(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义（基础班）3.1《导数的概念及运算》 (原卷版)

页第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算核心素养立意下的命题导向1.与基本初等函数相结合考查函数导数的计算，凸显数学运算的核心素养．2．与曲线方程相结合考查导数的几何意义，凸显数学运算、直观想象的核心素养．[理清主干知识]1．导数的概念函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).称函数f′(x)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝eq\a\vs4\al(0)f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα﹣1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝﹣sin_xf(x)＝exf′(x)＝eq\a\vs4\al(ex)f(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝lnxf′(x)＝eq\a\vs4\al(\f(1,x))f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)3．导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[]′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．4．导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y﹣y0＝f′(x0)(x﹣x0)．特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线垂直于x轴，则此时导数f′(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．[澄清盲点误点]一、关键点练明1．若函数f(x)＝eq\f(x,ex)(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝()A.eq\f(1＋x,ex)B.eq\f(1－x,ex)C．1＋xD．1﹣x2．已知f(x)＝13﹣8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________.3．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．4．已知函数f(x)＝axlnx＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x﹣y＝0，则a＋b＝________.二、易错点练清1．(多选)下列导数的运算中正确的是()A．(3x)′＝3xln3B．(x2lnx)′＝2xlnx＋xC.()′＝eq\f(xsinx－cosx,x2)D．(sinxcosx)′＝cos2x2．函数f(x)＝x2＋eq\f(1,x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．x﹣y＋1＝0B．3x﹣y﹣1＝0C．x﹣y﹣1＝0D．3x﹣y＋1＝0考点一导数的运算[典题例析](1)设f(x)＝x(2022＋lnx)，若f′(x0)＝2023，则x0等于()A．e2B．1C．ln2D．e(2))已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝()A．﹣eB．1C．﹣1D．e(3)函数f(x)＝xsin(2x+eq\f(π,2))cos(2x+eq\f(π,2)，则其导函数f′(x)＝________________.[方法技巧]1．导数运算的常见形式及其求解方法连乘积形式先展开化为多项式的形式，再求导分式形式观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导对数形式先化为和、差的形式，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导复合函数确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元2．解决解析式中含有导数值问题的策略解决解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数问题的关键是恰当赋值，然后活用方程思想求解，即先求导数f′(x)，然后令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，最后求得所求导数值．[针对训练]1．已知函数f(x)＝ln(ax﹣1)的导函数为f′(x)，若f′(2)＝2，则实数a的值为()A.eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D．12．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x﹣a1)(x﹣a2)…(x﹣a8)，则f′(0)＝()A．26B．29C．212D．2153．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.考点二导数的几何意义考法(一)求切线方程[例1]已知函数f(x)＝x2.(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求经过点P(﹣1,0)的曲线f(x)的切线方程．[方法技巧]求切线方程问题的2种类型及方法(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y﹣y0＝f′(x0)(x﹣x0)．(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”求解，即：①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y﹣y1＝f′(x1)(x﹣x1)；②根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，得到方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＝fx1，,y0－y1＝f′x1x0－x1，))求出切点A(x1，y1)，代入方程y﹣y1＝f′(x1)(x﹣x1)，化简即得所求的切线方程．考法(二)求参数值或范围[例2]已知曲线f(x)＝e2x﹣2ex＋ax﹣1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是()A.(3，eq\f(7,2))B．(3，＋∞)C.(-∞，eq\f(7,2))D．(0,3)[方法技巧]利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．[提醒](1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．考法(三)导数的几何意义与函数图象[例3]已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.[方法技巧]函数图象与导数的关系(1)导数的几何意义：切线的斜率就是函数在切点处的导数．(2)切线斜率的变化对函数图象的影响：函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越陡，f′(x)＞0，曲线上升；f′(x)＜0，曲线下降．[针对训练]1．若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝lnx＋b的切线，则b＝()A．﹣1B．1C．2D．e2．(多选)若直线y＝eq\f(1,2)x＋b是函数f(x)图象的一条切线，则函数f(x)可以是()A．f(x)＝eq\f(1,x)B．f(x)＝x4C．f(x)＝sinxD．f(x)＝ex3．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b＝________.4.已知f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f(1)＝1，则f(﹣1)＝________.(2)设函数h(x)＝f(x)﹣g(x)，则h(﹣1)，h(0)，h(1)的大小关系为____________(用“＜”连接)．一、创新命题视角——学通学活巧迁移导数的几何意义与其他知识相交汇题型(一)与圆相交汇[例1]曲线f(x)＝﹣x3＋3x2在点(1，f(1))处的切线截圆x2＋(y＋1)2＝4所得的弦长为()A．4B．2eq\r(2)C．2D.eq\r(2)[名师微点]求解曲线的切线与圆相交汇问题的关键一是求切线方程，即利用导数的几何意义求曲线的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，求出切线的方程；二是活用公式，即利用点到直线的距离公式求出弦心距，再利用弦长公式l＝2eq\r(r2－d2)(其中r为圆的半径，d为弦心距)求出弦长．题型(二)与距离最值问题相交汇[例2]设点P，Q分别是曲线f(x)＝x2﹣lnx和直线x﹣y﹣2＝0上的动点，则P，Q两点间距离的最小值为________．[名师微点]求解曲线上动点与直线上动点距离的最值问题的关键一是会转化，把所求的两动点距离的最值问题转化为两平行直线间的距离问题；二是会求切线方程，即利用导数的几何意义求曲线的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，求出切线方程；三是活用公式，即会利用两平行直线的距离公式求出两平行直线间的距离．题型(三)零点个数问题[例3]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋1，x≤1，,lnx，x＞1，))若关于x的方程f(x)＝ax恰有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．[名师微点]解答此题时，可直接说明当0＜a＜eq\f(1,e)时，y＝ax与函数f(x)＝lnx(x＞1)的图象一定有两个交点，因为本题为填空题，此处直接说明，原因是对数函数f(x)＝lnx和一次函数的图象是我们非常熟悉的、能够明确作出的图形，并且我们知道对数函数f(x)＝lnx的增速是越来越慢的，图象越来越趋近于平缓，而一次函数的图象的增速保持不变，能够“想象”出当0＜a＜eq\f(1,e)时，y＝ax的图象一定能“穿过”f(x)＝lnx(x＞1)的图象．实际上这也是能够证明出来的，而本题是小题，不宜“小题大做”，在明知正确的前提下可省略步骤．二、创新考查方式——领悟高考新动向1．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关于时间变化的函数为R(t)．若圆柱的体积以均匀速度c增长，则圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径()A．成正比，比例系数为cB．成正比，比例系数为c2C．成反比，比例系数为cD．成反比，比例系数为c22．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为曲线y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数图象都有“拐点”，任何一个三次函数图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)＝eq\f(1,3)x3﹣eq\f(1,2)x2＋3x﹣eq\f(5,12)，则g()＋g()＋…＋g()＝________.3．若函数f(x)＝x3＋(t﹣1)x﹣1的图象在点(﹣1，f(﹣1))处的切线平行于x轴，则t＝______，切线方程为________．eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、综合练——练思维敏锐度1．曲线y＝ex﹣lnx在点(1，e)处的切线方程为()A．(1﹣e)x﹣y＋1＝0B．(1﹣e)x﹣y﹣1＝0C．(e﹣1)x﹣y＋1＝0D．(e﹣1)x﹣y﹣1＝02．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值等于()A．﹣2B．2C．﹣eq\f(9,4)D．eq\f(9,4)3．设函数f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)(x﹣3k)，且f′(0)＝6，则k＝()A．0B．﹣1C．3D．﹣64．函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为()5．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2021(x)＝()A．﹣sinx﹣cosxB．sinx﹣cosxC．﹣sinx＋cosxD．sinx＋cosx6．已知直线y＝ax是曲线y＝lnx的切线，则实数a＝()A.eq\f(1,2)B．eq\f(1,2e)C.eq\f(1,e)D．eq\f(1,e2)7．函数f(x)＝x4﹣2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x＋1C．y＝2x﹣3D．y＝2x＋18．已知曲线y＝eq\f(2x,x－1)在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2eq\r(5)，则直线l的方程为()A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y﹣18＝0C．2x﹣y﹣18＝0D．2x﹣y＋2＝0或2x﹣y﹣18＝09．过曲线y＝x2﹣2x＋3上一点P作曲线的切线，若切点P的横坐标的取值范围是[1，eq\f(3,2)]，则切线的倾斜角的取值范围是()A.[0，eq\f(π,2)]B．[0，eq\f(π,4)]C．[0，π)D．[eq\f(3π,4)，π)10．若曲线y＝f(x)＝lnx＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是()A.(-eq\f(1,2),＋∞)B．[-eq\f(1,2),＋∞)C．(0，＋∞)D．[0，＋∞)11．(多选)已知点A(1,2)在函数f(x)＝ax3的图象上，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程是()A．6x﹣y﹣4＝0B．x﹣4y＋7＝0C．3x﹣2y＋1＝0D．4x﹣y＋3＝012．函数f(x)＝(2x﹣1)ex的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为________．13．曲线y＝ln(2x﹣1)上的点到直线2x﹣y＋3＝0的最短距离为________．14．已知函数f(x)＝eq\f(1,x)，g(x)＝x2.若直线l与曲线f(x)，g(x)都相切，则直线l的斜率为________．15．设函数f(x)＝ax﹣eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x﹣4y﹣12＝0.(