J・一=—,即nn一F=——,

ADAF14V510

8隗

GruH——，

5

BE=AD-GH=4V5一?=•故④正确.

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故选：D.

先依据翻折的性质和平行线的性质证明NDGF=/DFG,从而得到GD=C凡接下来依

据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF,连接DE,交4尸于点。.由菱形的性质可知

GF1DE,0G=OF=^GF,接下来，证明△DOF-AADF,由相似三角形的性质可证

明DF2=FOTF,于是可得到GE、AF、FG的数量关系，过点G作GH1DC,垂足为H.

利用(2)的结论可求得FG=4,然后再△ADF中依据勾股定理可求得ZD的长，然后再证

明△FGHsAFAD,利用相似三角形的性质可求得G”的长，最后依据BE=4D-GH求

解即可.

本题属于四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和

性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到2=

FO-4F是解题答问题②的关键,依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题④的关

键.

4.【答案】D

【解析】解：由题意得：

①当点P在84上运动时(0<x<4),y=^BQxPQ=^BP-cosBxBP-sinB=|x

2

lxx^x=^x,图象为二次函数；

228

②当点P在4D上运动时(4<xW6),y=：BQxCD4X?BQ=6BQ,图象为

一次函数；

③当点P在DC上运动时，y=lBQxCP=y=^BCxCP=^x4CP=2CP,图象为一

次函数；

所以符合题意的选项是D.

故选：D.

分别求出点P在84上运动、点P在4。上运动、点P在DC上运动时的函数表达式，进而求

解.

本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，此类

问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

此题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关内容.首先连接BE,由题

意易得BF=CF,△ACO-^B”0,然后由相似三角形的对应边成比例，易得H。：CO=1：

3,即可得Of：CF=OF：BF=1：2,在RtAOBf1中，即可求得tan/BOF的值，继而

求得答案.

【解答】

解：如图，连接BE,与CD交于点F,

AEC

D

•••四边形BCEH是正方形，

HF=CF=^CH,BF=EF=\BE,CH=BE,BE1CH,

22

・・・BF=CF,

AC//BH,

・•・△ACO^h.BHO,

••HO：CO=BH：AC=1：3,

・・•CF=HF,

・•・HO：HF=1：2,

HO=OF=-2CF=-2BF,

pp

在RtAOBF中，tanzBOF=37=2

vZ.AOD=乙BOF,

:.tanZ-AOD=2.

故选B.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决

第14页，共35页

问题，属于中考常考题型.

方法一：设做科9，的片)，则。(科汾D(n2),根据题意列出方程组即可解决问

题.

____-11

方法一•：由反比例函数的性质可知Sf0E=S^BOF=-5上1,S〉COE=S&DOF=］卜2,结

合SfOC=S^AOE+S^COE和S^BOD=LDOF+S^BOF可求得々2—々1的值•

【解答】

解：解法一：设4(喈),B*)，则。侬,),D(n*),

10

n—m=—

?=2,解得七一七=4.

^1=3

{n

解法二：连接。4、OC、0D、0B,如图：

由反比例函数的性质可知S-OE=SABOF=与=-汕，

S&COE=S&DOF=2^2»

SAAOC=ShA0E+SACOE，

\AC0E=1X20E=0E=^k2-fcj…①，

,,,S&BOD=S4DOF+SbBOF，

••[BD•OF=3x3(FF-OF)=|x3(y-OF)=5-|0E=|(/c2-kJ...②,

由①②两式解得0E=2,则0—自=4.

故选A.

7.【答案】B

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决

问题，属于中考常考题型.

在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题.

【解答】

解：在Rt△ABC中，AB=—,

AC

在RtA/CD中，AD=

♦r>4nACAC_sin£

AD=^--丽=嬴，

故选：B.

8.【答案】C

【解析】解：■■■EF1AC,G是4F的中点，

・•・AG=0G=GF,

AZ.OAF=Z.AOG=30°,

在直角△ABC中，/-CAB=30°,

•••BC=^AC=OC,设BC=a,AC=2a,AO=OC=a.

AE=-a,AB=V3a,OG=­a,

33

CD=AB=3OG,故①正确；

OG=^-a^^a=^BC,故②错误；

易证△FOC=AEOA,

OE=OF,

X---AO=OC,EFLAC,

二四边形4FCE是菱形，故③正确；

"：S^AOE=20'日=1小'S矩形ABCD=A'8a=四心,

Zoo

"SAAOE=%S矩形ABCD，故④正确•

故选：C.

根据条件，OG是直角AAOE斜边上的中线，且AFOC三△EOA,然后利用三角函数求得

BC、以及。力、OC之间的关系即可作出判断.

本题考查了矩形的性质以及菱形的判定，正确理解图形中NC4B=30。，从而确定BC、

2B以及。4、0C之间的关系是关键.

9.【答案】(0.5,4),P2(-2,-l),P3(-0.5,-4)

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【解析】解：,••点4(2,1)在反比例函数y的图象上

xy=fc=1x2=2,

・・2ABe

•7y=-X,—BO=2,

•・•在反比例函数图象上找一点P,使于H,

若P、H、4三点组成的三角形与△/。8相似，

假设P点横坐标为：X,则纵坐标为：

2

:.AH=%—2,HP1=1-

••・当盛=2,

X—2

7=2,

1—

X

解得：工1=%2=2(不合题意舍去),

业PHc

当一AH=2,

1--

・•・—=2,

x-2

解得：%!=0.5,%2=2(不合题意舍去),

・••yi=4,

•••PT的坐标为:(0.5,4),

同理可得出「2,23点的坐标分别为：P2(-2,-l),P3(-0.5,-4).

故答案为：(0.5,4),P2(-2,-l),P3(-0.5,-4).

根据点4(2,1)在反比例函数y=(的图象上，首先得出反比例函数的解析式，进而求出AB,

B。的比值，进而得出APHA直角边之间比值关系分别求出即可.

此题主要考查了反比例函数的综合应用以及相似三角形的性质，根据已知得出△P/M直

角边之间比值关系是解题关键.

10.【答案】2V5-2

【解析】解：在正方形4BCD中，AB=AD=CD,乙BAD=^CDA,乙ADG=cCDG,

在△/8£'和4DCF中，

AB=CD

Z-BAD=Z.CDAy

AE=AF

・•・△ABE三△DCF(SAS),

・•・zl=42,

在△4DG和△COG中，

(AD=CD

\^ADG=MDG,

WG=DG

•••△4DG三△CDG(S4S),

:.z2=z3,

・•・zl=z3,

・••Z.BAH+43=乙BAD=90°,

・・.Zl+乙BAH=90°,

・•・Z.AHB=180°-90°=90°,

取AB的中点0,连接OH、OD,

则0”=AO=^AB=2,

在Rt△40。中，OD=>JAO2+AD2=2察),

根据三角形的三边关系，OH+DH>OD,

二当0、D、H三点共线时，。”的长度最小，

最小值=OD-OH=2y/5-2.

故答案为：2V5—2.

根据正方形的性质可得4B=AD=CD,ABAD=/.CDA,^ADG=MDG,然后利用“边

角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得41=42,利用“S4S”

证明△4%和4CDG全等,根据全等三角形对应角相等可得42=N3,从而得到N1=43,

然后求出乙AHB=90。，取AB的中点。，连接0"、0D,根据直角三角形斜边上的中线

等于斜边的一半可得。"=；48=2,利用勾股定理列式求出0D,然后根据三角形的三

边关系可知当。、D、H三点共线时，。〃的长度最小；

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半的性质、三角形的三边关系等知识，确定出OH最小时点H的位置是解题关键，

第18页，共35页

也是本题的难点.

11.(答案】3+V5

【解析】解：在R24BC.44cB=90。，

AC2+BC2=AB2,

•••。是AB中点且CO=更，

2

AB=2CD=V5.

AC2+BC2=AB2=5,

•••/?鹏48。面积为1,^BC-AC=1,

:・BC，AC=2,

・••(AC+BC)2=心+叱+28。•*=5+2x2=9,

・•・AC+BC=3,

•••△48(7的周长为4(?+8。+48=3+V5.

故答案为3+而.

由直角三角形斜边上的中线可求解4B的长，利用勾股定理，完全平方公式，结合△ABC

的面积可求解4C+BC的值，进而可求解A4BC的周长.

本题主要考查直角三角形斜边上的中线，勾股定理，完全平方公式，灵活运用直角三角

形斜边上的中线的性质及完全平方公式是解题的关键.

12.【答案】8

【解析】解：设直线48的解析式为y=kx+b,

将点4(4,0)、点8(0,2)代入丫=%刀+匕中，

得:f^v=0-

3=2

解得：卜=一;.

lb=2

二直线AB的解析式为y=-1x+2.

1

设点。的坐标为(私一3M+2)(0VmV4),则点E的坐标为(皿一6+4),

1

:.0D=EF=m,CD=2--m,DE=4—m,

VEDLOA,EFly轴，BO1OA,

•••ZO=zF=4ODE=90°,

•••四边形ODE尸为矩形.

:,C矩开外DEF=2x(JJD+DEy)=2x(m+4—ni)=8.

故答案为：8.

利用待定系数法求出直线4B的解析式，由点C在直线4B上设出点C的坐标为0,-^6+

2),由点C为线段。E的中点可找出点E的坐标，从而找出线段OD、DE的长度，利用EC1

OA,EF_Ly轴，B。1。4可得出4。=NF=NODE=90。，从而得出四边形OOEF为矩

形，再根据矩形的周长公式即可得出结论.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的判定及性质以及矩形的周长公式，属

于基础题，难度不大.解题的关键是找出点E的坐标.

13.【答案】9

【解析】解：过。作0F1BC于尸，过4作4ML0F于M,

•••AACB=90°,

・•・Z.AMO=Z-OFB=90°,Z-ACB=乙CFM=Z-AMf=90°,

・•・四边形4CFM是矩形，

­-AM=CF,AC=MF=3,

・••四边形A8DE为正方形，

.%Z,AOB=90°,04=08,

・•・Z,AOM+乙BOF=90°,

又・.•乙4M。=90°,

・・・Z,AOM+Z-OAM=90°,

・•・乙BOF=Z.OAM,

Z.OAM=乙BOF

在△4。时和4OBF^\z.AMO=Z-OFB,

OA=OB

/.△AOM^L0BF(44S),

.-.AM=OF,OM=FB,

・•・OF=CF,

v乙CFO=90°,

第20页，共35页

・・.△CF。是等腰直角三角形，

v0C=6V2,由勾股定理得：CF=OF=6,

BF=0M=OF-FM=6-3=3,

BC=6+3=9.

故答案为：9.

过。作。FJ.BC,过4作4M1。尸，根据正方形的性质得出乙40B=90。，OA=OB,求

出NBOF=4O4M,根据A4s证△40M三ABOF,推出4M=OF,OM=FB,求出四边

形4CFM为矩形，推出AM=CF,AC=MF=3,得出等腰三角形三角形。。尸，根据勾

股定理求出CF=0F=6,求出BF,即可求出答案.

本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应

用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，有一定的难度.

14.【答案】①②③④

【解析】解：,・・△MBC是等边三角形，

・•・Z.MBC=乙MCB=乙CMB=60°,BM=BC,

,・•四边形4BCD是正方形，

・•・Z.ABC=乙BCD=乙BAD=^ADC=90°,AB=BC,

/.ABM=乙DCM=30°,

vAB=BM,

:./.AMB=乙BAM=|(180°-30°)=75°,

同理4CMD=4CDM=75°,

乙AMD=360°—75°-75°-60°=150°；

故①正确；

•••四边形是正方形，

•・・乙BDC=45°,

・•・(MDN=Z.CDM一乙BDC=75°-45°=30°,

•・•Z.CMD=乙CMD,乙MDN=乙DCM=30°,

・•・△MNDfMDC,

MNDM

,•DM-MC'

・・・DM2=MN•MC,

V/.BAD=/-ADC,乙BAM=£CDM,

・•・匕MAD=Z.MDA,

:.MA=DM,

MA2=MN-MC,

故②正确；

过N作NH1CD于H,设NH=x,如图1所示:

则NH1BC,乙NDH=乙DNH=45°,

•••NH=DH=x,

图1

■：乙NCH=30°,4CHN=90°

•••CN=2x,CH=V3x,

vNH//BC,

,BN_CH_y[3x_历

DNDHX

故③正确；

过M作MG1AB于G,如图2所示：

设MG=x,

RMBGM中，乙GBM=30°,图2

BM=BC=AB=2x,BG=V3x，

•••AG=2x—V3x>

1

.S—MD_?4rMG_AG__Zx-Mx_2-国

S^BMC^BCBGBG\[3x\f3，

故④正确；

故答案为：①②③④.

①先根据等边三角形得NCMB=60°,再根据等腰三角形的性质得乙4MB=Z.CMD=

75°,最后根据周角的定义即可得出结论;

②证明△MND~MDC,列比例式即可得出结论：

③过N作NH_LC。于H,设NH=x,根据平行线分线段成比例定理即可得出结论：

④过M作MG14B于G,设MG=x,根据直角三角形30度角的性质和勾股定理分别计

算BC、AG.BG的长，根据面积公式计算即可得出结论.

本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形

的判定与性质，勾股定理、平行线的性质等知识：设出未知数，表示出各边长是解题的

关键.

第22页，共35页

15.【答案】V3

【解析】解：；/.BAC=90°,乙B=60。,

Z.ACB=30°,

•••BC=2AB=4,AC=y/3AB=26，

•••四边形E40C是平行四边形，

EO=DO,CO=40=遍，

DE最短也就是EO最短，

•••过。作BC的垂线OF,

•••AACB=乙FCO,乙CFO=ACAB=90°,

・•・△CAB^ACFO,

...更=些，即;=三，

COFOV3FO

**.FO=—,

2

・••则DE的最小值为2F0=V3.

故答案为：V3.

由平行四边形的性质可知。是4c中点，CE最短也就是E。最短，故应该过。作BC的垂线

OF,然后证明△O1B-4CF。，利用相似三角形的性质即可求出DE的最小值.

本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段

最短的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键.

16.【答案】713-2

【解析】解：找到BC的中点D,连结AD交BC为直径

的圆于E,

在RCZMBC中，AABC=90°,BC=4,

BD=DE=-BC=2,

2

在RtAABD中，/.ABD=90°,AB=3,BD=2,

AD=7ABz+BD?-V32+22-V13,

DE=^BC=2,

••・线段4E的最小值为VH-2.

故答案为：713-2.

找到BC的中点。，连结4。交BC为直径的圆于E,4E的长即为所求中点线段4E的最小值,

先根据直角三角形斜边上的中线的性质可求DE,再根据勾股定理可求4。，再相减即可

求解.

考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，关键是理解找到BC的中点D,连结

4。交BC为直径的圆于E,AE的长即为所求中点线段4E的最小值.

17.【答案】135°

【解析】解：如图，延长4P交网格于点C,连接BC.

22

VPC=722+12=75，BC=V2+I=衣,PB=

V32+I2=V10,

:.PC=BC,PC2+BC2=PB2,

：.△PBC是等腰直角三角形，

Z.BPC=45°,

•••Z.APB=180°-乙BPC=135°.

故答案为：135。.

延长4P交网格于点C,连接BC.利用勾股定理求出PC=V22+12=遮,BC=

V22+l2=V5,PB=V32+l2=VTO,由于PC=BC,PC2+BC2=PB2,即可判定

△PBC是等腰直角三角形，那么4BPC=45。，再根据邻补角定义求出41PB.

本题考查了勾股定理及其逆定理，作出辅助线，利用勾股定理的逆定理及等腰三角形的

判定得出4PBC是等腰直角三角形是解题的关键.

18.【答案】2.5或10

第24页，共35页

【解析】解：（1）当点E在4D上时，如图1所示:

由折叠得，BA=BF=5,在RtABCF中，

FC=V52-42=3，

DF=DC-FC=5-3=2,

设4E=x,由折叠得AE=EF=x,DE=4-x,

在Rt^DEF中，由勾股定理得,

(4-x)2+22=X2,

解得:x=2.5,即4E=2.5,

(2)当点E在4。的延长线上时，如图2所示:

由折叠得，AE=FE,BA=BF=5,

•"BCD是矩形，

■■■AD=BC=4,AB=CD=5,

在Rt△BCF中,CF=y/52-42=3,

：.DF=DC+CF=5+3=8,

设4E=x,则EF=x,DE=x—4,

在RtADEF中，由勾股定理得,

(x-4)2+82=x2,

解得：x=10,即4E=10,

故答案为：2.5或10.

根据题意分两种情况进行解答，（1）当点E在4D上时，（2）当点E在4D的延长线上时，分

别画出相应的图形，结合图形，根据矩形的性质、折叠的性质和勾股定理，可求出FC,

进而求出DF,设未知数，表示出DE、EF,在RtADEF中，由勾股定理建立方程求解即

可.

考查矩形的性质、折叠轴对称的性质、勾股定理等知识，设未知数把问题转化到一个直

角三角形中是解决问题的关键也是常用的方法.

19.【答案】360+75V3

【解析】解：根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱,

•••其高为12cm,底面半径为5,

其侧面积为6x5x12=360cm2

密封纸盒的底面积为：12x^x5x更x5x^=-V3cm2，

2222

.•・这个密封纸盒的表面积为：(75通+360)cm2；

故答案为：(360+756).

根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，其表面积是六个面的面积加上两个底的面

积，从而得出答案.

本题考查了由三视图判断几何体及解宜角三角形的知识，解题的关键是正确的判定出几

何体的形状.

20.【答案】V2+2

【解析】解：如图2中，在等腰直角ADEF中，^EDF=90°,DE=DF,zl=42=43,

41+乙QEF=43+乙DFQ=45°,

・•・Z-QEF=乙DFQ,

vz.2=z3,

•••△DQF~XFQE,

.DQ_FQ_DF_1

*,FQ-QE-EF-VF

•・•DQ=1,

FQ=V2，EQ=2,

EQ+FQ=V2+2-

故答案为立+2.

先根据题意得N2=N3,再证明△DQFS^FQE,然后运用相似三角形的性质即可求出

结果.

本题以新定义”三角形的布洛卡点”为载体，考查了等腰直角三角形的性质和相似三角

形的判定和性质，属于基础题型，正确理解题意、证明是解题关键.

21.【答案】40

【解析】解：如图所示，连接BF,CD,品、

•••四边形4BEF,四边形4CGD都是正方形，F//i'、

AB=AF,AC=AD,^BAF=/.CAD=90°,\/

・•・Z.BAD=Z.FAC,

B

第26页，共35页

•••△BAD三△尸ZC(SAS),

・•・Z.ACF=Z.ADB,

又•・•AAHC=乙OHD,

・•・^CAH=乙DOH=90°,

ACF1BD,

222222222222

^BC=OB^OC.DF=OD+OF,BF=OB+OF,DC=OD+OCf

：.BC2+DF2=OD2+OF2+OB2+OC2,

BF2+DC2=OD2+OF2+OB2+OC2,

22

即8c2+D/2=BF+DC,

又尸和△4CD都是等腰直角三角形，且4B=2,AC=4,

•••BF2+DC2=8+32=40,

BC2+DF2=40,

故答案为：40.

先判定△84。三△凡4C,即可得出乙4CF=乙4。8,进而得到CF1BD,再根据勾股定理

即可得至IBC?+DF2=OD2+OF2+OB2+OC2=BF2+DC2,依据人口=2,AC=4,

即可得到8。2+。片的值.

本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，全等三

角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.解决问题的关键是

作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理进行计算.

22.【答案】80(7,80)

【解析】解：由题意可得，

乙车的速度为：吧菖=120碗",

zn=120x6-80x(6+1)=160,

点H的纵坐标为：160—80x1=80,横坐标为7,

即点H的坐标为(7,80),

故答案为：80,(7,80).

根据题意和函数图象中的数据可以计算出血的值，并求出点H的坐标，本题得以解决.

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

23.【答案】解：(1)将4(—2,3)代入反比例解析式得：3=g即k=—6,

则反比例解析式为y=-*

(2)将C(3,p)代入反比例解析式得：p=-|=-2,

则C(3,-2)；

(3)将A与C代入一次函数解析式得：｛就;X；,

解得：｛j二J］，

则一次函数解析式为y=—x+1；

(4)对于一次函数y=-x+1,令y=0求出x=1,

•••M(1,O),即OM=1,

：.BM=OB+OM=2+1=3,

在RtMBM中，AB=3,BM=3,

根据勾股定理得：AM=y/AB2+BM2=3企，

在Rt/MOB中，0A=3,OB=2,

根据勾股定理得：AB=y/OA2+OB2=V13，

则△40M周长为力。+AM+0M=3y/2+V13+1.

【解析】(1)将4坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；

(2)将C代入确定出的反比例解析式中求出p的值，即可确定出C的坐标；

(3)将4与C坐标代入一次函数解析式中求出m与n的值，即可确定出一次函数解析式；

(4)对于一次函数解析式，令y=0求出x的值，确定出0M的长，由。8+。”求出的

长，在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出的长，在直角三角形40B中，利用勾

股定理求出。4的长，由02+0M+4M可求出三角形A0M的周长.

此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析

式，坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，是一道中档题.

24.【答案】解：(1>SA40B=3,

反比例函数的解析式是y==,即m=6,

则一次函数的解析式是y=%+6；

y=x+6

=6,

fyv

第28页，共35页

解得:卜二3+磨或卜二3一磨，

(y=3+V15(y=3-V15

则4的坐标是(一3+V15,3+V15)，。的坐标是(一3—V15,3-V15).

直线y=x+6交x轴于点C(-6,0),

则Ze。。=3V15-9.

(3)04=J(-3+V15)2+(3+V15)2=4V3>

0D=J(-3-V15)2+(3-V15)2=4V3>

则。A=0D,

由图形可知乙40D>90°,

则44。。是钝角等腰三角形.

【解析】(1)根据反比例函数的比例系数k的几何意义求得m的值，则一次函数的解析式

即可求得；

(2)解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，求得4和。的坐标，再求得C的坐

标，则△C。。的面积即可求得；

(3)求得。4和0D的长，即可作出判断.

本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，正确解方程组求得4和。的坐标是关

键.

25.【答案】解：(1)将4(一2,1)代入反比例函数y=(中，解得：m=-2.

所以反比例函数的解析式为：丫=-|

将点4(一2,1)、。(0,3)代入一次函数丫=/«:+/)中，解得：k=l,b=3.

所以一次函数的解析式为：y=x+3；

(2)解方程组y=一以，得

(y=%+3

(xl=-1(x2=—2

lyl=2[y2=lf

即交点坐标为B(-1,2)；

(3)S&A0C=]X3x2=3,

1=1.5,

SfOB=SAAOC-SABOC=3-1.5=1.5；

(4)共四点：(-4,0),(-1.25,0)(75,0)(-V5,0).

【解析】(1)根据相关点的坐标易求解析式；

⑵解它们组成的方程组即得；

(3)SMOB=S4Aoe—S^BOC；

(4)显然存在.分以04为底边、为腰讨论.

此题难度在后两个问题.主要运用了：(1)分割转化思想(2)分类讨论思想.只有熟练掌

握这些知识才能正确解答.

26.【答案】解：原式=史等+竿第2

a+2(Q+2)/

(a—2)2a+2

a+2a—2

=Q—2,

当a=壶=2-倔寸，

原式=2-V3-2=-V3.

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值分母有理化，继

而代入计算可得.

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.

27.【答案】(1)证明：・••4。=。。，

:.Z.OAD=Z.ADO,

v0c平分4BOD,

:.Z-DOC=(C0B,

又•・•乙DOC+Z-C0B=Z-OAD+Z.ADO,

・•・/,ADO=乙DOC,

ACO//AD；

(2)解：如图1,过点E作EM〃FD交4D的延长线于点M,

第30页，共35页

M

图1

设=a,

vCO//AD,

・♦・乙ACO=Z.DAC=a,

-AO=OC,

AZ.OAC=AOCA=a,

,:OA=OD,

・•・Z.ODA=Z-OAD=2a,

vDE=DF,

・•・Z-DFE—乙DEF=3a,

•：4。=OB=OD,

・•・Z-ADB=90°,

・•・^DAE+Z.AED=90°,

即4a=90°,

・•・Z,ADF=2a=45°,

・♦・乙FDE=45°,

・•・匕M=^ADF=45°,

・•・EM=42DE=&DF,

・・•DF//EM,

ADF,

AEEM

(3)解：如图2,

图2

vOD=OB,/-BOC=4DOC,

BOC二△DOC(SAS),

•••BC=CD,

：.0c垂直平分BD,

设BC=