湖北省四地七校考试联盟2022-2023学年高二上学期期中联考 数学试题

2022年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设复数z满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数模长运算的定义和运算法则可直接求得结果.【详解】，.故选：A.2.已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，侧面展开图是一个半圆，，圆锥的表面积为，，故圆锥的底面半径为，故选B.考点：圆锥的几何性质及侧面积公式.3.己知直线l经过，且在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（）A.或 B.或 C.或 D.【答案】A【解析】【分析】根据在x轴上的截距的取值范围先求出直线在端点处的斜率，再根据斜率变化趋势得出范围.【详解】由直线l在x轴上的截距的取值范围为可知直线过的斜率为，过点的斜率，且过点的斜率不存在；故线l的斜率或.故选:A4.如图在平行六面体中，相交于，为的中点，设，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算法则，，进而可得答案.【详解】由已知得，，故选：C5.同时抛掷两枚质地均匀的相同骰子，则两枚骰子的点数和为的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定所有可能结果种数，列举出点数和为的情况，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】同时抛掷两枚骰子，所有可能的结果有种；其中点数和为的有，，，，共种情况，点数和为的概率.故选：C.6.直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线l的条数为（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】A【解析】【分析】圆C的圆心为，直线l过定点，故直线l被圆C截得的弦长范围为，结合圆的对称性，再排除斜率不存在的直线l的情况即可求【详解】圆的圆心为，直线l化为，则直线l过定点，∵，故直线l被圆C截得的弦长范围为，由圆的对称性，故整数弦长的直线条数为11条.又过定点且垂直于x轴的直线，即，被圆截得的弦长为，不合题意，故所求直线l的条数为10条.故选：A7.O是的外心，，，则（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】根据外心的性质，结合数量积运算求解，注意讨论是否在上.【详解】当在上，则为的中点，满足，符合题意，∴，则；当不在上，取的中点，连接，则，则，同理可得：∵，，联立可得，解得，故选：D.8.已知椭圆的左右焦点为，过的直线与椭圆交于AB两点，P为AB的中点，，则该椭圆的离心率为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在中，由余弦定理可得的长度，进而根据边的关系得为直角三角形，根据焦点三角形即可得关系.详解】设则，所以由于，所以为锐角，故，在中，由余弦定理得，因此,故为直角三角形，所以，由的周长为，所以故，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）的折线图，则下列说法正确的是（）A.这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数B.这10天中PM2.5日均值的中位数是32C.这10天中PM2.5日均值的众数为33D.这10天中PM2.5日均值前4天的方差小于后4天的方差【答案】BC【解析】【分析】将数据从小到大排列，判断中位数，根据平均数公式计算整组数据的平均数与前4天、后4天的平均数，再由方差公式计算前4天、后4天的方差.【详解】将数据从小到大排序得：17，23，26，30，31，33，33，36，42，128，则中间两个数为31，33，所以中位数为，平均数为，所以平均数大于中位数，故A错误，B正确；所有数据中出现次数最多的数为33，所以众数为33，C正确；前4天的平均数为，后4天的平均数为，所以前4天的方差为，后4天的方差为，因为，所以前4天的方差大于后4天的方差，D错误.故选：BC10.某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（）A.甲同学仅随机选一个选项，能得5分的概率是B.乙同学仅随机选两个选项，能得10分的概率是C.丙同学随机选择选项，能得分的概率是D.丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是【答案】ABC【解析】【分析】对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项.【详解】甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，随机事件“若能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，故A正确；乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件，分别：，随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，故B正确；丙同学随机选择选项（丙至少选择一项），由A、B中的分析可知共有基本事件种，分别为：选择一项：；选择两项：；选择三项或全选：，，随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，故C正确；丁同学随机至少选择两个选项，由C的分析可知：共有基本事件11个，随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，故D错；故选：ABC.11.已知点，且点P在圆上，C为圆心，则下列结论正确的是（）A.的最大值为B.以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为：C.当最大时，的面积为D.的面积的最大值为【答案】BD【解析】【分析】由求得最大值判断A，求出以AC为直径的圆的方程与圆C的方程相减得公共弦所在直线方程，判断B，由圆心在直线上，确定当时，直线距离最大为圆半径，从而求得的面积的最大值判断D，当最大时，是圆的切线，不可能，这样可判断C．【详解】由已知圆心为，半径为，，，即在圆外，在圆内，，当且仅当是的延长线与圆的交点时等号成立，所以最大值是，A错；中点为，圆方程为，此方程与圆方程相减得并化简得，即为两圆公共弦所在直线方程，B正确；直线的方程为，即，圆心在直线上，到直线的距离的最大值等于圆半径，，所以的面积的最大值为，D正确；当的面积为时，，而最大时，是圆的切线，此时，不可能有，因此C错误．故选：BD．12.在中，所对的边为，，边上的高为，则下列说法中正确的是（）A. B. C.的最小值为 D.的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】设边上的高为，利用面积桥可知A正确；利用余弦定理和可整理得到，则，知B正确；将转化为，利用三角恒等变换知识化简整理得，由正弦函数值域可知CD正误.【详解】设边上的高为，则，，，即，A正确；由余弦定理得：，又，，，B正确；，，，，；，，，，C错误，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.样本数据8，7，6，5，4，3，2，1的分位数是______.【答案】6.5##【解析】【分析】根据百分位数的定义进行求解即可.【详解】因为一共有个数据，所以有，这个数据从小到大排列为：，所以这组数据的的分位数是，故答案为：14.向量在向量方向上的投影向量的坐标为______.【答案】【解析】【分析】根据投影的定义,应用在方向上的投影公式求解可得出答案．【详解】根据投影的定义可得：在方向上的投影向量为：．故答案为：15.己知椭圆的一个焦点为，该椭圆被直线所截得弦的中点的横坐标为2，则该椭圆的标准方程为______.【答案】##【解析】【分析】利用待定系数法，结合点差法、椭圆中关系进行求解即可.【详解】因为椭圆的一个焦点为，所以该椭圆的焦点在纵轴上，因此可设该椭圆的标准方程为：，且，设该椭圆被直线所截得弦为，设，把代入直线方程中，得，即的中点坐标为，因此有，由，因为在椭圆上，所以有，，得由，所以该椭圆的标准方程为，故答案为：16.已知在菱形中，，，平面外一点满足：，，设，过作交于，平面与线段交于点，则四棱锥体积的最大值为______.【答案】【解析】【分析】利用、可构造方程组求得，由此可得为中点，由线面平行的性质定理可知，得到为中点，利用体积桥可知，则当平面时，体积最大，结合棱锥体积公式可求得结果.【详解】四边形为菱形，，，，，，，又，，整理得：；，，整理可得：；，解得：，，，为中点，，平面，平面，平面，又平面，平面平面，，为中点；，，，当平面时，取得最大值；，，，又，，.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）设与是两个不共线向量，，，，若三点共线，求的值.（2）己知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求直线的方程；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，可构造方程组求得的值；（2）设，由此可得中点坐标，代入中线方程可求得点坐标；由可求得方程，与方程联立可求得点坐标，利用坐标可求得直线方程.【详解】（1）若三点共线，则存在实数，使得，，又，，解得：；（2）由题意知：在直线上，则可设，中点为，，解得：，；，，直线方程为：，即；由得：，即；，则直线方程为：，即.18.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（1）求角B的大小；（2）若，D为AC边上的一点，，且BD是的平分线，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据同角的三角函数关系式中的商关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可；（2）根据三角形内角平分线的性质，结合三角形面积公式、余弦定理进行求解即可.【小问1详解】，又，则，即，又，则；【小问2详解】由BD平分得：则有，即在中，由余弦定理可得：又，则联立可得解得：（舍去）故.19.某厂为了提高产品的生产效率，对该厂的所有员工进行了一次业务考核，从参加考核的员工中，选取50名员工将其考核成绩分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，（1）利用频率分布直方图中的数据估计本次考核成绩的众数，中位数和平均数；（2）己知考核结果有优秀、良好、一般三个等级，其中考核成绩不小于90分时为优秀等级，不少于80且低于90分时为良好等级，其余成绩为一般等级.若从获得优秀和良好等级的两组员工中，随机抽取5人进行操作演练，其中考核获得良好等级的员工每人每小时大约能加工80件产品，优秀员工每人每小时大约能加工90件产品，求本次操作演练中，产品的人均生产量不少于84件的概率.【答案】（1）众数为75，中位数为67，平均数为66.8（2）【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图即可求解；(2)先根据频率分布直方图分别求出考核良好和优秀的人数，根据条件抽取对应的人，然后根据古典概型的概率公式即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知，众数为75中位数设为m，则，平均【小问2详解】考核良好的人数为：人，可记为A，B，C，D；考核优秀的人数为：人，可记为a，b，c；设考核优秀的人数为n，，考核优秀的3人中最多1人不参加操作演练.则从7人中任取2人不参加演练，有，,，共21种情况；考核优秀的3人中最多1人不参加演练的情况有：，，共18种情况；∴本次操作演练中，产品的人均生产量不少于84件的概率.20.在平面直角坐标系中，已知点与直线：，设圆的半径为1，圆心在直线上．（1）若点在圆上，求圆的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】(1)结合已知条件设出圆的方程，然后将代入圆的方程即可求解；(2)结合已知条件求出为圆：与圆的公共点，然后利用两圆的位置关系求解即可.【小问1详解】因为圆心在直线：上，不妨设圆心的坐标，因为圆的半径为1，所以圆的方程为：，因为点在圆上，所以或，故圆的方程为：或.【小问2详解】不妨设，则，又由，，故，化简得，从而在以圆心，半径为的圆上，故为圆：与圆：的公共点，即圆与圆：相交或相切，从而，即或，故圆心的横坐标的取值范围为.21.如图，在四棱锥中，平面平面，是的平分线，且.（1）若点为棱的中点，证明：平面；（2）已知二面角的大小为，求平面和平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析.（2）.【解析】【分析】(1)延长交于点，连接,证明即可；(2)以的中点为为原点，建立空间直角坐标系，用向量法解决问题.【小问1