安徽省示范高中培优联盟2023-2024学年高一上学期冬季联赛数学试题（含答案）

安徽省示范高中培优联盟2023年冬季联赛（高一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第3页，第Ⅱ卷第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若命题：，是真命题，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B.C. D.4.若，：关于的方程有两个不相等的实数根，则是成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知定义域为的函数和，函数图象关于原点对称，函数满足，若，则与的大小关系为（）A. B.C. D.不确定6.已知，，，，则（）A.2 B.5 C.10 D.207.已知函数定义域为，若对于，当时，都有成立，则称函数是“共建”函数，则下列四个函数中是“共建”函数的是（）A. B.C.， D.，8.函数的最小值是（）A. B.3 C. D.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若实数，满足，则下列说法中正确的是（）A. B.C. D.10.若点在幂函数的图象上，则以下关于函数的说法中正确的是（）A.的定义域是 B.的值域是C.是增函数 D.11.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是（）A. B.C. D.12.定义在上的函数，当时，，当时，，若关于函数在定义域内有四个零点，则实数的取值可以是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知函数，则的值域为________.14.已知函数的图象不经过第二、四象限，请写出满足条件的一组的值________.15.设点，，点是函数图象上一点，则面积的最小值为________.16.若函数对于都有，则________.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表月份1月2月3月小型汽车数量（辆）306080创造的收益（元）480060004800（1）根据上表数据，从下列三个函数模型中：①，②，③选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量（辆）与创造的收益（元）之间的关系，并写出这个函数关系式；（2）利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？18.（12分）（1）已知，求证；（2）利用（1）的结论，证明：（且）.19.（12分）我们知道存储温度（单位：℃）会影响着鲜牛奶的保鲜时间（单位：），温度越高，保鲜时间越短.已知与之间的函数关系式为（为自然对数的底数），某款鲜牛奶在5℃的保鲜时间为，在25℃的保鲜时间为.（参考数据：）（1）求此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间约为几小时（结果保留到整数）；（2）若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于，那么对存储温度有怎样的要求？20.（12分）定义在上的函数，满足，对于任意的都有成立，并且，使得.（1）判断函数的单调性，并证明；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.21.（12分）已知函数（1）请在网格纸中画出的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；（2）定义函数在定义域内的，若满足，则称为函数的一阶不动点，简称不动点；若满足，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点.①求函数的不动点；②求函数的稳定点.22.（12分）已知函数，其中.（1）若存在，使得，求的最小值；（2）令，若关于的方程有两个根和，求当时，实数的取值范围.2023冬季联赛高一数学参考答案123456789101112ACDAADBDBDBCDABDAB一、选择题（本大题共8个题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.【答案】A，，所以，故选A.2.【答案】C，即，故选C.3.【答案】D∵，∴，∴，即，故选D.4.【答案】A由解得或，故是成立的充分不必要条件，选A.5.【答案】A因为，，，故，即，所以，，计算可得，，故选A.6.【答案】D∵，∴，即，由基本不等式可知，又因为，所以，即满足基本不等式取等条件，即，故选D.7.【答案】B根据题意，，即，设，即，选项B中，在定义域上是单调递减函数，满足“共建”函数的定义，故选B.8.【答案】D设，则，因为，所以，选D.二、选择题：本大题共4个题，每小题5分，共20分.每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.【答案】BD当时，，故A错误；因为，根据同向可加性易知，故B正确；因为，所以，，则，故C错误，D正确，故选BD.10.【答案】BCD因为为幂函数，所以，则，由点在的图象上得，故.由解得，故A错误；易知函数单调递增，故C正确；当时，求得值域为，故B正确；由，得，则，故选BCD11.【答案】ABD计算可得A，B，C，D选项中的零点分别为，1，0，1，根据二分法以及零点存在性定理可求出，，所以的零点所在区间为，故选ABD.12.【答案】AB令，则，由题意原函数有4个零点，结合函数图象可知函数有两个不同零点和，不妨设，且，，分析函数的图象可知，，则，解得，故选AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.14.15.16.13.【答案】令，则，，，易得值域为.14.【答案】只要满足，即可15.【答案】，如图所示，，因为，所以，当且仅当时取等号，此时面积的最小值为.（另解：利用点到直线距离公式亦可解决）16.【答案】，因为对于都有，所以函数的对称中心为，又因为，所以，故，即.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（10分）【答案】（1）选取②，由题表可知，随着的增大，的值先增大后减小，而函数及均为单调函数，故不符合题意，所以选取② 2分将，，三点分别代入函数解析式，可得二次函数对称轴为，故可将函数解析式设为，即得到，解出，∴，∴，，； 5分（2）设在一周内大约应生产辆小型汽车，根据题意，可得，即，即， 6分因为，所以方程有两个实数根，，由二次函数的图象可知不等式的解为. 8分因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量之间时，这家工厂能够获得6020元以上的收益. 10分18.（12分）【答案】（1）证明：因为，所以，于是. 4分（2）证明：即证（且）由（1）式可知，，故（且）（且）即（且），原式得证. 12分19.（12分）【答案】（1）根据题意，将，分别代入得， 2分所以，所以，，当时，，此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间为254小时. 6分（2）根据题意，即要求，由（1）可知，所以，故，即，即，因为，所以，所以想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于，存储温度要低于15℃ 12分20.（12分）【答案】（1）函数单调递减.，证明如下：由得，，则，当时 4分因为，所以，则，故所以函数单调递减. 6分（2）不等式可等价变形为，因为，所以，则不等式可变为8分由（1）知，函数在定义域内单调递减，故，恒成立，则，解得 11分因此实数的取值范围是. 12分21.（12分）【答案】（1）的单增区间为，，的单减区间为 5分（2）易知①当时，，令得，解得；当时，，令得，解得（舍）综上所述：函数的不动点为. 8分②当时，，且，则令得，，解得或（舍）当时，，且，则令得，