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文档简介
2021年广东省深圳市罗湖区布心中学中考数学模拟试卷
(8)
B.(0,5)
C.(0,亨)
D.(0,V55)
2.已知在平面内不同的两点A(a+2,4)和8(3,2a+2)到%轴的距离相等,贝心的值为
()
A.-3B.-5C.1或—3D.1或一5
3.如图,将矩形力BCD沿”折叠,使点。落在BC边的点E处,
过点E作EG〃CD交4尸于点G,连接DG.给出以下结论:
@DG=DF-,②四边形EFCG是菱形;(3)EG2=^GFx
AF-,④当4G=6,EG=2而时,BE的长为蓝有,其中
正确的编号组合是()
A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④
4.如图,在四边形ABCC中,/W〃BC,NB=60。/。=90。,AB=4,4----
4。=2,点「从点8出发,沿8-4-。->。的路线运动到点6;,Y
过点P作PQ1BC,垂足为Q.若点P运动的路程为X,△BPQ的面8T-----'C
积为y,则表示y与x之间的函数关系图象大致是()
5.如图,在边长为1的小正方形网格中,点4B,C,。都在这些
小正方形上,AB与CD相交于点0,则tan乙400等于()
16
3
D.6
7.如图,两根竹竿4B和4。斜靠在墙CE上,量得N4BC=a,
乙ADC=0,则竹竿与2D的长度之比为()
tana
A,诉
Bsi―
•sina
csina
C・sinfi
Dcos/?
*cosa
8.如图,在矩形ABC。中,。为AC的中点,E尸过。点且
EF14c分别交。。于E,交4B于E,点G是4E的中点,
S.Z.A0G=30°,则下列结论:(l)DC=30G;
(2)0G=:BC;(3)四边形AECF为菱形;(4)S-OE=
3s幽影ABCD•其中正确的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题(本大题共14小题,共42.0分)
第2页,共35页
9.如图,点4(2,1)在反比例函数y=$的图象上,过4作ABly轴于B,在反比例函数
图象上找一点P,使PH_LAB于H,若P、H、4三点组成的三角形与△408相似,
则P点的坐标是.
10.如图,E,F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足
AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交4G于点H.若正
方形的边长为4,则线段。“长度的最小值是.
11.RfABCZCB=90。,点。-B中点且8=争如果RfABC面积为1,则它周
长为______
12.如图,在平面直角坐标系中,点4、B的坐标分别为(4,0)、
(0,2),点C为线段上任意一点(不与点4、B重合).CO_L
。4于点。,点E在DC的延长线上,EF_Ly轴于点尸,若点C
为DE中点,则四边形ODEF的周长为.
13.如图,RtAABC中,ZC=90°,以斜边4B为边向外作
正方形4BDE,且正方形对角线交于点。,连接OC,已
知4c=3,OC=6VL则另一直角边BC的长为.
B
14.如图,点M是正方形ZBCD内一点,AMBC是等边三角形,
连接AM、MD.对角线8。交CM于点N,现有以下结论:
(T)AAMD=150°;@MA2=MN-MC;③器=百;
④受也=智,其中正确的结论有(填写序号).
15.如图,在RtA4BC中,^BAC=90°,乙B=60°,AB=2,
点E为BC上任意一点(不与点B,点C重合),连接EA,以EA,
EC为邻边作平行四边形B4DC,连接DE,则DE的最小值
为.
16.如图,在RtA/lBC中,/.ABC=90°,AB=3,BC=4,点E是△ABC内一点,且
^BEC=90°,连接AE,则线段4E的最小值为
17.如图,在5x2的正方形网格中,点4P,B为格点,
则乙4PB=.
18.矩形4BCD中,AB=5,4。=4,点E是射线4。上的一个动点,把△B4E沿BE折
叠,点4对应点4'落在射线DC上,则4E的长为.
19.如图是一个上下底密封纸盒的三视图,请你根据图中数据,
计算这个密封纸盒的表面积为cm?.(结果可保留根号
).
20.如图所示,若△4BC内一点P满足NP4C=ZPB4="CB,则点P为AABC的布洛
卡点,三角形的布洛卡点是法国数学家长数学教育家克洛尔于1816年首次发现,
但他的发现并未被当时的人们所注意,1875年,布洛卡点被一个数学爱好者法国
军官布洛卡重新发现,并用他的名字命名.问题:已知在等腰直角三角形DEF中,
/.EDF=90°,若点、Q为△DEF的布洛卡点,DQ=1,贝l]EQ+FQ=.
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D
----------BE
图1图2
21.如图,以AABC的边AB、4c为边往夕卜作正方形ABEF与正方形ACGD,连接BD、CF、
DF,若4B=2,AC=4,则BC?+。尸2的值为
22.甲、乙两车从4地出发,匀速驶向B地.甲车以80Mn〃的速度行驶1人后乙车才沿相
同路线行驶.乙车先到达8地并停留1八后,再以原速按原路返回,直至与甲车相
遇.在此过程中,两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间无(八)之间的函数关系如图
所示,则m=.点”的坐标.
三、计算题(本大题共1小题,共6.0分)
23.已知一次函数y=mx+n(m*0)与反比例函数y=
三(k丰0)的图象相交于力(一2,3)、C(3,p)两点,过4作x轴
的垂线交x轴于8.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求点C坐标;
(3)求一次函数的表达式;
(4)求三角形40M的周长.
四、解答题(本大题共6小题,共48.0分)
24.如图,已知Rt△ABC的顶点4是一次函数y=x+zn与反比例函数y=9的图象在第
一象限内的交点,且SAAOB=3.
(1)该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定?若能确定,请写出它们的
解析式;若不能确定,请说明理由.
(2)如果线段AC的延长线与反比例函数的图象的另一部分交于。点,求^C。。的面
积.
(3)请判断△4。。为何特殊三角形,并证明你的结论.
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25.已知反比例函数y=?的图象经过点4(—2,1),一次函数丁=/^+6的图象经过点
C(0,3)与点4且与反比例函数的图象相交于另一点B.
(1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式;
(2)求点B的坐标;
(3)求三角形OAB的面积;
(4)在尤轴是否存在一点P使A04P为等腰三角形?若存在,直接写出点P的坐标;若
不存在,请说明理由.
22
za-5a+2]《、.a-4其中。=春・
26.先化简,再求值:(--------11)—z----,
'a+2'a2+4a+4
27.如图1,已知点。在四边形4BCC的边ZB上,且04=OB=0C=0。=2,0C平分
乙B0D,与BC交于点G,AC分别与BD、0D交于点、E、F.
(1)求证:0C“AD;
(2)如图2,若DE=DF,求祭的值;
⑶当四边形486的周长取最大值时,求器的值.
28.如图,正方形4BCD的顶点4、B分别在%轴和y轴上,DC的延长线交y轴于E,CB的
延长线交x的负半轴于F.
⑴求证:4ABF三4BCE;
(2)连接EF,若EF=Sa,OF=1,OB=2,求正方形4BC0的边长;
(3)在(2)的条件下,动点P从点4出发沿x轴正方向向右移动,当4P为多少时,△PAD
为等腰三角形?
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29.一只不透明的箱子里有三种不同颜色的球,其中2个白球,1个红球,3个黄球,它
们除颜色外均相同.从箱子中随机摸出一个球,记录下颜色后不将它放回箱子,搅
匀后再摸出一个球,求两次摸出的球颜色相同的概率.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查一次函数图象上的点的特征、两点之间线段最短问题、勾股定理,解题的关键
是学会用转化的思想思考问题,属于中考选择题中的压轴题.
本题利用两点之间,线段最短,构造全等,结合三角形的知识利用转化思想可以求解.
【解答】
解:如图,过点C作CF〃y轴,并使得CF=AB,
在'=亨》+>/4中,当y=0时,x--3,
•••B(-3,0),
•••C(3,0),
・•.A48C为等腰三角形,
:.Z.BAO=Z.CAO,
■■CF〃y轴,
:.乙FCE=Z.CAO,
••Z.FCE=/.BAD,
在△BAD与△FCE中,
•AD=CE
乙BAD=乙FCE,
.AB=CF
:.^BAD=^FCE(SAS),
EF—BD,
BD+BE=EF+BE,
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•••尸为定点,CF=4B=y/AO2+BO2=,9+55=8.
二当E点在BF的连线上时(图中E'位置),EF+BE最短,即8。+BE最短(两点之间,线
段最短),
此时4点在上(图中H'位置),0H(即图中。"')为4BC尸的中位线,
;此时0H=gCF=4,
二此时H(0,4),
故选A.
2.【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查了点的坐标的相关知识;用到的知识点为:至仕轴(或y轴)的距离相等的点的纵
坐标(或横坐标)相等或互为相反数.
根据不同的点A(a+2,4)和8(3,2(1+2)到x轴的距离相等,得到4=|2a+2|,a+2K3,
即可解答.
【解答】
解:•••不同的两点A(a+2,4)和8(3,2。+2)到x轴的距离相等,
・•・4=\2a+2|,
a=-3或1,
又1a+2=3,
解得a=-3,
故选A.
3.【答案】D
【解析】解:vGE//DF,
・•・Z-EGF=Z-DFG.
・・•由翻折的性质可知:GD=GE,DF=EF,Z,DGF=Z.EGF,
:.乙DGF=Z-DFG.
•••GD=。/7.故①正确;
・•・DG=GE=DF=EF.
・•・四边形EFDG为菱形,故②正确;
如图1所示:连接DE,交ZF于点。.
•••四边形EFDG为菱形,
GFA.DE,0G=OF=-GF.
2
vZ-DOF=Z.ADF=90°,Z-OFD=Z.DFA,
DOF~AADF.
"S=DF,即DF2=FO-4F.
•••FO=2-GF,DF=EG,
...EG2=:GFYF.故③正确;
如图2所示:过点G作GHJ.DC,垂足为H.
■■EG2=1GF-AF,AG=6,EG=2而,
20=|FG(FG+6),整理得:FG2+6FG-40=0.
解得:FG=4,FG=-10(舍去).
•••DF=GE=2V5>AF=10,
AD=y]AF2-DF2=4V5.
vGH1DC,AD1DC,
:.GH//AD.
•••△FGH~AFAD.
GHFGGH4
J・一=—,即nn一F=——,
ADAF14V510
8隗
GruH——,
5
BE=AD-GH=4V5一?=•故④正确.
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故选:D.
先依据翻折的性质和平行线的性质证明NDGF=/DFG,从而得到GD=C凡接下来依
据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF,连接DE,交4尸于点。.由菱形的性质可知
GF1DE,0G=OF=^GF,接下来,证明△DOF-AADF,由相似三角形的性质可证
明DF2=FOTF,于是可得到GE、AF、FG的数量关系,过点G作GH1DC,垂足为H.
利用(2)的结论可求得FG=4,然后再△ADF中依据勾股定理可求得ZD的长,然后再证
明△FGHsAFAD,利用相似三角形的性质可求得G”的长,最后依据BE=4D-GH求
解即可.
本题属于四边形与三角形的综合应用,解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和
性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用,利用相似三角形的性质得到2=
FO-4F是解题答问题②的关键,依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题④的关
键.
4.【答案】D
【解析】解:由题意得:
①当点P在84上运动时(0<x<4),y=^BQxPQ=^BP-cosBxBP-sinB=|x
2
lxx^x=^x,图象为二次函数;
228
②当点P在4D上运动时(4<xW6),y=:BQxCD4X?BQ=6BQ,图象为
一次函数;
③当点P在DC上运动时,y=lBQxCP=y=^BCxCP=^x4CP=2CP,图象为一
次函数;
所以符合题意的选项是D.
故选:D.
分别求出点P在84上运动、点P在4。上运动、点P在DC上运动时的函数表达式,进而求
解.
本题考查的是动点图象问题,涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识,此类
问题关键是,要弄清楚不同时间段,图象和图形的对应关系,进而求解.
5.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了相似三角形的判定与性质,解直角三角形的相关内容.首先连接BE,由题
意易得BF=CF,△ACO-^B”0,然后由相似三角形的对应边成比例,易得H。:CO=1:
3,即可得Of:CF=OF:BF=1:2,在RtAOBf1中,即可求得tan/BOF的值,继而
求得答案.
【解答】
解:如图,连接BE,与CD交于点F,
AEC
D
•••四边形BCEH是正方形,
HF=CF=^CH,BF=EF=\BE,CH=BE,BE1CH,
22
・・・BF=CF,
AC//BH,
・•・△ACO^h.BHO,
••HO:CO=BH:AC=1:3,
・・•CF=HF,
・•・HO:HF=1:2,
HO=OF=-2CF=-2BF,
pp
在RtAOBF中,tanzBOF=37=2
vZ.AOD=乙BOF,
:.tanZ-AOD=2.
故选B.
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征,解题的关键是利用参数,构建方程组解决
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问题,属于中考常考题型.
方法一:设做科9,的片),则。(科汾D(n2),根据题意列出方程组即可解决问
题.
____-11
方法一•:由反比例函数的性质可知Sf0E=S^BOF=-5上1,S〉COE=S&DOF=]卜2,结
合SfOC=S^AOE+S^COE和S^BOD=LDOF+S^BOF可求得々2—々1的值•
【解答】
解:解法一:设4(喈),B*),则。侬,),D(n*),
10
n—m=—
?=2,解得七一七=4.
^1=3
{n
解法二:连接。4、OC、0D、0B,如图:
由反比例函数的性质可知S-OE=SABOF=与=-汕,
S&COE=S&DOF=2^2»
SAAOC=ShA0E+SACOE,
\AC0E=1X20E=0E=^k2-fcj…①,
,,,S&BOD=S4DOF+SbBOF,
••[BD•OF=3x3(FF-OF)=|x3(y-OF)=5-|0E=|(/c2-kJ...②,
由①②两式解得0E=2,则0—自=4.
故选A.
7.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会利用参数解决
问题,属于中考常考题型.
在两个直角三角形中,分别求出AB、AD即可解决问题.
【解答】
解:在Rt△ABC中,AB=—,
AC
在RtA/CD中,AD=
♦r>4nACAC_sin£
AD=^--丽=嬴,
故选:B.
8.【答案】C
【解析】解:■■■EF1AC,G是4F的中点,
・•・AG=0G=GF,
AZ.OAF=Z.AOG=30°,
在直角△ABC中,/-CAB=30°,
•••BC=^AC=OC,设BC=a,AC=2a,AO=OC=a.
AE=-a,AB=V3a,OG=a,
33
CD=AB=3OG,故①正确;
OG=^-a^^a=^BC,故②错误;
易证△FOC=AEOA,
OE=OF,
X---AO=OC,EFLAC,
二四边形4FCE是菱形,故③正确;
":S^AOE=20'日=1小'S矩形ABCD=A'8a=四心,
Zoo
"SAAOE=%S矩形ABCD,故④正确•
故选:C.
根据条件,OG是直角AAOE斜边上的中线,且AFOC三△EOA,然后利用三角函数求得
BC、以及。力、OC之间的关系即可作出判断.
本题考查了矩形的性质以及菱形的判定,正确理解图形中NC4B=30。,从而确定BC、
2B以及。4、0C之间的关系是关键.
9.【答案】(0.5,4),P2(-2,-l),P3(-0.5,-4)
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【解析】解:,••点4(2,1)在反比例函数y的图象上
xy=fc=1x2=2,
・・2ABe
•7y=-X,—BO=2,
•・•在反比例函数图象上找一点P,使于H,
若P、H、4三点组成的三角形与△/。8相似,
假设P点横坐标为:X,则纵坐标为:
2
:.AH=%—2,HP1=1-
••・当盛=2,
X—2
7=2,
1—
X
解得:工1=%2=2(不合题意舍去),
业PHc
当一AH=2,
1--
・•・—=2,
x-2
解得:%!=0.5,%2=2(不合题意舍去),
・••yi=4,
•••PT的坐标为:(0.5,4),
同理可得出「2,23点的坐标分别为:P2(-2,-l),P3(-0.5,-4).
故答案为:(0.5,4),P2(-2,-l),P3(-0.5,-4).
根据点4(2,1)在反比例函数y=(的图象上,首先得出反比例函数的解析式,进而求出AB,
B。的比值,进而得出APHA直角边之间比值关系分别求出即可.
此题主要考查了反比例函数的综合应用以及相似三角形的性质,根据已知得出△P/M直
角边之间比值关系是解题关键.
10.【答案】2V5-2
【解析】解:在正方形4BCD中,AB=AD=CD,乙BAD=^CDA,乙ADG=cCDG,
在△/8£'和4DCF中,
AB=CD
Z-BAD=Z.CDAy
AE=AF
・•・△ABE三△DCF(SAS),
・•・zl=42,
在△4DG和△COG中,
(AD=CD
\^ADG=MDG,
WG=DG
•••△4DG三△CDG(S4S),
:.z2=z3,
・•・zl=z3,
・••Z.BAH+43=乙BAD=90°,
・・.Zl+乙BAH=90°,
・•・Z.AHB=180°-90°=90°,
取AB的中点0,连接OH、OD,
则0”=AO=^AB=2,
在Rt△40。中,OD=>JAO2+AD2=2察),
根据三角形的三边关系,OH+DH>OD,
二当0、D、H三点共线时,。”的长度最小,
最小值=OD-OH=2y/5-2.
故答案为:2V5—2.
根据正方形的性质可得4B=AD=CD,ABAD=/.CDA,^ADG=MDG,然后利用“边
角边”证明△ABE和△DCF全等,根据全等三角形对应角相等可得41=42,利用“S4S”
证明△4%和4CDG全等,根据全等三角形对应角相等可得42=N3,从而得到N1=43,
然后求出乙AHB=90。,取AB的中点。,连接0"、0D,根据直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半可得。"=;48=2,利用勾股定理列式求出0D,然后根据三角形的三
边关系可知当。、D、H三点共线时,。〃的长度最小;
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半的性质、三角形的三边关系等知识,确定出OH最小时点H的位置是解题关键,
第18页,共35页
也是本题的难点.
11.(答案】3+V5
【解析】解:在R24BC.44cB=90。,
AC2+BC2=AB2,
•••。是AB中点且CO=更,
2
AB=2CD=V5.
AC2+BC2=AB2=5,
•••/?鹏48。面积为1,^BC-AC=1,
:・BC,AC=2,
・••(AC+BC)2=心+叱+28。•*=5+2x2=9,
・•・AC+BC=3,
•••△48(7的周长为4(?+8。+48=3+V5.
故答案为3+而.
由直角三角形斜边上的中线可求解4B的长,利用勾股定理,完全平方公式,结合△ABC
的面积可求解4C+BC的值,进而可求解A4BC的周长.
本题主要考查直角三角形斜边上的中线,勾股定理,完全平方公式,灵活运用直角三角
形斜边上的中线的性质及完全平方公式是解题的关键.
12.【答案】8
【解析】解:设直线48的解析式为y=kx+b,
将点4(4,0)、点8(0,2)代入丫=%刀+匕中,
得:f^v=0-
3=2
解得:卜=一;.
lb=2
二直线AB的解析式为y=-1x+2.
1
设点。的坐标为(私一3M+2)(0VmV4),则点E的坐标为(皿一6+4),
1
:.0D=EF=m,CD=2--m,DE=4—m,
VEDLOA,EFly轴,BO1OA,
•••ZO=zF=4ODE=90°,
•••四边形ODE尸为矩形.
:,C矩开外DEF=2x(JJD+DEy)=2x(m+4—ni)=8.
故答案为:8.
利用待定系数法求出直线4B的解析式,由点C在直线4B上设出点C的坐标为0,-^6+
2),由点C为线段。E的中点可找出点E的坐标,从而找出线段OD、DE的长度,利用EC1
OA,EF_Ly轴,B。1。4可得出4。=NF=NODE=90。,从而得出四边形OOEF为矩
形,再根据矩形的周长公式即可得出结论.
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的判定及性质以及矩形的周长公式,属
于基础题,难度不大.解题的关键是找出点E的坐标.
13.【答案】9
【解析】解:过。作0F1BC于尸,过4作4ML0F于M,
•••AACB=90°,
・•・Z.AMO=Z-OFB=90°,Z-ACB=乙CFM=Z-AMf=90°,
・•・四边形4CFM是矩形,
-AM=CF,AC=MF=3,
・••四边形A8DE为正方形,
.%Z,AOB=90°,04=08,
・•・Z,AOM+乙BOF=90°,
又・.•乙4M。=90°,
・・・Z,AOM+Z-OAM=90°,
・•・乙BOF=Z.OAM,
Z.OAM=乙BOF
在△4。时和4OBF^\z.AMO=Z-OFB,
OA=OB
/.△AOM^L0BF(44S),
.-.AM=OF,OM=FB,
・•・OF=CF,
v乙CFO=90°,
第20页,共35页
・・.△CF。是等腰直角三角形,
v0C=6V2,由勾股定理得:CF=OF=6,
BF=0M=OF-FM=6-3=3,
BC=6+3=9.
故答案为:9.
过。作。FJ.BC,过4作4M1。尸,根据正方形的性质得出乙40B=90。,OA=OB,求
出NBOF=4O4M,根据A4s证△40M三ABOF,推出4M=OF,OM=FB,求出四边
形4CFM为矩形,推出AM=CF,AC=MF=3,得出等腰三角形三角形。。尸,根据勾
股定理求出CF=0F=6,求出BF,即可求出答案.
本题考查了等腰直角三角形,勾股定理,正方形的性质,全等三角形的性质和判定的应
用,主要考查学生综合运用性质进行推理的能力,有一定的难度.
14.【答案】①②③④
【解析】解:,・・△MBC是等边三角形,
・•・Z.MBC=乙MCB=乙CMB=60°,BM=BC,
,・•四边形4BCD是正方形,
・•・Z.ABC=乙BCD=乙BAD=^ADC=90°,AB=BC,
/.ABM=乙DCM=30°,
vAB=BM,
:./.AMB=乙BAM=|(180°-30°)=75°,
同理4CMD=4CDM=75°,
乙AMD=360°—75°-75°-60°=150°;
故①正确;
•••四边形是正方形,
•・・乙BDC=45°,
・•・(MDN=Z.CDM一乙BDC=75°-45°=30°,
•・•Z.CMD=乙CMD,乙MDN=乙DCM=30°,
・•・△MNDfMDC,
MNDM
,•DM-MC'
・・・DM2=MN•MC,
V/.BAD=/-ADC,乙BAM=£CDM,
・•・匕MAD=Z.MDA,
:.MA=DM,
MA2=MN-MC,
故②正确;
过N作NH1CD于H,设NH=x,如图1所示:
则NH1BC,乙NDH=乙DNH=45°,
•••NH=DH=x,
图1
■:乙NCH=30°,4CHN=90°
•••CN=2x,CH=V3x,
vNH//BC,
,BN_CH_y[3x_历
DNDHX
故③正确;
过M作MG1AB于G,如图2所示:
设MG=x,
RMBGM中,乙GBM=30°,图2
BM=BC=AB=2x,BG=V3x,
•••AG=2x—V3x>
1
.S—MD_?4rMG_AG__Zx-Mx_2-国
S^BMC^BCBGBG\[3x\f3,
故④正确;
故答案为:①②③④.
①先根据等边三角形得NCMB=60°,再根据等腰三角形的性质得乙4MB=Z.CMD=
75°,最后根据周角的定义即可得出结论;
②证明△MND~MDC,列比例式即可得出结论:
③过N作NH_LC。于H,设NH=x,根据平行线分线段成比例定理即可得出结论:
④过M作MG14B于G,设MG=x,根据直角三角形30度角的性质和勾股定理分别计
算BC、AG.BG的长,根据面积公式计算即可得出结论.
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形
的判定与性质,勾股定理、平行线的性质等知识:设出未知数,表示出各边长是解题的
关键.
第22页,共35页
15.【答案】V3
【解析】解:;/.BAC=90°,乙B=60。,
Z.ACB=30°,
•••BC=2AB=4,AC=y/3AB=26,
•••四边形E40C是平行四边形,
EO=DO,CO=40=遍,
DE最短也就是EO最短,
•••过。作BC的垂线OF,
•••AACB=乙FCO,乙CFO=ACAB=90°,
・•・△CAB^ACFO,
...更=些,即;=三,
COFOV3FO
**.FO=—,
2
・••则DE的最小值为2F0=V3.
故答案为:V3.
由平行四边形的性质可知。是4c中点,CE最短也就是E。最短,故应该过。作BC的垂线
OF,然后证明△O1B-4CF。,利用相似三角形的性质即可求出DE的最小值.
本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段
最短的性质;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形相似是解题的关键.
16.【答案】713-2
【解析】解:找到BC的中点D,连结AD交BC为直径
的圆于E,
在RCZMBC中,AABC=90°,BC=4,
BD=DE=-BC=2,
2
在RtAABD中,/.ABD=90°,AB=3,BD=2,
AD=7ABz+BD?-V32+22-V13,
DE=^BC=2,
••・线段4E的最小值为VH-2.
故答案为:713-2.
找到BC的中点。,连结4。交BC为直径的圆于E,4E的长即为所求中点线段4E的最小值,
先根据直角三角形斜边上的中线的性质可求DE,再根据勾股定理可求4。,再相减即可
求解.
考查了勾股定理,直角三角形斜边上的中线的性质,关键是理解找到BC的中点D,连结
4。交BC为直径的圆于E,AE的长即为所求中点线段4E的最小值.
17.【答案】135°
【解析】解:如图,延长4P交网格于点C,连接BC.
22
VPC=722+12=75,BC=V2+I=衣,PB=
V32+I2=V10,
:.PC=BC,PC2+BC2=PB2,
:.△PBC是等腰直角三角形,
Z.BPC=45°,
•••Z.APB=180°-乙BPC=135°.
故答案为:135。.
延长4P交网格于点C,连接BC.利用勾股定理求出PC=V22+12=遮,BC=
V22+l2=V5,PB=V32+l2=VTO,由于PC=BC,PC2+BC2=PB2,即可判定
△PBC是等腰直角三角形,那么4BPC=45。,再根据邻补角定义求出41PB.
本题考查了勾股定理及其逆定理,作出辅助线,利用勾股定理的逆定理及等腰三角形的
判定得出4PBC是等腰直角三角形是解题的关键.
18.【答案】2.5或10
第24页,共35页
【解析】解:(1)当点E在4D上时,如图1所示:
由折叠得,BA=BF=5,在RtABCF中,
FC=V52-42=3,
DF=DC-FC=5-3=2,
设4E=x,由折叠得AE=EF=x,DE=4-x,
在Rt^DEF中,由勾股定理得,
(4-x)2+22=X2,
解得:x=2.5,即4E=2.5,
(2)当点E在4。的延长线上时,如图2所示:
由折叠得,AE=FE,BA=BF=5,
•"BCD是矩形,
■■■AD=BC=4,AB=CD=5,
在Rt△BCF中,CF=y/52-42=3,
:.DF=DC+CF=5+3=8,
设4E=x,则EF=x,DE=x—4,
在RtADEF中,由勾股定理得,
(x-4)2+82=x2,
解得:x=10,即4E=10,
故答案为:2.5或10.
根据题意分两种情况进行解答,(1)当点E在4D上时,(2)当点E在4D的延长线上时,分
别画出相应的图形,结合图形,根据矩形的性质、折叠的性质和勾股定理,可求出FC,
进而求出DF,设未知数,表示出DE、EF,在RtADEF中,由勾股定理建立方程求解即
可.
考查矩形的性质、折叠轴对称的性质、勾股定理等知识,设未知数把问题转化到一个直
角三角形中是解决问题的关键也是常用的方法.
19.【答案】360+75V3
【解析】解:根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱,
•••其高为12cm,底面半径为5,
其侧面积为6x5x12=360cm2
密封纸盒的底面积为:12x^x5x更x5x^=-V3cm2,
2222
.•・这个密封纸盒的表面积为:(75通+360)cm2;
故答案为:(360+756).
根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱,其表面积是六个面的面积加上两个底的面
积,从而得出答案.
本题考查了由三视图判断几何体及解宜角三角形的知识,解题的关键是正确的判定出几
何体的形状.
20.【答案】V2+2
【解析】解:如图2中,在等腰直角ADEF中,^EDF=90°,DE=DF,zl=42=43,
41+乙QEF=43+乙DFQ=45°,
・•・Z-QEF=乙DFQ,
vz.2=z3,
•••△DQF~XFQE,
.DQ_FQ_DF_1
*,FQ-QE-EF-VF
•・•DQ=1,
FQ=V2,EQ=2,
EQ+FQ=V2+2-
故答案为立+2.
先根据题意得N2=N3,再证明△DQFS^FQE,然后运用相似三角形的性质即可求出
结果.
本题以新定义”三角形的布洛卡点”为载体,考查了等腰直角三角形的性质和相似三角
形的判定和性质,属于基础题型,正确理解题意、证明是解题关键.
21.【答案】40
【解析】解:如图所示,连接BF,CD,品、
•••四边形4BEF,四边形4CGD都是正方形,F//i'、
AB=AF,AC=AD,^BAF=/.CAD=90°,\/
・•・Z.BAD=Z.FAC,
B
第26页,共35页
•••△BAD三△尸ZC(SAS),
・•・Z.ACF=Z.ADB,
又•・•AAHC=乙OHD,
・•・^CAH=乙DOH=90°,
ACF1BD,
222222222222
^BC=OB^OC.DF=OD+OF,BF=OB+OF,DC=OD+OCf
:.BC2+DF2=OD2+OF2+OB2+OC2,
BF2+DC2=OD2+OF2+OB2+OC2,
22
即8c2+D/2=BF+DC,
又尸和△4CD都是等腰直角三角形,且4B=2,AC=4,
•••BF2+DC2=8+32=40,
BC2+DF2=40,
故答案为:40.
先判定△84。三△凡4C,即可得出乙4CF=乙4。8,进而得到CF1BD,再根据勾股定理
即可得至IBC?+DF2=OD2+OF2+OB2+OC2=BF2+DC2,依据人口=2,AC=4,
即可得到8。2+。片的值.
本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用,全等三
角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.解决问题的关键是
作辅助线构造直角三角形,利用勾股定理进行计算.
22.【答案】80(7,80)
【解析】解:由题意可得,
乙车的速度为:吧菖=120碗",
zn=120x6-80x(6+1)=160,
点H的纵坐标为:160—80x1=80,横坐标为7,
即点H的坐标为(7,80),
故答案为:80,(7,80).
根据题意和函数图象中的数据可以计算出血的值,并求出点H的坐标,本题得以解决.
本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
23.【答案】解:(1)将4(—2,3)代入反比例解析式得:3=g即k=—6,
则反比例解析式为y=-*
(2)将C(3,p)代入反比例解析式得:p=-|=-2,
则C(3,-2);
(3)将A与C代入一次函数解析式得:{就;X;,
解得:{j二J],
则一次函数解析式为y=—x+1;
(4)对于一次函数y=-x+1,令y=0求出x=1,
•••M(1,O),即OM=1,
:.BM=OB+OM=2+1=3,
在RtMBM中,AB=3,BM=3,
根据勾股定理得:AM=y/AB2+BM2=3企,
在Rt/MOB中,0A=3,OB=2,
根据勾股定理得:AB=y/OA2+OB2=V13,
则△40M周长为力。+AM+0M=3y/2+V13+1.
【解析】(1)将4坐标代入反比例解析式中求出k的值,即可确定出反比例解析式;
(2)将C代入确定出的反比例解析式中求出p的值,即可确定出C的坐标;
(3)将4与C坐标代入一次函数解析式中求出m与n的值,即可确定出一次函数解析式;
(4)对于一次函数解析式,令y=0求出x的值,确定出0M的长,由。8+。”求出的
长,在直角三角形ABM中,利用勾股定理求出的长,在直角三角形40B中,利用勾
股定理求出。4的长,由02+0M+4M可求出三角形A0M的周长.
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,涉及的知识有:待定系数法求函数解析
式,坐标与图形性质,一次函数与坐标轴的交点,是一道中档题.
24.【答案】解:(1>SA40B=3,
反比例函数的解析式是y==,即m=6,
则一次函数的解析式是y=%+6;
y=x+6
=6,
fyv
第28页,共35页
解得:卜二3+磨或卜二3一磨,
(y=3+V15(y=3-V15
则4的坐标是(一3+V15,3+V15),。的坐标是(一3—V15,3-V15).
直线y=x+6交x轴于点C(-6,0),
则Ze。。=3V15-9.
(3)04=J(-3+V15)2+(3+V15)2=4V3>
0D=J(-3-V15)2+(3-V15)2=4V3>
则。A=0D,
由图形可知乙40D>90°,
则44。。是钝角等腰三角形.
【解析】(1)根据反比例函数的比例系数k的几何意义求得m的值,则一次函数的解析式
即可求得;
(2)解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组,求得4和。的坐标,再求得C的坐
标,则△C。。的面积即可求得;
(3)求得。4和0D的长,即可作出判断.
本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质,正确解方程组求得4和。的坐标是关
键.
25.【答案】解:(1)将4(一2,1)代入反比例函数y=(中,解得:m=-2.
所以反比例函数的解析式为:丫=-|
将点4(一2,1)、。(0,3)代入一次函数丫=/«:+/)中,解得:k=l,b=3.
所以一次函数的解析式为:y=x+3;
(2)解方程组y=一以,得
(y=%+3
(xl=-1(x2=—2
lyl=2[y2=lf
即交点坐标为B(-1,2);
(3)S&A0C=]X3x2=3,
1=1.5,
SfOB=SAAOC-SABOC=3-1.5=1.5;
(4)共四点:(-4,0),(-1.25,0)(75,0)(-V5,0).
【解析】(1)根据相关点的坐标易求解析式;
⑵解它们组成的方程组即得;
(3)SMOB=S4Aoe—S^BOC;
(4)显然存在.分以04为底边、为腰讨论.
此题难度在后两个问题.主要运用了:(1)分割转化思想(2)分类讨论思想.只有熟练掌
握这些知识才能正确解答.
26.【答案】解:原式=史等+竿第2
a+2(Q+2)/
(a—2)2a+2
a+2a—2
=Q—2,
当a=壶=2-倔寸,
原式=2-V3-2=-V3.
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将a的值分母有理化,继
而代入计算可得.
本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.
27.【答案】(1)证明:・••4。=。。,
:.Z.OAD=Z.ADO,
v0c平分4BOD,
:.Z-DOC=(C0B,
又•・•乙DOC+Z-C0B=Z-OAD+Z.ADO,
・•・/,ADO=乙DOC,
ACO//AD;
(2)解:如图1,过点E作EM〃FD交4D的延长线于点M,
第30页,共35页
M
图1
设=a,
vCO//AD,
・♦・乙ACO=Z.DAC=a,
-AO=OC,
AZ.OAC=AOCA=a,
,:OA=OD,
・•・Z.ODA=Z-OAD=2a,
vDE=DF,
・•・Z-DFE—乙DEF=3a,
•:4。=OB=OD,
・•・Z-ADB=90°,
・•・^DAE+Z.AED=90°,
即4a=90°,
・•・Z,ADF=2a=45°,
・♦・乙FDE=45°,
・•・匕M=^ADF=45°,
・•・EM=42DE=&DF,
・・•DF//EM,
ADF,
AEEM
(3)解:如图2,
图2
vOD=OB,/-BOC=4DOC,
BOC二△DOC(SAS),
•••BC=CD,
:.0c垂直平分BD,
设BC=
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