2023-2024北师大版九年级下册数学第一章教案

课题：1、1锐角三角函数（一）

教学目标（三维）

1.经验探究直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.

学问与技2.能够用tanZ表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度（坡

能比）等.

3.能够依据直角三角形的边角关系，用正切进行简洁的计算.

1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.

过程与方

法2.体会解决问题的策略的多样性，发展学生的几何直观实力和符号感，发展学生视察、

分析、发觉问题的实力.

1.通过本节课程的学习，促使学生更加酷爱生活，理解数学源于生活，又为生活服务.

情感看法

与价值观2.进一步熬炼学生用数学的观点来说明身边的事物，形成良好的数学思维习惯和思维

品质.

教学重点理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，亲密数学与生活的联系..

教学难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比.

考点分析能够依据直角三角形的边角关系，用正切进行简洁的计算.

课型：新授课课时：第1课时

教学方法：

教学过程

特性化设计

第一环节创设问题情境

活动内容1:介绍世界文化遗产——意大利比萨斜塔，激发学习爱好

我们都知道世界闻名的建筑一一意大利比萨斜塔.但你知道比萨斜塔是如何倾斜的

和倾斜角度是多少吗？

如下图，小明说，只要测得垂直中心线、塔身中心线的长度及塔顶中心点偏离垂直

中心线的距离这三个数据中的随意两个，他就可以计算出塔身倾斜角。的大小.你想知

道小明是如何做的吗？那么，我们一起来学习新学问吧.通过本章的学习，你就会明白

小明这样做的道理.

活动内容2：视察梯子的倾斜程度

由活动1知道，倾斜的物体在生活中随处可见，那我们该如何推断物体的倾斜程度

呢？大家都会用“陡峭”或“平缓”来描述.

1.图1—1和图1—2中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？

你是如何推断的？

2.图1一3中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你又是如

何推断的？

对于图1—3,学生可能难于下手，这时老师可以借助几何画板的动态演示，引导

学生比较对边与邻边的比值，即比较表一中的％与与大小，当右＞L、八J、％时，

借助几何画板直观的验证梯子的倾斜程度，以突破学生相识上的障碍.（为了便利探讨,

表格中的数据精确到非常位）

其次环节探求新知

活动内容1:在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺

来测量，你有什么奇妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？

图1—4

如图1-4,小明想通过测量4G及/£，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；

而小亮则认为通过测量82G及，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同

意小亮的看法吗？

(1)R/A48c和&/ZV182c2有什么关系？

(2)空Q和刍5有什么关系？

AC2AC,

(3)假如变更易在梯子上的位置呢？由此你得出什么结论？

活动内容2：结合活动内容1,请同学们思索：既然直角三角形中，一个锐角一旦

确定，它的对边与邻边的比也随之确定.那么这个确定的比我们能不能用一个数学符号

来表示呢？

数学上，我们把这个确定的比叫做一个锐角的正切.如图1-5,我们把NZ的对边

与乙4的邻边的比，叫做N4的正切(tangent),记作tanA.即

乙4的对边

tanA=

NA的邻边

对于正切的定义，同学们必需明确以下几点：

LtanZ中常省略角的符号“N”.用希腊字母表示角时也可省略如：tana、

tan夕等.但用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时，不能省暗角的符号

要写成tanNA4c或tanNl、tan/2等；

2、tan4没有单位，它表示一个比值；

3、tan4是一个完的整数学符号，不行分割，不表示“tan”乘以“A”；

4、一个角的正切是在直角三角形中定义的，因此，tan4=幺』粤?只能

NA的邻边

在直角三角形中适用;

请同学们思索，梯子的倾斜程度与tanA的值有关吗？

tan4的值越大，梯子越陡

第三环节应用与拓展

活动内容1：

例题1：图1—6表示甲、乙两个手扶电梯，哪个手扶电梯比较陡？

13m

4m5/w

Km

（M”）

活动内容2：

相识坡角、坡度（坡比）

坡角：坡面与水平面的夹角；

坡度（坡比）：坡面的铅垂高度与水平宽度的比，因此坡度（坡比）就是坡角的正

如图1—7,有一山坡在水平方向上每前进100机米就上升60根，那么山坡的

坡角是a,坡度（坡比）就是：tana=—=-

1005

第四环节变式练习

活动内容：

1、如图1—10,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.己知山顶3到

山脚下的垂直距离是55m.求山坡的坡度（结果精确到0.001m）.

第五环节课堂小结

活动内容：师生相互沟通总结本堂课所学的学问点和体会；谈谈对本节学问的

理解.

教后反思:

课题:1、2锐角三角函数（二）

教学目标（三维）

1、能利用相像的直角三角形，探究并相识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的

正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.

学问与技

能2、能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简

洁的计算.

1、经验类比、猜想等过程.发展合情推理实力，能有条理地、清楚地阐述自己的观点.

过程与方

法

2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践实力和创新精神.

、主动参加数学活动，对数学产生新奇心和求知欲，学有用的数学.

情感看法1

与价值观

2、形成实事求是的看法以及沟通共享的习惯.

教学重点理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系.

教学难点体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题.

用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简洁的计

考点分析

算.

课型：新授课课时：第2课时

教学方法：

教学过程

特性化设计

第一环节复习引入

请学生回答上节课学习内容。

其次环节探求新知

探究活动1:如图，请思索：

B]

(1)RtZ^ABC和RtaAB。的关系是

B\G和B2c2

(2)的关系是

AB】AB2

(3)假如变更及在斜边上的位置，则旭和空Q的关系是________；

AB}AB-,

思索：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对

边与斜边的比值，依据是.

它的邻边与斜边的比值呢？

归纳概念：

1、正弦的定义：

如图，在RtZXABC中，NC=90°,我们把锐角NA的对边BCB

与斜边AB的比叫做NA的正弦，记作sinA,即sinA=./《&的

对边

---------Ip

2、余弦的定义：/A的邻边

如图，在Rt^ABC中，/C=90°,我们把锐角/A的邻边AC与斜边AB的比叫做/

A的余弦，记作cosA,即cosA=.

3、锐角A的正弦，余弦，正切和余切都叫做NA的三角函数.

提示：

(1)sinA,cosA是在直角三角形中定义的，NA是一个锐角；

(2)sinA,cosA中常省去角的符号“N”.但NBAC的正弦和余弦表示为：sinZ

BAC,cos/BAC.N1的正弦和余弦表示为：sinZl,cosZl；

(3)sinA,cosA没有单位，它表示一个比值；

(4)sinA,cosA是一个完整的符号，不表示“sin”，“cos”乘以“A”；

(5)sinA,cosA的大小只与/A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必定的关

探究活动2：我们知道，梯子的倾斜程度与tanA

铅

有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度直

高

度

与sinA和cosA有关系

探究发觉：梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系:

sinA越大，梯子越陡；

cosA越小，梯子越陡.

探究活动3：如图，在RtaABC中，Z

C=90°,AB=200,sinA=0.6,求BC

通过上面的计算，你发觉sinA与cosB有什么关系呢？sinB与cosA呢？在其它直

角三角形中是不是也一样呢？请举例说明.

小结规律：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的.

第三环节归类提升

类型一：利用三角函数值求线段的长度

例1、如图，在RtZXABC中，ZC=90°,BC=3,sinA=,求AC和AB.

5

13

类型二：利用已知三角函数值，求其它三角函数值

例2、在RtZ\ABC中，ZC=90°,BC=6,sinA=,求±osA、tanB的值.

5

第五环节总结延长

］、锐角三角函数定义：sinA=,cosA=,tanA=；

2、温馨提示：

(1)sinA,cosA,tanA,是在直角三角形中定义的，NA是锐角(留意数形结合,

构造直角三角形)；

(2)sinA,cosA,tanA是一个完整的符号，表示NA的正切，习惯省去号；

(3)sinA,cosA,tanA都是一个比值，留意区分，且sinA,cosA,tanA均大于0,

无单位；

(4)sinA,cosA,tanA的大小只与/A的大小有关，而与直角三角形的边长没有

必定关系；

(5)角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相

等.

3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中，应留意构造直角三角

形.

教后反思：

课题：1.330°,45°,60°角的三角函数值

教学目标（三维）

1.经验探究30°,45°,60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体

会三角函数的意义.

学问与技

能2.能够进行30°,45。，60°角的三角函数值的计算.

3.能够依据30°,45°,60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.

1.经验探究30°,45°,60。角的三角函数值的过程，发展学生视察、分析、发觉的

过程与方实力.

法

2.培育学生把实际问题转化为数学问题的实力.

主动参加数学活动，对数学产生新奇心.培育学生独立思索问题的习惯.

情感看法1.

与价值观

2..在数学活动中获得胜利的体验，熬炼克服困难的意志，建立自信念.

1.探究30°,45°,60°角的三角函数值.

教学重点2.能够进行含30°,45°,60。角的三角函数值的计算.

3.比较锐角三角函数值的大小.

教学难点三角函数值的应用

1.探究30°,45°,60°角的三角函数值.

考点分析2.能够进行含30。，45。，60。角的三角函数值的计算.

3.比较锐角三角函数值的大小.

课型：新授课课时：第3课时

教学方法：

教学过程

特性化设计

一、复习旧知

活动内容：如图所示在RtZXABC中，ZC=90°.

(1)a>b、c二者之间的关系

是,ZA+ZB=

(2)sinA=,cosA=

tanA=

sinB=，cosB=

tanB=

二、讲解新课

1、探究30°角的三角函数

①视察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度?

②sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同

伴沟通.

③cos30°等于多少？tan30°呢？

学生探讨、沟通，得出30°角的三角函数值.

老师提示学生BC=a,分别求出另外两条边的长.

2、求出了30°角的三角函数值，在同一个图中求出60°的三个三角函数值.

3、让学生画出45。角的三角形，依据图形求45°三角函数值.并完成下表

sinacoatana

JV3

30°V3

2VV

V2V2

45°1

V

2

]_

60°V3

22

思索:

1.视察表格中函数值说说sinA和cosB之间的关系tanA和tanB之间的关系.

2、视察表格，随着角度的增加，正弦、余弦、正切值的变更状况.

3、若对于锐角a有sina=』，则a=.

2

三、例题讲解

例1、计算：(1)sin30°+cos45°；(2)sin260°+cos260°-tan45°.

1V2

=—I

22

1+V23

-----4--------------1

244

=0

四、基础练习

(1)sin600-cos45°;(2)cos60o+tan60°

五、学问运用

例2：一个小孩荡秋千，秋千

链子的长度为2.5m,当秋千向两

边摇摆时，摆角恰好为60°,且两

边的摇摆角度相同，求它摆至最高

位置时与其摆至最低位置时的高度

之差.（结果精确到0.01m）

老师解答:

六、巩固练习

1.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7m,扶梯的长度是多少?

七、课堂小结

1、直角三角形三边的关系.

2、直角三角形两锐角的关系.

3、直角三角形边与角之间的关系.

4、特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.

5、互余两角之间的三角函数关系.

*6、同角之间的三角函数关系

教后反思：

课题：1.4三角函数的计算

教学目标（三维）

i.经验用计算器由已知锐角求三角函数的过程，进一步体会三角函数的意义.

学问与技

能够用计算器进行有关三角函数值的计算.能够运用计算器协助解决含三角函数值

能2.

计算的实际问题.

过程与方在实际生活中感受详细的实例，形成三角形的边角的函数关系，并通过运用计算器求

法三角函数值过程，进一步体会三角函数的边角关系.

情感看法通过主动参加数学活动，体会解决问题后的欢乐.感悟计算器的计算功能和三角函数

与价值观的应用价值

用计算器求已知锐角的三角函数值..能够用计算器协助解决含三角函数值计算一的实际

教学重点

问题.

教学难点能够用计算器协助解决含三角函数值计算的实际问题三、教学过程分析

考点分析能够用计算器进行有关三角函数值的计算.能够运用计算器协助解决含三角函数值计算的实

际问题.

课型：新授课课时：第4课时

教学方法：

教学过程

特性化设计

第一环节复习引入

活动内容：

用多媒体展示学生前段时间所学的学问，提出问题，从而引入课题.

直角三角形的边角关系：

三边的关系：a2+Z>2=c2,两锐角的关系：/A+NB=90°.边与角的关系：

锐角三角函数sirt4-cos5--,cosA-smB=—,tanA=—,

ccb

特殊角30°,45°,60。的三角函数值.、

引入问题：1、你知道sinl6。等于多少吗？2、已知sin/=/@NA=?

其次环节探究新知

活动内容一：

ABsinl6°米中的“sinl6°”是多少呢？我们知道，三角函数中，当角的大小确定

时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定.

对于特殊角30°、45°、60°可以依据勾股定理和含这些特殊角的直角三角形的

性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们该怎么办？我们需

借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值.

怎样用科学计算器求三角函数值呢？

1.用科学计算器求一般锐角的三角函数值.

用科学计算器求三角函数值，要用到心和心J键.我们对下面几个角的三角函

数sinl6°,cos72°38'25"和tan85°的按键依次如下表所示.（多媒体演示）

按键依次显示结果

sinl6°而H叵）叵sinl6°=0.275637355

©7^2

cos72°38,•8)Bcos72°38z25"

25〃=0.2983699067

f,

tan85°向回tnctan85=ll.4300523

同学们可用计算器按上述按键依次计算sinl6°,cos72°38z25",tan85°.看

显示的结果是否和表中显示的结果相同.

用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位,我们的教材中有一个约定.如无

特殊说明，计算结果一般精确到万分位.

下面就请同学们利用计算器求出本节刚起先提出的问题.

用计算器求得BC=sinl6°^O.2756.

［问题］如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200米，已知缆车

行驶的路途与水平面的夹角为/a=16°,那么缆车垂

D

直上升的距离是多少？7

在RtZXABC中，Na=16°,AB=200米，需求出

BC.

依据正弦的定义，sinl60=—=—

AB200

.,.BC=ABsinl60=200sinl60««55.12m.

对问题进一步探究：当缆车接着由点B到达点D时，它又走过了200m,缆车由点

B到点D的行驶路途与水平面的夹角是NB=42°,由此你能想到还能计算什么？

用计算器协助计算出结果：

（1）在RtZXDBE中，N6=42°,BD=200m,缆车上升的垂直高度DE=BDsin42°

=200sin42°4133.83（米）.

（2）由前面的计算可知，缆车从A-B-D上升的垂直高度为BC+DE=55.12+133.83

=188.95（米）.

（3）在RtZ\ABC中，/a=16°,AB=200米，AC=ABcosl6°七200X0.9613=

192.23（米）.

在RtADBE中，/8=42°,BD=200米.BE=BD•cos420=»200X

0.7431=148.63（米）.

缆车从AfBfD移动的水平距离为BE+AC=192.23+148.63=340.86（米）.

活动内容二：

课前提出的问题siM=^,则NA等于多少.

4

我们来看下面这个实际问题：

［问题］随着人民生活水平的提高，私家小轿车越来越多，为了交通平安及便利行人

推车过天桥，某市政府要在10m高的天桥两端修建40m长的斜道.请问这条斜道的倾斜

角是多少？（如下图所示）

寻求方法

活动内容：练习驾驭已知三角函数值求角度，要用到画、国、叵1键的其

次功能"sin'cos：tan”'和四叫键.

例如：①已知sinA=0.9816,求锐角A.

②已知cosA=0.8607,求锐角A.

③已知tanA=56.78,求锐角A.

按键依次如下表:

按键依次显示结果

(sin)©QQsin'0.9816=78.9918403

sinA=0.9816

(UCDCDE)9

cos98607=30.6047300

cosA=0.8607@@®Q

国叵1⑦E)7

tanA=56.78S®CDCDtan'56.78=88.99102049

CD[DEl

上表的显示结果是以“度”为单位的.再按四国键即可显示以“度、分、秒”

为单位的结果.

这一环节的引例中sinA=；=0.25.按键依次为国7国回臼国回日

显示结果为sin‘0.25=14.47751219°,再按侬回叵键可显示14°28'39",

所以

ZA=14028'39".(以后在用计算器求角度时假如没有特殊说明，结果精确到1"

即可.)

活动内容(练一练)：

下面请同学们用计算器计算下列各式的值1、用计算器求下列各式的值.

(l)sin56°；(2)cos20.5°；

(3)tan44°59'59"；(4)sinl50+cos610+tan760.

(以小组为单位，绽开竞赛，看哪一组既快又精确)

答案：(1)Sin560-0.8290；

(2)cos20.5°-0.9367；

(3)tan44°59'59"««1.0000；

(4)sinl5°+cos61°+tan76°-0.2588+0.4848+4.0108=4.7544.

2.已知sin0=0.82904,求锐角9的大小.

答案：e弋56°

第三环节课堂小结

师生共同总结本节课内容

教后反思：

课题：1.5解直角三角形

教学目标（三维）

学问与技初步理解解直角三角形的含义，驾驭运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角

能三角函数求直角三角形的未知元素.

1、在探讨问题中思索如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题详细化.

2、解直角三角形的对象是什么？在解决与直角三角形有关的实际问题中如何把问题数

过程与方学模型化.通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学生的逻辑思维实力和分析

法问题解决问题的实力

2.体会解决问题的策略的多样性，发展学生的几何直观实力和符号感，发展学生视察、

分析、发觉问题的实力.

在解决问题的过程中引发学生形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密

情感看法

联系.从而增加学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难.通过获得胜利

与价值观

的体验和克服困难的经验，增进学习数学的信念，养成良好的学习习惯.

理解并驾驭直角三角形边角之间的关系，运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角

教学重点

三角函数求直角三角形的未知元素.

教学难点从已知条件动身，正确选用适当的边角关系或三角函数解题.

考点分析利用解直角三角形解决问题

课型：新授课课时：第1课时

教学方法：启发式探究教学，探讨。

教学过