2024届北京丰台区十二中数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届北京丰台区十二中数学高一上期末学业质量监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．当时，若，则的值为A. B.C. D.2．已知则（）A. B.C. D.3．已如集合，，，则（）A. B.C. D.4．幂函数在区间上单调递增，且，则的值（）A.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.无法判断5．已知函数的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数解析式为（）A. B.C. D.6．对于任意实数，给定下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则7．已知集合，则函数的最小值为（）A.4 B.2C.-2 D.-48．已知向量，，若与共线，则等于（）A. B.C. D.9．已知函数在区间上的值域为，对任意实数都有，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.10．已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是A. B.C. D.11．已知幂函数的图象过点(2,)，则的值为（）A B.C. D.12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.16 B.15C.18 D.17二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．，若，则________.14．已知函数,现有如下几个命题：①该函数为偶函数；

②是该函数的一个单调递增区间；③该函数的最小正周期为；④该函数的图像关于点对称；⑤该函数的值域为.其中正确命题的编号为______15．已知函数，，若关于x的方程（）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.16．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是____.三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）确定函数的解析式并用定义证明在上是增函数（2）解不等式：.18．如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且.（Ⅰ）若，，求的定义域；（Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值；（Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围.19．已知函数()是偶函数.(1)求的值;(2)设,判断并证明函数在上的单调性;(3)令若对恒成立,求实数的取值范围.20．已知函数（1）求的最小正周期、最大值、最小值；（2）求函数的单调区间；21．在平面直角坐标系中，已知圆心在直线上的圆经过点，但不经过坐标原点，并且直线与圆相交所得的弦长为4.（1）求圆的一般方程；（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在的直线方程（用一般式表达）.22．如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，求证：（1）；（2）.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1、A【解析】分析：首先根据题中所给的角的范围，求得相应的角的范围，结合题中所给的角的三角函数值，结合角的范围，利用同角三角函数的平方关系式，求得相应的三角函数值，之后应用诱导公式和同角三角函数商关系，求得结果.详解：因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以答案是，故选A.点睛：该题考查的是有关三角恒等变换问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式中的平方关系和商关系，以及诱导公式求得结果.2、D【解析】先利用同角三角函数基本关系式求出和，然后利用两角和的余弦公式展开代入即可求出cos（α+β）【详解】∵∴∴，∴，∴故选：D3、C【解析】根据交集和补集的定义可求.【详解】，故，故选：C.4、A【解析】由已知条件求出的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可【详解】由函数是幂函数，可得，解得或当时，；当时，因为函数在上是单调递增函数，故又，所以，所以，则故选：A5、B【解析】利用三角函数的图象变换规律可求得结果.【详解】观察图象可知，右方图象是由左方图象向左移动一个长度单位后得到的图象，再把的图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到的，所以右图的图象所对应的解析式为.故选：B6、C【解析】利用特殊值判断A、B、D，根据不等式的性质证明C；【详解】解：对于A：当时，若则，故A错误；对于B：若，，，，满足，则，，不成立，故B错误；对于C：若，则，所以，故C正确；对于D：若，满足，但是，故D错误；故选：C7、D【解析】因为集合，所以，设，则，所以，且对称轴为，所以最小值为，故选D8、A【解析】先求出，，再根据向量共线求解即可.【详解】由题得，因为与共线，.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9、D【解析】根据关于对称，讨论与的关系，结合其区间单调性及对应值域求的范围.【详解】由题设，，易知：关于对称，又恒成立，当时，，则，可得；当时，，则，可得；当，即时，，则，即，可得；当，即时，，则，即，可得；综上，.故选：D.【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质，讨论其对称轴与给定区间的位置关系，结合对应值域及求参数范围.10、D【解析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围【详解】解：函数，的图象如图：关于的方程有8个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根且两根位于之间，由函数图象可知，．令，方程化为：，，，开口向下，对称轴为：，可知：的最大值为：，的最小值为：2故选：【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题11、A【解析】令幂函数且过(2,)，即有，进而可求的值【详解】令，由图象过(2,)∴，可得故∴故选：A【点睛】本题考查了幂函数，由幂函数的形式及其所过的定点求解析式，进而求出对应函数值，属于简单题12、B【解析】由三视图还原的几何体如图所示，结合长方体的体积公式计算即可.【详解】由图可知，该几何体是在一个长方体的右上角挖去一个小长方体，如图，故该几何体的体积为故选：B二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13、【解析】分和两种情况解方程，由此可得出的值.【详解】当时，由，解得；当时，由，解得（舍去）.综上所述，.故答案为：.14、②③【解析】由于为非奇非偶函数,①错误.,此时,其在上为增函数,②正确.由于,所以函数最小正周期为,③正确.由于,故④正确.当时,,故⑤错误.综上所述,正确的编号为②③.15、【解析】令，则方程转化为，可知可能有个不同解，二次函数可能有个不同解，由恰好有6个不同的实数根，可得有2个不同的实数根，有3个不同的实数根，则，然后根据，，分3种情况讨论即可得答案.【详解】解：令，则方程转化为，画出的图象，如图可知可能有个不同解，二次函数可能有个不同解，因为恰好有6个不同的实数根，所以有2个不同的实数根，有3个不同的实数根，则，因为，解得，，解得，所以，，每个方程有且仅有两个不相等的实数解，所以由，可得，即，解得；由，可得，即，解得；由，可得，即，而在上恒成立，综上，实数λ的取值范围为.故答案为：.16、【解析】先求，再根据奇函数求【详解】，因为为奇函数，所以故答案为：【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17、（1），证明见解析（2）【解析】（1）由题意可得，从而可求出，再由，可求出，从而可求出函数的解析式，然后利用单调性的定义证明即可，（2）由于函数为奇函数，所以将转化为，再利用函数为增函数可得，从而求得解集【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，得，所以，因为，所以，解得，所以，证明：任取，且，则，因为，所以，，，所以，即，所以在上是增函数【小问2详解】因为在上为奇函数，所以转化为，因为在上是增函数，所以，解得，所以不等式的解集为18、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）当，时，解出不等式组即可；（Ⅱ）当时，，分、两种情况讨论即可；（Ⅲ）分、且、且三种情况讨论即可.【详解】（Ⅰ）当，时，由题意知：，解得：.∴的定义域为；（Ⅱ）当时，，（1）当，即时，的定义域为，值域为，∴时，不是“同域函数”.（2）当，即时，当且仅当时，为“同域函数”.∴.综上所述，的值为.（Ⅲ）设的定义域为，值域为.（1）当时，，此时，，，从而，∴不是“同域函数”.（2）当，即，设，则的定义域.①当，即时，的值域.若为“同域函数”，则，从而，，又∵，∴的取值范围为.②当，即时，的值域.若为“同域函数”，则，从而，此时，由，可知不成立.综上所述，的取值范围为【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解清楚题意，能够分情况求出的定义域和值域.19、（1）（2）单调递增函数.见解析（3）【解析】（1）由题意得，推出得，从而有，解出即可；（2）先求出函数的解析式，再根据单调性的性质即可得判断函数的单调性，再利用作差法证明即可；（3），令，换元法得在上恒成立，利用分离变量法求出函数在上的最值，从而可求出的取值范围【详解】解:(1)由是偶函数得，可得，∴，即，得，解得:；(2)由(1)可知，,，和在上单调递增，为在上的单调递增函数，证明:任取，那么，，，，，则,，，即那么，为在上的单调递增函数；(3)由(2)可知，那么，令,则，,，转化为在上恒成立，即在上恒成立，而函数和在上单调递增，则函数在上单调递增，∴，∴，故：实数的取值范围为【点睛】本题主要考查对数型函数的奇偶性与单调性的综合，考查恒成立问题，属于中档题20、（1），最大值1，最小值-1；（2）在上单调递增；上单调递减；【解析】（1）利用两角差余弦公式、两角和正弦公式化简函数式，进而求的最小正周期、最大值、最小值；（2）利用的性质求函数的单调区间即可.【详解】（1），∴，且最大值、最小值分别为1，-1；（2）由题意，当时，单调递增，∴，，单调递增；当时，单调递减，∴，，单调递减；综上，当，单调递增；，单调递减；【点睛】关键点点睛：应用两角和差公式化简三角函数式并求最小正周期、最值；根据性质确定三角函数的单调区间.21、（1）；（2）反射光线所在的直线方程的一般式为：.【解析】（1）设圆，根据圆心在直线上，圆经过点，并且直线与圆相交所得的弦长为，列出关于的方程组，解出的值，可得圆的标准方程，再化为一般方程即可；（2）点关于轴的对称点，反射光线所在的直线即为，又因为，利用两点式可得反射光线所在的直线方程，再化为一般式即可.试题解析：（1）设圆，因为圆心在直线上，所以有：，又因为圆经过点，所以有：，而圆心到直线的距离为，由弦长为4，我们有弦心距.所以有联立成方程组解得：或，又因为通过了坐标原点，所以舍去.所以所求圆的方程为：，化为一般方程为：.（2）点关于轴的对称点，反射光线所在的直线即为，又因为，所以反射光线所在的直线方程为：，所以反射光线所在的直线方程的一般式为：.22、⑴见解析；⑵见解析.【解析】（1）要证明线面平行