数学分析-十-定积分应用

第十章定积分应用0xyay=f(x)bx+dxx12/10/20231.定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介绍几何、物理上的应用问题，例如：平面图形面积，曲线弧长，旋转体体积，水压力，抽水做功，引力等。第一节定积分的元素法一、问题的提出如何应用定积分解决实际问题_____微元法：12/10/20232.回顾

曲边梯形面积A的计算过程：把区间[a,b]分成n个小区间,有总量A对于[a,b]具有区间可加性,计算

Ai的近似值得A的近似值(1)分割.(2)近似.(3)求和.(4)求极限.n个部分量Ai的和.ab0xyy=f(x)即A可以分割成12/10/20233.把上述步骤略去下标，改写为：(1)分割.(2)近似.(3)求和.(4)求极限.计算

A的近似值xx+dx这种方法通常称为微元法或元素法面积微元用

A表示[x,x+dx]上的小曲边梯形的面积，取微元任取一个具有代表性的小区间

[x,x+dx](区间微元)，12/10/20234.若总量U非均匀分布在变量x的某个区间[a,b]上;总量U有可加性.

(1)求微元局部近似得dU=f(x)dx(2)求全量微元积分得应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．可用微元法的条件步骤12/10/20235.(1)整体问题转化为局部问题；(2)在局部范围内，以常代变，以直代曲；微元法的实质(3)取极限(定积分)由近似值变为精确值。12/10/20236.例1.写出长为l的非均匀细直棒质量的积分表达式，任一点的线密度是长度的函数。解:建立坐标如图,oxlxx+dx设任意点x的密度为step1.step2.下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的一些应用。微元法(ElementMethod)12/10/20237.第二节定积分在几何上的应用一、平面图形的面积二、体积三、平面曲线的弧长12/10/20238.平面图形的面积一、直角坐标系情形二、极坐标系情形三、小结思考题12/10/20239.曲边梯形的面积由y=f1(x)和y=f2(x)围成的面积:一、直角坐标系情形12/10/202310.解3)面积元素2)选x为积分变量,解方程组即这两个抛物线的交点为：xx+dx1)求出两抛物线的交点.12/10/202311.讨论：由左右两条曲线x

j左(y)与x

j右(y)及上下两条直线y

d与y

c所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？提示：

面积为面积元素dA=[j右(y)

j左(y)]dy,选积分变量,12/10/202312.12/10/202313.解两曲线的交点选为积分变量y+dyy12/10/202314.如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积12/10/202315.解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．12/10/202316.

(

)

+d

.dA.r=

(

)o.r

d

二、极坐标系情形曲边扇形是由曲线r

(

)及射线

,

所围成的图形.图形是曲边扇(梯)形如何化不规则为规则以圆扇形面积近似小曲边扇形的面积，得到面积元素：

12/10/202317.

(

)

+d

.dA.r=

(

)o.r

d

面积元素以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到面积元素：曲边扇形的面积

12/10/202318.例4:计算阿基米德螺线

r=a

(a>0)上相应于

从0到2

的一段弧与极轴所围成的图形的面积.ox

r=a

2a解:取极角

为积分变量,变化区间为[0,2

],取小区间[

,+d]，则面积元素12/10/202319.12/10/202320.解利用对称性知心形线也称圆外旋轮线2a12/10/202321.12/10/202322.12/10/202323.求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）三、小结12/10/202324.立体体积一、旋转体体积二、已知截面面积的立体体积三、小结思考题12/10/202325.

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积12/10/202326.如何计算黄瓜的体积？旋转体的体积为12/10/202327.解直线方程为12/10/202328.直线方程为12/10/202329.解星形线也称：圆内旋轮线12/10/202330.xyoa–a0

2或.P

.一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.星形线(圆内旋轮线)12/10/202331.12/10/202332.12/10/202333.12/10/202334.例4求椭圆，分别绕X轴、Y轴、直线y=-c旋转一周所得旋转体的体积。12/10/202335.解12/10/202336.12/10/202337.12/10/202338.如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.二、已知截面面积的立体的体积12/10/202339.xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为A(x)的立体.aV平行截面面积为已知的立体的体积b12/10/202340.oyRxxy–RR....ytan

问题：还有别的方法吗？(x,y),截面积A(x).例5：半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成

角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。.12/10/202341.oyRx–RR方法2.半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成

角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。12/10/202342.oyRx–RR

方法2ABCD

BCDC....截面积S(y)

(x,y)=2x=ytan

.S(y).半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成

角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。12/10/202343.hRxoxA(x)A(x)V=....–Ry.例6：求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。y12/10/202344.旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周绕轴旋转一周绕非轴直线旋转一周三、小结12/10/202345.平面曲线的弧长一、平面曲线弧长的概念二、直角坐标情形三、参数方程情形四、极坐标情形五、小结12/10/202346.一、平面曲线弧长的概念12/10/202347.弧长元素弧长二、直角坐标情形12/10/202348.解所求弧长为sl12/10/202349.解所求弧长为12/10/202350.曲线弧为弧长三、参数方程情形12/10/202351.解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长12/10/202352.曲线弧为弧长四、极坐标情形12/10/202353.解分部积分法12/10/202354.解12/10/202355.直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下五、求弧长的公式小结：12/10/202356.第三节定积分的物理应用一、变力、变距离作功二、水压力三、引力四、小结12/10/202357.用元素法12/10/202358.建立坐标轴如上图所示,提示：根据物理学,在电量为+q的点电荷所产生的电场中,距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为：12/10/202359.问题：物体在变力F(x)的作用下，从x轴上a点移动到b点，求变力所做的功。用元素法1）在[a,b]上考虑小区间[x,x+x]，在此小区间上

W

dW=F(x)dx2）将dW从a到b求定积分，就得到所求的功F(x)F(x)12/10/202360.F由物理学知道,一定量的气体在等温条件下,压强p与体积V的乘积是常数k

,即12/10/202361.解建立坐标系如图这一薄层水的重力为功元素为(kN

m)kJ把这一薄层水抽出水池所作的功等于克服这一薄层重量所作的功12/10/202362.例4修建一座大桥墩时，先要下围囹，并且抽尽其中的水以便施工，已知围囹的直径为20m，水深27m，围囹高出水面3m,求抽尽水所作的功。xxdx273200分析（如下图）建立坐标系：

12/10/202363.因这一薄层水抽出围囹所作的功近似于克服这一薄层重量所作的功，所以功元素为：解建立坐标系如图这一薄层水的重力为于是在[3,30]上，抽尽水所作的功为：xxdx273200xxdx273200O在水面12/10/202364.解：建立坐标系如图需计算薄片的宽度12/10/202365.问题：水的压力是如何产生的？水有重量，所以水也会对与其接触的物体产生压力，水的压力来自水中的四面八方。水压的强度和水的深度有关，愈深則水的压强愈大。问题：水库的堤坝为什么上边窄，下边宽？12/10/202366.如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一侧所受的水压力为：P

p·A如果这个平板铅直放置在水中，那么，由于水深不同，不同点处压强p不相等，所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算．12/10/202367.y12/10/202368.y12/10/202369.例6解如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为12/10/202370.其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点连线方向．如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力的方向也是变化的，就不能用上述公式来计算．更重要的是向量不能求和相加！12/10/202371.这是引力dF的方向不随小区间[x,x+dx]的改变而变化的情形。12/10/202372.由对称性知,引力在铅直方向分力这是引力dF的方向随小区间[x,x+dx]的改变而变化的情形,应将引力dF分解为dFx和dFy后再分别用定积分计算12/10/202373.12/10/202374.尤其是如何在具体问题中取“微元”——微功、微压力、微引力等。这对于从形式到内容真正地把握公式是非常必要的，相反如果仅满足于套用公式解决一些简单问题而不求甚解，那么遇到一些稍有灵活性的问题，便可能束手无策，不知如